2019年全国统一高考数学（理科）（新课标ⅰ）
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2019年全国统一高考数学（理科）（新课标ⅰ）,2019,全国,统一,高考,数学,理科,新课
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2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）函数的定义域为（）Ax|x0Bx|x1Cx|x10Dx|0x12（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）ABCD3（5分）在ABC中，=，=若点D满足=2，则=（）ABCD4（5分）设aR，且（a+i）2i为正实数，则a=（）A2B1C0D15（5分）已知等差数列an满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A138B135C95D236（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）Ae2x2Be2xCe2x+1De2x+27（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为（）A2BCD28（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位9（5分）设奇函数f（x）在（0，+）上为增函数，且f（1）=0，则不等式0的解集为（）A（1，0）（1，+）B（，1）（0，1）C（，1）（1，+）D（1，0）（0，1）10（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）Aa2+b21Ba2+b21CD11（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）ABCD12（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A96B84C60D48二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）若x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为 14（5分）已知抛物线y=ax21的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 15（5分）在ABC中，AB=BC，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= 16（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosBbcosA=c（）求的值；（）求tan（AB）的最大值18（12分）四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC=2，AB=AC（）证明：ADCE；（）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小19（12分）已知函数f（x）=x2+ax+1lnx（）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围20（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验（）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（）表示依方案乙所需化验次数，求的期望21（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点已知|、|、|成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率；（）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程22（12分）设函数f（x）=xxlnx数列an满足0a11，an+1=f（an）（）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；（）证明：anan+11；（）设b（a1，1），整数证明：ak+1b2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）函数的定义域为（）Ax|x0Bx|x1Cx|x10Dx|0x1【考点】33：函数的定义域及其求法菁优网版权所有【分析】偶次开方的被开方数一定非负x（x1）0，x0，解关于x的不等式组，即为函数的定义域【解答】解：由x（x1）0，得x1，或x0又因为x0，所以x1，或x=0；所以函数的定义域为x|x10故选：C【点评】定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现，通常注意偶次开方一定非负，分式中分母不能为0，对数函数的真数一定要大于0，指数和对数的底数大于0且不等于1另外还要注意正切函数的定义域2（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）ABCD【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】16：压轴题；31：数形结合【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有A答案满足要求，故选：A【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变3（5分）在ABC中，=，=若点D满足=2，则=（）ABCD【考点】9B：向量加减混合运算菁优网版权所有【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手【解答】解：由，故选：A【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的4（5分）设aR，且（a+i）2i为正实数，则a=（）A2B1C0D1【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义菁优网版权所有【分析】注意到a+bi（a，bR）为正实数的充要条件是a0，b=0【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai1）i=2a+（a21）i0，a=1故选D【点评】本题的计算中，要注意到相应变量的范围5（5分）已知等差数列an满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A138B135C95D23【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解【解答】解：（a3+a5）（a2+a4）=2d=6，d=3，a1=4，S10=10a1+=95故选：C【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式6（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）Ae2x2Be2xCe2x+1De2x+2【考点】4R：反函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式【解答】解：，x=（ey1）2=e2y2，改写为：y=e2x2答案为A【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法7（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为（）A2BCD2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】53：导数的综合应用【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值【解答】解：y=，y=，曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=，曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，直线ax+y+1=0的斜率k=a=1，即a=2故选：D【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线垂直的性质的灵活运用8（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案【解答】解：，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象故选：A【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移属基础题9（5分）设奇函数f（x）在（0，+）上为增函数，且f（1）=0，则不等式0的解集为（）A（1，0）（1，+）B（，1）（0，1）C（，1）（1，+）D（1，0）（0，1）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，然后由奇函数定义求出f（1）=f（1）=0，最后结合f（x）的单调性解出答案【解答】解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号，而f（1）=0，则f（1）=f（1）=0，又f（x）在（0，+）上为增函数，则奇函数f（x）在（，0）上也为增函数，当0x1时，f（x）f（1）=0，得0，满足；当x1时，f（x）f（1）=0，得0，不满足，舍去；当1x0时，f（x）f（1）=0，得0，满足；当x1时，f（x）f（1）=0，得0，不满足，舍去；所以x的取值范围是1x0或0x1故选：D【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性10（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）Aa2+b21Ba2+b21CD【考点】J9：直线与圆的位置关系菁优网版权所有【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：dr，故选：D【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题11（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）ABCD【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；5G：空间角【分析】法一：由题意可知三棱锥A1ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB1及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；法二：先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦【解答】解：（法一）因为三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，设为D，所以三棱锥A1ABC为正四面体，设棱长为2，则AA1B1是顶角为120等腰三角形，所以AB1=22sin60=2，A1D=，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为=；（法二）由题意不妨令棱长为2，点B1到底面的距离是B1E，如图，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，设为D，故DA=，由勾股定理得A1D=故B1E=，如图作A1SAB于中点S，过B1作AB的垂线段，垂足为F，BF=1，B1F=A1S=，AF=3，在直角三角形B1AF中用勾股定理得：AB1=2，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sinB1AE=故选：B【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力12（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A96B84C60D48【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果【解答】解：分三类：种两种花有A42种种法；种三种花有2A43种种法；种四种花有A44种种法共有A42+2A43+A44=84故选：B【点评】本题也可以这样解：按ABCD顺序种花，可分A、C同色与不同色有43（13+22）=84二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）若x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为9【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】11：计算题；13：作图题【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2xz在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2xz经过的可行域内的点的坐标，代入z=2xy中即可【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2xy有最大值9【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想14（5分）已知抛物线y=ax21的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为2【考点】K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先根据抛物线y=ax21的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案【解答】解：由抛物线y=ax21的焦点坐标为坐标原点得，则与坐标轴的交点为（0，1），（2，0），（2，0），则以这三点围成的三角形的面积为故答案为2【点评】本题主要考查抛物线的应用考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力15（5分）在ABC中，AB=BC，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设AB=BC=1，则，由此可知，从而求出该椭圆的离心率【解答】解：设AB=BC=1，则，答案：【点评】本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确计算16（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可【解答】解：设AB=2，作CO面ABDE，OHAB，则CHAB，CHO为二面角CABD的平面角，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则，=故EM，AN所成角的余弦值故答案为：【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosBbcosA=c（）求的值；（）求tan（AB）的最大值【考点】GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理菁优网版权所有【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，（）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值（）由（）的结论，结合角A，B，C为ABC的内角，我们易得tanA=4tanB0，则tan（AB）可化为，再结合基本不等式即可得到tan（AB）的最大值【解答】解：（）在ABC中，由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，则；（）由得tanA=4tanB0当且仅当时，等号成立，故当时，tan（AB）的最大值为【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式18（12分）四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC=2，AB=AC（）证明：ADCE；（）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】（1）取BC中点F，证明CE面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CEAD，则CGE即为所求二面角的平面角，CGE中，使用余弦定理求出此角的大小【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，AB=AC，AFBC又面ABC面BCDE，AF面BCDE，AFCE再根据 ，可得CED=FDC又CDE=90，OED+ODE=90，DOE=90，即CEDF，CE面ADF，CEAD（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为GCGAD，CEAD，AD面CEG，EGAD，则CGE即为所求二面角的平面角作CHAB，H为垂足平面ABC平面BCDE，矩形BCDE中，BEBC，故BE平面ABC，CH平面ABC，故BECH，而ABBE=B，故CH平面ABE，CEH=45为CE与平面ABE所成的角CE=，CH=EH=直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH=1，AH=ABBH=AC1；直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC1）2，AB=AC=2由面ABC面BCDE，矩形BCDE中CDCB，可得CD面ABC，故ACD为直角三角形，AD=，故CG=，DG=，又 ，则，即二面角CADE的大小【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，属于中档题19（12分）已知函数f（x）=x2+ax+1lnx（）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f（x）0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可【解答】解：（）当a=3时，f（x）=x2+3x+1lnx解f（x）0，即：2x23x+10函数f（x）的单调递增区间是（）f（x）=2x+a，f（x）在上为减函数，x时2x+a0恒成立即a2x+恒成立设，则x时，4，g（x）0，g（x）在上递减，g（x）g（）=3，a3【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强20（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验（）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（）表示依方案乙所需化验次数，求的期望【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果【解答】解：（）若乙验两次时，有两种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束），乙只用两次的概率为若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：（）表示依方案乙所需化验次数，的期望为E=20.6+30.4=2.4【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响21（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点已知|、|、|成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率；（）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程【解答】解：（1）设双曲线方程为，由，同向，渐近线的倾斜角范围为（0，），渐近线斜率为：，|、|、|成等差数列，|OB|+|OA|=2|AB|，|AB|2=（|OB|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|OA|）2|AB|，可得：，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tanAOB=，而由对称性可知：OA的斜率为k=tan，2k2+3k2=0，；，（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为=1，c=b由于AB的倾斜角为+AOB，故AB的斜率为tan（+AOB ）=cot（AOB）=2，AB的直线方程为 y=2（xb），代入双曲线方程得：15x232bx+84b2=0，x1+x2=，x1x2=，4=，即16=112b2，b2=9，所求双曲线方程为：=1【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据，联想到对应的是2渐近线的夹角的正切值，属于中档题22（12分）设函数f（x）=xxlnx数列an满足0a11，an+1=f（an）（）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；（）证明：anan+11；（）设b（a1，1），整数证明：ak+1b【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而进行证明（2）由题意数列an满足0a11，an+1=f（an），求出an+1=ananlnan，然后利用归纳法进行证明；（3）由题意f（x）=xxlnx，an+1=f（an）可得ak+1=akbak，然后进行讨论求解【解答】解：（）证明：f（x）=xxlnx，f（x）=lnx，当x（0，1）时，f（x）=lnx0故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；（）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，0a11，a1lna10，a2=f（a1）=a1a1lna1a1，函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续，f（x）在区间（0，1是增函数，a2=f（a1）=a1a1lna11，即a1a21成立，（）假设当x=k（kN+）时，akak+11成立，即0a1akak+11，那么当n=k+1时，由f（x）在区间（0，1是增函数，0a1akak+11，得f（ak）f（ak+1）f（1），而an+1=f（an），则ak+1=f（ak），ak+2=f（ak+1），ak+1ak+21，也就是说当n=k+1时，anan+11也成立，根据（）、（）可得对任意的正整数n，anan+11恒成立（）证明：由f（x）=xxlnx，an+1=f（an）可得ak+1=akaklnak=，1）若存在某ik，满足aib，则由（）知：ak+1baib0，2）若对任意ik，都有aib，则ak+1=akaklnak=a1b1ka1lnb=0，即ak+1b成立【点评】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识及数学归纳法的应用，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题第14页（共14页）2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，则集合U（AB）中的元素共有（）A3个B4个C5个D6个2（5分）已知=2+i，则复数z=（）A1+3iB13iC3+iD3i3（5分）不等式1的解集为（）Ax|0x1x|x1Bx|0x1Cx|1x0Dx|x04（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）AB2CD5（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A150种B180种C300种D345种6（5分）设、是单位向量，且，则的最小值为（）A2B2C1D17（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）ABCD8（5分）如果函数y=3cos（2x+）的图象关于点（，0）中心对称，那么|的最小值为（）ABCD9（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A1B2C1D210（5分）已知二面角l为60，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A1B2CD411（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x1）都是奇函数，则（）Af（x）是偶函数Bf（x）是奇函数Cf（x）=f（x+2）Df（x+3）是奇函数12（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若=3，则|=（）AB2CD3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）（xy）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 14（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8= 15（5分）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=120，则此球的表面积等于 16（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b18（12分）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，ABM=60（I）证明：M是侧棱SC的中点；（）求二面角SAMB的大小19（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望20（12分）在数列an中，a1=1，an+1=（1+）an+（1）设bn=，求数列bn的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn21（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x4）2+y2=r2（r0）相交于A、B、C、D四个点（）求r的取值范围；（）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标22（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x11，0，x21，2（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，则集合U（AB）中的元素共有（）A3个B4个C5个D6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出AB，再根据补集的含义求解【解答】解：AB=3，4，5，7，8，9，AB=4，7，9U（AB）=3，5，8故选A也可用摩根律：U（AB）=（UA）（UB）故选：A【点评】本题考查集合的基本运算，较简单2（5分）已知=2+i，则复数z=（）A1+3iB13iC3+iD3i【考点】A1：虚数单位i、复数菁优网版权所有【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z【解答】解：，z=13i故选：B【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解3（5分）不等式1的解集为（）Ax|0x1x|x1Bx|0x1Cx|1x0Dx|x0【考点】7E：其他不等式的解法菁优网版权所有【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值【解答】解：1，|x+1|x1|，x2+2x+1x22x+1x0不等式的解集为x|x0故选：D【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方4（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）AB2CD【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b24a2=0，即，故选：C【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题5（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A150种B180种C300种D345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理菁优网版权所有【专题】5O：排列组合【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51C31C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52C61C21=120种选法故共有345种选法故选：D【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！6（5分）设、是单位向量，且，则的最小值为（）A2B2C1D1【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】由题意可得 =，故要求的式子即 （）+=1 cos=1cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值【解答】解：、 是单位向量，=（）+=0（）+1=1 cos =1cos故选：D【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律7（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）ABCD【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知=A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cos=故选：D【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理8（5分）如果函数y=3cos（2x+）的图象关于点（，0）中心对称，那么|的最小值为（）ABCD【考点】HB：余弦函数的对称性菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先根据函数y=3cos（2x+）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出的值，进而可得|的最小值【解答】解：函数y=3cos（2x+）的图象关于点中心对称由此易得故选：A【点评】本题主要考查余弦函数的对称性属基础题9（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A1B2C1D2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又x0+a=1y0=0，x0=1a=2故选：B【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10（5分）已知二面角l为60，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A1B2CD4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】分别作QA于A，ACl于C，PB于B，PDl于D，连CQ，BD则ACQ=PBD=60，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可【解答】解：如图分别作QA于A，ACl于C，PB于B，PDl于D，连CQ，BD则ACQ=PDB=60，又当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值故选：C【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题11（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x1）都是奇函数，则（）Af（x）是偶函数Bf（x）是奇函数Cf（x）=f（x+2）Df（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项【解答】解：f（x+1）与f（x1）都是奇函数，函数f（x）关于点（1，0）及点（1，0）对称，f（x）+f（2x）=0，f（x）+f（2x）=0，故有f（2x）=f（2x），函数f（x）是周期T=2（2）=4的周期函数f（x1+4）=f（x1+4），f（x+3）=f（x+3），f（x+3）是奇函数故选：D【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法12（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若=3，则|=（）AB2CD3【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】过点B作BMx轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|【解答】解：过点B作BMx轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为即BM=，故AN=1，故选：A【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）（xy）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于240【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=Cn0anb0+Cn1an1b1+Cn2an2b2+Cnranrbr+Cnna0bn，各项的通项公式为：Tr+1=Cnranrbr然后根据题目已知求解即可【解答】解：因为（xy）10的展开式中含x7y3的项为C103x103y3（1）3=C103x7y3，含x3y7的项为C107x107y7（1）7=C107x3y7由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为240故答案为240【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=Cn0anb0+Cn1an1b1+Cn2an2b2+Cnranrbr+Cnna0bn，属于重点考点，同学们需要理解记忆14（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8=27【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和菁优网版权所有【分析】由s9解得a5即可【解答】解：a5=9a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质15（5分）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=120，则此球的表面积等于20【考点】LR：球内接多面体菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，求出球的半径，然后求出球的表面积【解答】解：在ABC中AB=AC=2，BAC=120，可得由正弦定理，可得ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径，故此球的表面积为4R2=20故答案为：20【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力16（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为8【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决【解答】解：令tanx=t，故填：8【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b【考点】HR：余弦定理菁优网版权所有【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2c2=2b即可得到答案【解答】解：法一：在ABC中sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2c2）=b2又由已知a2c2=2b4b=b2解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2c2=b22bccosA又a2c2=2b，b0所以b=2ccosA+2又sinAcosC=3cosAsinC，sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA由，解得b=4【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用属基础题18（12分）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，ABM=60（I）证明：M是侧棱SC的中点；（）求二面角SAMB的大小【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MNSD交CD于N，作NEAB交AB于E，连ME、NB，则MN面ABCD，MEAB，设MN=x，则NC=EB=x，解RTMNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系Dxyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系Dxyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明（）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系Dxyz，我们可以利用向量法求二面角SAMB的大小【解答】证明：（）作MNSD交CD于N，作NEAB交AB于E，连ME、NB，则MN面ABCD，MEAB，设MN=x，则NC=EB=x，在RTMEB中，MBE=60在RTMNE中由ME2=NE2+MN23x2=x2+2解得x=1，从而M为侧棱SC的中点M（）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系Dxyz，则设M（0，a，b）（a0，b0），则，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点（I）证法三：设，则又故，即，解得=1，所以M是侧棱SC的中点（）由（）得，又，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，二面角SAMB的大小【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果（2）由题意知表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望【解答】解：记Ai表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）Bi表示第j局乙获胜，
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