中考数学压轴题6.pdf

9 2014 年上海市杨浦区中考模拟第 24 题 已知抛物线 y ax2 2ax 4 与 x 轴交于点 A B 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴交于点 C ABC 的面积为 12 1 求抛物线的对称轴及表达式 2 若点 P 在 x 轴上方的抛物线上 且 tan PAB 2 1 求点 P 的坐标 3 在 2 的条件下 过 C 作射线交线段 AP 于点 E 使得 tan BCE 2 1 联结 BE 试问 BE 与 BC 是否垂直 请通过计算说明 9 1 由 y ax2 2ax 4 得 C 0 4 对称轴为直线 x 1 所以 OC 4 如图 1 由 S ABC 1 2 AB OC 12 得 AB 6 由直线 x 1 垂直平分 AB 得 A 2 0 B 4 0 将 B 4 0 代入 y ax2 2ax 4 得 1 2 a 所以抛物线的表达式为 1 2 4 2 yxx 2 1 4 2 xx 2 如图 2 作 PH x 轴于 H 设 1 2 4 2 P xxx 由 1 tan 2 PH PAB AH 得 1 2 4 1 2 22 xx x 解得 x 5 所以 7 5 2 P 第 9 题图 1 第 9 题图 2 3 如图 3 由 tan PAB tan ACO tan ECB 1 2 知 PAB ACO ECB 由 PAB ACO 可得 PAC 90 由 ACO ECB 可得 ACE BCO 45 所以 ACE 是等腰直角三角形 因此 EMA ANC 所以 EM AN 4 MA NC 2 所以 E 2 2 由 B 4 0 C 0 4 E 2 2 可得 CE2 40 BC2 32 CE2 8 因此 CE2 BC2 CE2 所以 EBC 90 所以 BE BC 解法二 如图 4 由 A 2 0 B 4 0 C 0 4 E 2 2 可得2 5CA 4CO 2 10CE 4 2CB 由 2 55 42 CA CO 2 105 24 2 CE CB 得 CACE COCB 又因为 ACO ECB 所以 ACO ECB 因此 AOC EBC 90 所以 BE BC 第 9 题图 3 第 9 题图 4 解法三 由 ACE 和 OCB 都是等腰直角三角形 可得 CACE COCB 又因为 ACO ECB 所以 ACO ECB 因此 AOC EBC 90 所以 BE BC 解法四 如图 5 设 CE 的中点为 Q 由 C 0 4 E 2 2 可得 Q 1 1 2 10CE 由 B 4 0 Q 1 1 可得10QB 因此 QC QE QB 由此可得 EBC 90 解法六 如图 6 由 EAB ECB 可知 A C B E 四点共圆 所以 EBA ECA 45 如图 7 所以 EBC EBA CBA 90 解法七 由 C 0 4 B 4 0 E 2 2 可知 EBO 45 CBO 45 所以 EBC EBO CBO 90 第 9 题图 5 第 9 题图 6 第 9 题图 7 10 2014 年上海市静安区中考模拟第 25 题 如图 1 反比例函数的图像经过点A 2 5 和点 B 5 p 平行四边形 ABCD 的顶点 C D 分别在 y 轴的负半轴 x 轴的正半轴上 二次函数的图像经过点 A C D 1 求直线 AB 的表达式 2 求点 C D 的坐标 3 如果点 E 在第四象限内的二次函数的图像上 且 DCE BDO 求点 E 的坐标 10 1 因为反比例函数的图像经过点 A 2 5 所以 10 y x 代入点 B 5 p 得 p 2 所以 B 5 2 设直线 AB 的解析式为 y kx b 代入 A 2 5 和 B 5 2 得 25 52 kb kb 解得 1 7 k b 所以直线 AB 的表达式为 y x 7 2 如图 1 由 A 2 5 B 5 2 可知 A B 两点间的水平距离 垂直距离都是 3 直线 AB 与坐标轴的夹角为 45 因为 CD AB CD AB 所以 C D 两点间的水平距离 垂直距离也都是 3 所以 C 0 3 D 3 0 3 设抛物线的解析式为 y ax2 bx c 代入 A 2 5 C 0 3 D 3 0 得 425 3 930 abc c abc 解得 1 2 3 a b c 所以物线的解析式为 y x2 2x 3 第 10 题图 1 第 10 题图 2 第 10 题图 3 如图 2 延长 CE 交 x 轴于 F 由 B 5 2 C 0 3 可知 B C 两点间的水平距离 垂直距离都是 5 直线 BC 与坐 标轴的夹角也为 45 设 BC 与 x 轴交于点 G 因此 BGD FDC 135 当 DCE BDO 时 BGD FDC 所以 GBDF GDDC 因此 2 2 63 2 DF 解得 DF 2 如图 3 过点 E 作 EH x 轴 垂足为 H 设点 E 的坐标为 x x2 2x 3 由 EHCO FHFO 可得 2 23 3 55 xx x 解得 13 5 x 所以点 E 的坐标为 1336 525 解法二 如图 4 延长 CE 交 x 轴于 F 过点 C 作 BD 的平行线交 x 轴于 M 由 1 tantan 4 OMCBDO OC 3 可得 OM 12 当 BDO FMC DCE 时 FDC FCM 因此 FDFC FCFM 即 2 FCFD FM 设 FD m 那么 32 3 m 2 m m 15 解得 FD m 2 解法三 如图 5 FDC CGM 所以 DFGC DCGM 因此 3 2 93 2 DF 解得 FD 2 第 10 题图 4 第 10 题图 5 解法四 如图 6 过 F 作 CD 的垂线与 CD 的延长线交于点 N 那么 DFN 是等腰直 角三角形 设 NF ND m 由 1 tan 4 NCF 可得 1 43 2 m m 解得2m 所以 DF 2 第 10 题图 6 9 2014 年上海市浦东新区中考模拟第 24 题 如图 已知在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 2 1 4 yxbxc 与 x 轴交于点 A B 点 A 在点 B 右侧 与 y 轴交于点 C 0 3 且 OA 2OC 1 求这条抛物线的表达式及顶点 M 的坐标 2 求 tan MAC 的值 3 如果点 D 在这条抛物线的对称轴上 且 CAD 45 求点 D 的坐标 9 1 如图 1 由 C 0 3 OA 2OC 得 OC 3 OA 6 所以 A 6 0 将 A 6 0 C 0 3 代入 2 1 4 yxbxc 得 960 3 bc c 解得 b 1 c 3 所以抛物线的解析式为 22 11 3 2 4 44 yxxx 顶点 M 的坐标为 2 4 第 9 题图 1 第 9 题图 2 2 由 A 6 0 M 2 4 得 A M 两点间的水平距离 垂直距离都为 4 所以直线 AM 与坐标轴的夹角为 45 如图 2 设直线 AM 与 y 轴交于点 N 那么 ON OA 6 作 CH AM 于 H 作 HG y 轴于 G 那么 CHN NGH 都是等腰直角三角形 由 ON 6 OC 3 得 CN 3 因此 NG 1 5 GO 4 5 所以 tan MAC 1 51 4 53 CHNHNG HAHAGO 3 如图 3 设抛物线的对称轴直线 x 2 与 x 轴的交点为 E 当点 D 在 AC 上方时 因为 CAD NAO 45 所以 DAE CAN 在 Rt ADE 中 AE 4 tan DAE 1 3 所以 DE 4 3 此时点 D 的坐标为 4 2 3 当点 D 在 AC 下方时 因为 CAD CAD 45 所以 DAD 90 因此 AD D DAE 在 Rt AD E 中 AE 4 tan AD E 1 3 所以 D E 12 此时点 D 的坐标为 2 12 第 9 题图 3 10 2014 年上海市闵行区中考模拟第 25 题 如图 1 ABC 中 AI BI 分别平分 BAC ABC CE 是 ABC 的外角 ACB 的平 分线 交 BI 的延长线于 E 联结 CI 1 设 BAC 2 如果用 表示 BIC 和 E 那么 BIC E 2 如果 AB 1 且 ABC 与 ICE 相似时 求线段 AC 的长 3 如图 2 延长 AI 交 EC 的延长线于 F 如果 30 sin F 3 5 设 BC m 试用 m 的代数式表示 BE 图 1 图 2 10 1 如图 1 BIC 0 11 180 22 ABCACB 00 1 180 180 2 BAC 0 90 如图 2 ACE E 如图 3 ACD 222 所以得 E 第 10 题图 1 第 10 题图 2 第 10 题图 3 2 由于 CI 和 CE 分别是 ACB 及其外角的平分线 所以 ICE 90 如果 ABC 与 ICE 相似 那么 ABC 是直角三角形 有三种情况 如图 4 如果 BAC 90 那么 45 此时 ICE 与 ABC 是等腰直角三角形 所以 AC AB 1 如图 5 如果 ABC 90 那么 BCA E 在 Rt ABC 中 3 90 所以 30 因此33ACAB 如图 6 如果 ACB 90 那么 ABC E 同样的 30 因此 1