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同济
线性代数
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同济五版线性代数课件(按章）,同济,线性代数,课件,按章
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第一章奇排列变成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数. 行列式性质：性质1 行列式与它的转置行列式相等.性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数K ，等于用数k 乘以此行列式.推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变小结：行列式的6个性质 (行列式中行与列具有同等的地位, 凡是对行成立的性质对列也同样成立).计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值第六节余子式也是行列式 定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即范德蒙德(Vandermonde)行列式？推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即第七节克拉默法则定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的。定理4 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组。齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0, 0)就是一个解，称为零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解. 定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解. 定理5 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零. 齐次线性方程组有非零解 = 系数行列式等于零。小结第二章矩阵及其运算特殊的矩阵两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵. 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.转置矩阵的运算性质：伴随矩阵：逆阵：证明一个矩阵可逆，只有证明即可，且AB互为逆阵。定义：设 A 是 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，对角线上的子块都是方阵，那么称 A 为分块对角矩阵。| A | = | A1 | | A2 | | As | 若| As | 0，则 | A | 0，并且定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.标准形矩阵：左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.以 k 乘单位阵第 i 列加到第 j 列性质1 设A是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵. .定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数定理：若 A B，则 R(A) = R(B) 若 A 为 mn 矩阵，则 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 若 A B，则 R(A) = R(B) 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(B) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特别地，当 B = b 为非零列向量时，有R(A)R(A, b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) 若 Amn Bnl = O，则 R(A)R(B)n 当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩矩阵若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) 第四章向量组的线性相关性定义：设有向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价 定理：设A是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.结论：若 C = AB ，那么矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵（A 在左边）矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵（B 在右边）推论：向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl 等价的充分必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)向量组的线性相关性若向量组只包含一个向量：当 a 是零向量时，线性相关；当 a 不是零向量时，线性无关向量组 A：a1, a2, , am (m 2) 线性相关，也就是向量组 A 中，至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示特别地，a1, a2 线性相关当且仅当 a1, a2 的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线a1, a2, a3 线性相关的几何意义是三个向量共面向量组线性相关性的判定（重点难点）若向量组 A ：a1, a2, , am 线性相关， 则向量组 B ：a1, a2, , am, am+1 也线性相关其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时，一定线性相关特别地， n + 1个 n 维向量一定线性相关设向量组 A ：a1, a2, , am 线性无关， 而向量组 B ：a1, a2, , am, b 线性相关，则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的最大线性无关向量组定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, , ar，满足向量组 A0 ：a1, a2, , ar 线性无关；向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的话）都线性相关；那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作RA 向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示；那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的线性方程组解的结构（齐次）基础解系的概念基础解系的求解线性方程组解的结构（非齐次）导出组向量空间定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合定义：齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间向量空间的基的概念例题：过渡矩阵例：在 R3中取定一个基 a1, a2, a3 ，再取一个新基 b1, b2, b3，设 A = (a1, a2, a3)，B = (b1, b2, b3) 求用a1, a2, a3 表示 b1, b2, b3 的表示式（基变换公式）； 求向量在两个基中的坐标之间的关系式（坐标变换公式）。第5章 相似矩阵及二次型向量的内积内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时，x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：对称性： x, y = y, x线性性质： l x, y = lx, yx + y, z = x, z + y, z 当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0；当 x 0（零向量） 时， x, x 0施瓦兹（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y向量的长度为内积的平方根：定理：若 n 维向量a1, a2, , ar 是一组两两正交的非零向量，则 a1, a2, , ar 线性无关例题：规范正交基定义： n 维向量e1, e2, , er 是向量空间 中的向量，满足1）e1, e2, , er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）；2）e1, e2, , er 两两正交；3）e1, e2, , er 都是单位向量，则称 e1, e2, , er 是V 的一个规范正交基求规范正交基的方法：第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设 a1, a2, , ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令第二步：单位化例题：方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的行向量都是单位向量，且两两正交即 A 的行向量组构成Rn 的规范正交基 正交矩阵具有下列性质：若 A 是正交阵，则 A1 也是正交阵，且|A| = 1 或1若 A 和B是正交阵，则 AB 也是正交阵方阵的特征值和特征向量基本性质例题1例题2 n若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组例题定理：设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, , pm 依次是与之对应的特征向量，如果l1, l2, , lm 各不相同，则p1, p2, , pm 线性无关相似矩阵定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的多项式 j (B) 相似n 阶矩阵 A 和对角阵相似当且仅当A 有 n 个线性无关的特征向量推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似。 对称矩阵的对角化定理：设 l1 和 l2 是对称阵 A 的特征值， p1, p2 是对应的特征向量，如果 l1 l2 ，则 p1, p2 正交（P.124定理6）定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得P 1AP = PTAP = L，其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）推论：设 A 为 n 阶对称阵，l 是 A 的特征方程的 k 重根，则矩阵 A lE 的秩等于 n k，恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值 l 对应。二次型及其标准形定理：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在正交变换 x = P y ，使 f 化为标准形 f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + +
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