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2013 2019 年高 文数真题 全国卷

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2013-2019年高考-文数真题（全国卷）,2013,2019,年高,文数真题,全国卷

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关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 1页（共 8页）2013 年全国统一高考数学试卷（文科年全国统一高考数学试卷（文科） （大纲版）（大纲版）一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求的的.1 （5 分）设集合 U=1，2，3，4，5，集合 A=1，2，则UA=（）A1，2B3，4，5C1，2，3，4，5 D2 （5 分）若为第二象限角，sin=，则 cos=（）ABCD3 （5 分）已知向量 =（+1，1） ， =（+2，2） ，若（ + ）（ ） ，则=（）A4B3C2D14 （5 分）不等式|x22|2 的解集是（）A （1，1）B （2，2）C （1，0）（0，1） D （2，0）（0，2）5 （5 分） （x+2）8的展开式中 x6的系数是（）A28B56C112D2246 （5 分）函数 f（x）=log2（1+） （x0）的反函数 f1（x）=（）ABC2x1（xR）D2x1（x0）7 （5 分）已知数列an满足 3an+1+an=0，a2=，则an的前 10 项和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）8 （5 分）已知 F1（1，0） ，F2（1，0）是椭圆 C 的两个焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A、B 两点，且|AB|=3，则 C 的方程为（）ABCD9 （5 分）若函数 y=sin（x+） （0）的部分图象如图，则=（）A5B4C3D210 （5 分）已知曲线 y=x4+ax2+1 在点（1，a+2）处切线的斜率为 8，a=（）A9B6C9D611（5 分） 已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， AA1=2AB， 则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于 （）ABCD12 （5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，点 M（2，2） ，过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若，则 k=（）ABCD2二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13 （5 分）设 f（x）是以 2 为周期的函数，且当 x1，3）时，f（x）=x2，则 f（1）=14 （5 分）从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的决赛结果共有种 （用数字作答）15 （5 分）若 x、y 满足约束条件，则 z=x+y 的最小值为16 （ 5 分 ） 已 知 圆 O 和 圆 K 是 球 O 的 大 圆 和 小 圆 ， 其 公 共 弦 长 等 于 球 O 的 半 径 ，则球 O 的表面积等于三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （10 分）等差数列an中，a7=4，a19=2a9，（）求an的通项公式；（）设 bn=，求数列bn的前 n 项和 Sn关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 2页（共 8页）18 （12 分）设ABC 的内角 A，B，C 的内角对边分别为 a，b，c，满足（a+b+c） （ab+c）=ac（）求 B（）若 sinAsinC=，求 C19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ABC=BAD=90，BC=2AD，PAB 与PAD 都是边长为 2的等边三角形（）证明：PBCD；（）求点 A 到平面 PCD 的距离20 （12 分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第 1 局甲当裁判（）求第 4 局甲当裁判的概率；（）求前 4 局中乙恰好当 1 次裁判概率21 （12 分）已知函数 f（x）=x3+3ax2+3x+1（）求 a=时，讨论 f（x）的单调性；（）若 x2，+）时，f（x）0，求 a 的取值范围关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 3页（共 8页）22 （12 分）已知双曲线 C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 3，直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为（I）求 a，b；（II）设过 F2的直线 l 与 C 的左、右两支分别相交于 A、B 两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 4页（共 8页）2013 年全国统一高考数学试卷（文科年全国统一高考数学试卷（文科） （大纲版）（大纲版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求的的.1 【解答】解：因为 U=1，2，3，4，5，集合 A=1，2所以UA=3，4，5故选：故选：B【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键2 【解答】解：为第二象限角，且 sin=，cos=故选：故选：A【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键3 【解答】解：，=（2+3，3） ，=0，（2+3）3=0，解得=3故选：故选：B【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键4 【解答】解：不等式|x22|2 的解集等价于，不等式2x222 的解集，即 0x24，解得 x（2，0）（0，2） 故选：故选：D【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力5 【解答】解： （x+2）8展开式的通项为 Tr+1=Cx8r2r令 8r=6 得 r=2，展开式中 x6的系数是 22C82=112故选：故选：C【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具6 【解答】解：设 y=log2（1+） ，把 y 看作常数，求出 x：1+=2y，x=，其中 y0，x，y 互换，得到 y=log2（1+）的反函数：y=，故选：故选：A【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化7 【解答】解：3an+1+an=0数列an是以为公比的等比数列a1=4由等比数列的求和公式可得，S10=3（1310）故选：故选：C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题8 【解答】解：设椭圆的方程为，关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 5页（共 8页）可得 c=1，所以 a2b2=1AB 经过右焦点 F2且垂直于 x 轴，且|AB|=3可得 A（1，） ，B（1，） ，代入椭圆方程得，联解，可得 a2=4，b2=3椭圆 C 的方程为故选：故选：C【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题9 【解答】解：由函数的图象可知， （x0，y0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期 T=2（）=，所以 T=，所以=4故选：故选：B【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力10 【解答】解：y=x4+ax2+1，y=4x3+2ax，曲线 y=x4+ax2+1 在点（1，a+2）处切线的斜率为 8，42a=8a=6故选：故选：D【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题11 【解答】解：设 AB=1，则 AA1=2，分别以的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则 D（0，0，2） ，C1（1，0，0） ，B（1，1，2） ，C（1，0，2） ，=（1，1，0） ，=（1，0，2） ，=（1，0，0） ，设 =（x，y，z）为平面 BDC1的一个法向量，则，即，取 =（2，2，1） ，设 CD 与平面 BDC1所成角为，则 sin=|=，故选：故选：A【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键12 【解答】解：由抛物线 C：y2=8x 得焦点（2，0） ，由题意可知：斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x2） ，代入抛物线方程，得到 k2x2（4k2+8）x+4k2=0，0，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） x1+x2=4+，x1x2=4y1+y2=，y1y2=16，又=0，=（x1+2，y12）（x2+2，y22）=0k=2故选：故选：D【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 6页（共 8页）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.131【解答】解：因设 f（x）是以 2 为周期的函数，且当 x1，3）时，f（x）=x2，则 f（1）=f（1）=12=1故答案为：1【点评】本题考查函数的周期的应用，函数值的求法，函数的定义域是解题的关键，考查计算能力1460【解答】解：依题意，可分三步，第一步从 6 名选手中决出 1 名一等奖有种方法，第二步，再决出 2 名二等奖，有种方法，第三步，剩余三人为三等奖，根据分步乘法计数原理得：共有=60 种方法故答案为：60【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题150【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC 及其内部，其中 A（1，1） ，B（0，） ，C（0，4）设 z=F（x，y）x+y，将直线 l：z=x+y 进行平移，当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值z最小值=F（1，1）=1+1=0故答案为：0【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数 z=x+y 的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题1616【解答】解：如图所示，设球 O 的半径为 r，AB 是公共弦，OCK 是面面角根据题意得 OC=，CK=在OCK 中，OC2=OK2+CK2，即r2=4球 O 的表面积等于 4r2=16故答案为 16【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 【解答】解： （I）设等差数列an的公差为 da7=4，a19=2a9，解得，a1=1，d=（II）=关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 7页（共 8页）sn=【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易18 【解答】解： （I）（a+b+c） （ab+c）=（a+c）2b2=ac，a2+c2b2=ac，cosB=，又 B 为三角形的内角，则 B=120；（II）由（I）得：A+C=60，sinAsinC=，cos（A+C）=，cos （AC） =cosAcosC+sinAsinC=cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC=cos （A+C） +2sinAsinC=+2=，AC=30或 AC=30，则 C=15或 C=45【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键19 【解答】 （I）证明：取 BC 的中点 E，连接 DE，则 ABED 为正方形，过 P 作 PO平面 ABCD，垂足为 O，连接 OA，OB，OD，OE由PAB 和PAD 都是等边三角形知 PA=PB=PDOA=OB=OD，即 O 为正方形 ABED 对角线的交点OEBD，PBOEO 是 BD 的中点，E 是 BC 的中点，OECDPBCD；（II）取 PD 的中点 F，连接 OF，则 OFPB由（I）知 PBCD，OFCD，=POD 为等腰三角形，OFPDPDCD=D，OF平面 PCDAECD，CD平面 PCD，AE平面 PCD，AE平面 PCDO 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离OF=点 A 到平面 PCD 的距离为 1【点评】本题考查线线垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生转化的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20 【解答】解： （I）设 A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”，A 表示事件“第四局甲当裁判”则 A=A1A2P（A）=P（A1A2）=（II）设 B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B 表示事件“前 4 局中乙恰好当 1 次裁判”则 B=，则 P（B）=P（）=+=+=【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键21 【解答】解： （I）当 a=时，f（x）=x3+3x2+3x+1，f（x）=3x2+6x+3，令 f（x）=0，可得 x=，或 x=，当 x（，）时，f（x）0，f（x）单调递增，当 x（，）时，f（x）0，f（x）单调递减，关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 8页（共 8页）当 x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；（II）由 f（2）0，可解得 a，当 a，x（2，+）时，f（x）=3（x2+2ax+1）3（）=3（x） （x2）0，所以函数 f（x）在（2，+）单调递增，于是当 x2，+）时，f（x）f（2）0，综上可得，a 的取值范围是，+）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题22 【解答】解： （I）由题设知=3，即=9，故 b2=8a2所以 C 的方程为 8x2y2=8a2将 y=2 代入上式，并求得 x=，由题设知，2=，解得 a2=1所以 a=1，b=2（II）由（I）知，F1（3，0） ，F2（3，0） ，C 的方程为 8x2y2=8由题意，可设 l 的方程为 y=k（x3） ，|k|2代入并化简得（k28）x26k2x+9k2+8=0设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x11，x21，x1+x2=，于是|AF1|=（3x1+1） ，|BF1|=3x2+1，|AF1|=|BF1|得（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=由于|AF2|=13x1，|BF2|=3x21，故|AB|=|AF2|BF2|=23（x1+x2）=4，|AF2|BF2|=3（x1+x2）9x1x21=16因而|AF2|BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 1页（共 10页）2013 年全国统一高考数学试卷（文科年全国统一高考数学试卷（文科） （新课标（新课标）一一、选择题共选择题共 12 小题小题每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每个小题给出的四个选项中在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目只有一项是符合题目要求的一项要求的一项1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，4，B=x|x=n2，nA，则 AB=（）A1，4B2，3C9，16D1，22 （5 分）=（）A1iB1+iC1+iD1i3 （5 分）从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是（）ABCD4 （5 分）已知双曲线 C：（a0，b0）的离心率为，则 C 的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=xDy=5 （5 分）已知命题 p：xR，2x3x；命题 q：xR，x3=1x2，则下列命题中为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq6 （5 分）设首项为 1，公比为的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则（）ASn=2an1BSn=3an2CSn=43anDSn=32an7 （5 分）执行程序框图，如果输入的 t1，3，则输出的 s 属于（）A3，4B5，2C4，3D2，58 （5 分）O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|=4，则POF 的面积为（）A2B2C2D49 （5 分）函数 f（x）=（1cosx）sinx 在，的图象大致为（）ABCD10 （5 分）已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）A10B9C8D511 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16+8B8+8C16+16D8+1612 （5 分）已知函数 f（x）=，若|f（x）|ax，则 a 的取值范围是（）A （，0B （，1C2，1D2，0二填空题：本大题共四小题，每小题二填空题：本大题共四小题，每小题 5 分分关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 2页（共 10页）13 （5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 60， =t +（1t） 若 =0，则 t=14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2xy 的最大值为15 （5 分）已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH：HB=1：2，AB平面，H 为垂足，截球 O 所得截面的面积为，则球 O 的表面积为16 （5 分）设当 x=时，函数 f（x）=sinx2cosx 取得最大值，则 cos=三三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和 Sn满足 S3=0，S5=5（）求an的通项公式；（）求数列的前 n 项和18 （12 分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 A 药，B 药）的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明：ABA1C；（）若 AB=CB=2，A1C=，求三棱柱 ABCA1B1C1的体积20 （12 分）已知函数 f（x）=ex（ax+b）x24x，曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处切线方程为 y=4x+4（）求 a，b 的值；（）讨论 f（x）的单调性，并求 f（x）的极大值关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 3页（共 10页）21 （12 分）已知圆 M： （x+1）2+y2=1，圆 N： （x1）2+y2=9，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C（）求 C 的方程；（） l 是与圆 P， 圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C 交于 A， B 两点， 当圆 P 的半径最长时， 求|AB|请考生在第请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22 （10 分） （选修 41：几何证明选讲）如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE交圆于 D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为 1，BC=，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径23已知曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为=2sin（1）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求 C1与 C2交点的极坐标（0，02） 关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 4页（共 10页）24已知函数 f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（）当 a=2 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（）设 a1，且当 x，时，f（x）g（x） ，求 a 的取值范围关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 5页（共 10页）2013 年全国统一高考数学试卷（文科年全国统一高考数学试卷（文科） （新课标（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一、选择题共选择题共 12 小题小题每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每个小题给出的四个选项中在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目只有一项是符合题目要求的一项要求的一项1 【解答】解：根据题意得：x=1，4，9，16，即 B=1，4，9，16，A=1，2，3，4，AB=1，4故选：故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 【解答】解：=1+i故选：故选：B【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的乘方运算，考查计算能力3 【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 4 个不同的数中随机的抽 2 个，共有 C42=6 种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于 2，有 2 种结果，分别是（1，3） ， （2，4） ，要求的概率是=故选：故选：B【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果4 【解答】解：由双曲线 C：（a0，b0） ，则离心率 e=，即 4b2=a2，故渐近线方程为 y=x=x，故选：故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题5 【解答】解：因为 x=1 时，2131，所以命题 p：xR，2x3x为假命题，则p 为真命题令 f（x）=x3+x21，因为 f（0）=10，f（1）=10所以函数 f（x）=x3+x21 在（0，1）上存在零点，即命题 q：xR，x3=1x2为真命题则pq 为真命题故选：故选：B【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题6 【解答】解：由题意可得 an=1=，Sn=3=32=32an，故选：故选：D【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及指数的运算，属中档题7 【解答】解：由判断框中的条件为 t1，可得：函数分为两段，即 t1 与 t1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即 t1 时，函数的解析式为：s=4tt2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的 t1，3，画出此分段函数在 t1，3时的图象，则输出的 s 属于3，4故选：故选：A关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 6页（共 10页）【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；根据判断框中的条件，设置分类标准；根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式8 【解答】解：抛物线 C 的方程为 y2=4x2p=4，可得=，得焦点 F（）设 P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即 m+=4，解得 m=3点 P 在抛物线 C 上，得 n2=43=24n=|OF|=POF 的面积为 S=|OF|n|=2故选：故选：C【点评】本题给出抛物线 C：y2=4x 上与焦点 F 的距离为 4的点 P，求POF 的面积着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题9 【解答】解：由题意可知：f（x）=（1cosx）sin（x）=f（x） ，故函数 f（x）为奇函数，故可排除 B，又因为当 x（0，）时，1cosx0，sinx0，故 f（x）0，可排除 A，又 f（x）=（1cosx）sinx+（1cosx） （sinx）=sin2x+cosxcos2x=cosxcos2x，故可得 f（0）=0，可排除 D，故选：故选：C【点评】本题考查三角函数的图象，涉及函数的奇偶性和某点的导数值，属基础题10 【解答】解：23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A1=0，即 cos2A=，A 为锐角，cosA=，又 a=7，c=6，根据余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即 49=b2+36b，解得：b=5 或 b=（舍去） ，则 b=5故选：故选：D【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 7页（共 10页）11 【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为 2，母线长为 4长方体的体积=422=16，半个圆柱的体积=224=8所以这个几何体的体积是 16+8；故选：故选：A【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力12 【解答】解：由题意可作出函数 y=|f（x）|的图象，和函数 y=ax 的图象，由图象可知：函数 y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意，直线 l 为曲线的切线，且此时函数 y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为 y=x22x，求其导数可得 y=2x2，因为 x0，故 y2，故直线 l 的斜率为2，故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于2 与 0 之间即可，即 a2，0故选：故选：D【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题二填空题：本大题共四小题，每小题二填空题：本大题共四小题，每小题 5 分分132【解答】解：，=0，tcos60+1t=0，1=0，解得 t=2故答案为 2【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键143【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得 A（3，3） ，z=2xy 可转换成 y=2xz，z 最大时，y 值最小，即：当直线 z=2xy 过点 A（3，3）时，在 y 轴上截距最小，此时 z 取得最大值 3故答案为：3【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 8页（共 10页）15【解答】解：设球的半径为 R，AH：HB=1：2，平面与球心的距离为R，截球 O 所得截面的面积为，d=R 时，r=1，故由 R2=r2+d2得 R2=12+（R）2，R2=球的表面积 S=4R2=故答案为：【点评】若球的截面圆半径为 r，球心距为 d，球半径为 R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即 R2=r2+d216【解答】解：f（x）=sinx2cosx=（sinxcosx）=sin（x） （其中 cos=，sin=） ，x=时，函数 f（x）取得最大值，sin（）=1，即 sin2cos=，又 sin2+cos2=1，联立得（2cos+）2+cos2=1，解得 cos=故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键三三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 【解答】解： （）设数列an的首项为 a1，公差为 d，则由已知可得，即，解得 a1=1，d=1，故an的通项公式为 an=a1+（n1）d=1+（n1）（1）=2n；（）由（）知从而数列的前 n 项和Sn=【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题18 【解答】解： （）设 A 药观测数据的平均数据的平均数为 ，设 B 药观测数据的平均数据的平均数为 ，则 =（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）=2.3（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）=1.6由以上计算结果可知：由此可看出 A 药的效果更好（）根据两组数据得到下面茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有的叶集中在 2，3 上而 B 药疗效的试验结果由的叶集中在 0，1 上由此可看出 A 药的疗效更好【点评】熟练掌握平均数的计算公式和茎叶图的结果及其功能是解题的关键19 【解答】 （）证明：如图，取 AB 的中点 O，连结 OC，OA1，A1B因为 CA=CB，所以 OCAB由于 AB=AA1，故AA1B 为等边三角形，所以 OA1AB关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 9页（共 10页）因为 OCOA1=O，所以 AB平面 OA1C又 A1C平面 OA1C，故 ABA1C；（）解：由题设知ABC 与AA1B 都是边长为 2 的等边三角形，所以又，则，故 OA1OC因为 OCAB=O，所以 OA1平面 ABC，OA1为三棱柱 ABCA1B1C1的高又ABC 的面积，故三棱柱 ABCA1B1C1的体积【点评】题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题20 【解答】解： （）f（x）=ex（ax+b）x24x，f（x）=ex（ax+a+b）2x4，曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处切线方程为 y=4x+4f（0）=4，f（0）=4b=4，a+b=8a=4，b=4；（）由（）知，f（x）=4ex（x+1）x24x，f（x）=4ex（x+2）2x4=4（x+2） （ex） ，令 f（x）=0，得 x=ln2 或 x=2x（，2）或（ln2，+）时，f（x）0；x（2，ln2）时，f（x）0f（x）的单调增区间是（，2） ， （ln2，+） ，单调减区间是（2，ln2）当 x=2 时，函数 f（x）取得极大值，极大值为 f（2）=4（1e2） 【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键21 【解答】解： （I）由圆 M： （x+1）2+y2=1，可知圆心 M（1，0） ；圆 N： （x1）2+y2=9，圆心 N（1，0） ，半径 3设动圆的半径为 R，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，|PM|+|PN|=R+1+（3R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，4 为长轴长的椭圆，a=2，c=1，b2=a2c2=3曲线 C 的方程为（x2） （II）设曲线 C 上任意一点 P（x，y） ，由于|PM|PN|=2R231=2，所以 R2，当且仅当P 的圆心为（2，0）R=2 时，其半径最大，其方程为（x2）2+y2=4l 的倾斜角为 90，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|=若 l 的倾斜角不为 90，由于M 的半径 1R，可知 l 与 x 轴不平行，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则，可得 Q（4，0） ，所以可设 l：y=k（x+4） ，由 l 于 M 相切可得：，解得当时，联立，得到 7x2+8x8=0，|AB|=由于对称性可知：当时，也有|AB|=综上可知：|AB|=或【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、 弦长公式等基础知识， 需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 10页（共 10页）请考生在第请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22 【解答】 （I）证明：连接 DE 交 BC 于点 G由弦切角定理可得ABE=BCE，而ABE=CBE，CBE=BCE，BE=CE又DBBE，DE 为O 的直径，DCE=90DBEDCE，DC=DB（II）由（I）可知：CDE=BDE，DB=DC故 DG 是 BC 的垂直平分线，BG=设 DE 的中点为 O，连接 BO，则BOG=60从而ABE=BCE=CBE=30CFBFRtBCF 的外接圆的半径=【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力23 【解答】解： （1）将，消去参数 t，化为普通方程（x4）2+（y5）2=25，即 C1：x2+y28x10y+16=0，将代入 x2+y28x10y+16=0，得28cos10sin+16=0C1的极坐标方程为28cos10sin+16=0（2）曲线 C2的极坐标方程为=2sin曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y22y=0，联立，解得或，C1与 C2交点的极坐标为（）和（2，） 【点评】本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、 参数方程的互化等基础知识， 考查推理论证能力、 运算求解能力， 考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题24 【解答】解： （）当 a=2 时，求不等式 f（x）g（x）化为|2x1|+|2x2|x30设 y=|2x1|+|2x2|x3，则 y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y0 的解集为（0，2） ，故原不等式的解集为（0，2） （）设 a1，且当 x，时，f（x）=1+a，不等式化为 1+ax+3，故 xa2 对 x，都成立故a2，解得 a，故 a 的取值范围为（1，【点评】本题考查绝对值不等式的解法与绝对值不等式的性质，关键是利用零点分段讨论法分析函数的解析式关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 1页（共 8页）2014 年全国统一高考数学试卷（文科年全国统一高考数学试卷（文科） （大纲版）（大纲版）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分）分）1 （5 分）设集合 M=1，2，4，6，8，N=1，2，3，5，6，7，则 MN 中元素的个数为（）A2B3C5D72 （5 分）已知角的终边经过点（4，3） ，则 cos=（）ABCD3 （5 分）不等式组的解集为（）Ax|2x1Bx|1x0Cx|0x1Dx|x14 （5 分）已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为（）ABCD5 （5 分）函数 y=ln（+1） （x1）的反函数是（）Ay=（1ex）3（x1）By=（ex1）3（x1）Cy=（1ex）3（xR）Dy=（ex1）3（xR）6 （5 分）已知 ， 为单位向量，其夹角为 60，则（2 ） =（）A1B0C1D27 （5 分）有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A60 种B70 种C75 种D150 种8 （5 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn若 S2=3，S4=15，则 S6=（）A31B32C63D649 （5 分）已知椭圆 C：+=1（ab0）的左、右焦点为 F1、F2，离心率为，过 F2的直线 l交 C 于 A、B 两点，若AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=110 （5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（）AB16C9D11 （5 分）双曲线 C：=1（a0，b0）的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为，则 C 的焦距等于（）A2B2C4D412 （5 分）奇函数 f（x）的定义域为 R，若 f（x+2）为偶函数，且 f（1）=1，则 f（8）+f（9）=（）A2B1C0D1二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分) )13 （5 分） （x2）6的展开式中 x3的系数是 （用数字作答）14 （5 分）函数 y=cos2x+2sinx 的最大值是15 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=x+4y 的最大值为16 （5 分）直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1与 l2的交点为（1，3） ，则 l1与 l2的夹角的正切值等于三、解答题三、解答题17 （10 分）数列an满足 a1=1，a2=2，an+2=2an+1an+2（）设 bn=an+1an，证明bn是等差数列；（）求an的通项公式18 （12 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 3acosC=2ccosA，tanA=，求 B关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 2页（共 8页）19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上，ACB=90，BC=1，AC=CC1=2（）证明：AC1A1B；（）设直线 AA1与平面 BCC1B1的距离为，求二面角 A1ABC 的大小20 （12 分）设每个工作日甲，乙，丙，丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立（）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（）实验室计划购买 k 台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于 k”的概率小于 0.1，求 k 的最小值21 （12 分）函数 f（x）=ax3+3x2+3x（a0） （）讨论 f（x）的单调性；（）若 f（x）在区间（1，2）是增函数，求 a 的取值范围关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 3页（共 8页）22 （12 分）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为Q，且|QF|=|PQ|（）求 C 的方程；（）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N 两点，且 A、M、B、N 四点在同一圆上，求 l 的方程关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 4页（共 8页）2014 年全国统一高考数学试卷（文科年全国统一高考数学试卷（文科） （大纲版）（大纲版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分）分）1 【解答】解：M=1，2，4，6，8，N=1，2，3，5，6，7，MN=1，2，6，即 MN 中元素的个数为 3故选：故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 【解答】解：角的终边经过点（4，3） ，x=4，y=3，r=5cos=，故选：故选：D【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题3 【解答】解：由不等式组可得，解得 0x1，故选：故选：C【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题4 【解答】解：如图，取 AD 中点 F，连接 EF，CF，E 为 AB 的中点，EFDB，则CEF 为异面直线 BD 与 CE 所成的角，ABCD 为正四面体，E，F 分别为 AB，AD 的中点，CE=CF设正四面体的棱长为 2a，则 EF=a，CE=CF=在CEF 中，由余弦定理得：=故选：故选：B【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题5 【解答】解：y=ln（+1） ，+1=ey，即=ey1，x=（ey1）3，所求反函数为 y=（ex1）3，故选：故选：D【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题6 【解答】解：由题意可得，=11cos60=，=1，（2 ） =2=0，故选：故选：B【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题7 【解答】解：根据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C62=15 种选法，再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C51=5 种选法，则不同的选法共有 155=75 种；故选：故选：C【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 5页（共 8页）8 【解答】解：S2=a1+a2，S4S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以 S2，S4S2，S6S4成等比数列，即 3，12，S615 成等比数列，可得 122=3（S615） ，解得 S6=63故选：故选：C【点评】本题考查等比数列的性质，得出 S2，S4S2，S6S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题9 【解答】解：AF1B 的周长为 4，AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=4，a=，离心率为，c=1，b=，椭圆 C 的方程为+=1故选：故选：A【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题10 【解答】解：设球的半径为 R，则棱锥的高为 4，底面边长为 2，R2=（4R）2+（）2，R=，球的表面积为 4（）2=故选：故选：A【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题11 【解答】解：=1（a0，b0）的离心率为 2，e=，双曲线的渐近线方程为 y=，不妨取 y=，即 bxay=0，则 c=2a，b=，焦点 F（c，0）到渐近线 bxay=0 的距离为，d=，即，解得 c=2，则焦距为 2c=4，故选：故选：C【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础12 【解答】解：f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，设 g（x）=f（x+2） ，则 g（x）=g（x） ，即 f（x+2）=f（x+2） ，f（x）是奇函数，f（x+2）=f（x+2）=f（x2） ，即 f（x+4）=f（x） ，f（x+8）=f（x+4+4）=f（x+4）=f（x） ，则 f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 6页（共 8页）f（8）+f（9）=0+1=1，故选：故选：D【点评】 本题主要考查函数值的计算， 利用函数奇偶性的性质， 得到函数的对称轴是解决本题的关键二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分) )13160【解答】解：根据题意， （x2）6的展开式的通项为 Tr+1=C6rx6r（2）r=（1）r2rC6rx6r，令 6r=3 可得 r=3，此时 T4=（1）323C63x3=160x3，即 x3的系数是160；故答案为160【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x2）6的展开式的通项14【解答】解：y=cos2x+2sinx=12sin2x+2sinx=又1sinx1当 sinx=时，函数有最大值故答案为：【点评】 本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简， 二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意1sinx1 的条件155【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得 C（1，1） 化目标函数 z=x+4y 为直线方程的斜截式，得由图可知，当直线过 C 点时，直线在 y 轴上的截距最大，z 最大此时 zmax=1+41=5故答案为：5【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题16【解答】解：设 l1与 l2的夹角为 2，由于 l1与 l2的交点 A（1，3）在圆的外部，且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA=，圆的半径为 r=，sin=，cos=，tan=，tan2=，故答案为：【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题三、解答题三、解答题17 【解答】解： （）由 an+2=2an+1an+2 得，关注公众号：麦田笔墨 获取更多干货第 7页（共 8页）an+2an+1=an+1an+2，由 bn=an+1an得，bn+1=bn+2，即 bn+1bn=2，又 b1=a2a1=1，所以bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列（）由（）得，bn=1+2（n1）=2n1，由 bn=an+1an得，an+1an=2n1，则 a2a1=1，a3a2=3，a4a3=5，anan1=2（n1）1，所以，ana1=1+3+5+2（n1）1=（n1）2，又 a1=1，所以an的通项公式 an=（n1）2+1=n22n+2【点评】本题考查了等差数列