完整版控制测量学及误差理论课件

4 6 2020 完整版控制测量 及误差处理理论 4 6 2020 一 大地测量学的定义和体系 大地测量学 是 测定和描绘地球表面的科学 主要任务 测量和描绘地球并监测其变化 为人类活动提供关于地球的空间信息 包括 精确测定地球表面点的地理位置 研究地球形状 大小和地球表面外部重力场 以及它们随时间的变化 4 6 2020 第一章绪论 一 大地测量学的定义和作用二 控制测量学的基本任务和内容三 控制测量的基准面和基准线四 控制网的布设形式五 控制测量新技术的发展应用六 大地测量学的发展简史与展望 4 6 2020 大地测量学的地位和作用在国民经济各项建设和社会发展中 发挥着基础先行的重要保证作用 是一切测绘科学技术的基础 在防灾 减灾 救灾及环境监测 评价与保护中发挥着独具风貌的特殊作用 是发展空间技术和国防建设的重要保障 在当代地球科学研究中的地位更加重要 4 6 2020 大地测量学的基本体系 测量学大地测量学 测量学的两个分支 研究范围是不大的地球表面 把地球表面认为是平面且不损害测量精度 计算时也认为在该范围内的铅垂线彼此是平行的 研究全球或相当大范围内的地球 铅垂线被认为彼此不平行 同时顾及地球的形状及重力场 4 6 2020 常规大地测量学的基本体系 应用大地测量学 以研究建立国家大地测量控制网为中心内容 椭球大地测量学 以研究坐标系建立及地球椭球性质以及投影数学变换为主要内容 天文大地测量学 以研究测量天文经度 纬度及天文方位角为中心内容 重力大地测量学 以研究重力场及重力测量方法为中心内容 测量平差 以研究大地测量控制网平差计算为主要内容 电磁波测距大地测量学 大地测量学同无线电电子学相结合 4 6 2020 与其它相关学科的发展相联系 电磁波测距大地测量学 同无线电电子学相结合 宇宙大地测量学 与天体力学及天文学结合 海洋大地测量学 与海洋地质学及海洋导航学结合地球动力学 与地球物理 海洋地质学及地质学相结合 卫星大地测量学 与人造地球卫星学及天体力学相结合 惯性大地测量学 以惯性原理为基础 利用加速度计测量运动物体某方向加速度 通过计算机积分计算得到运动物体空间位置 现代大地测量数据处理学 与线性代数 矩阵 概率统计及优化设计 数值计算方法等相结合 4 6 2020 现代大地测量学的基本体系 1 几何大地测量学 确定地球的形状 大小及地面点的几何位置 主要内容是关于国家大地测量控制网 平面和高程 建立的基本原理和方法 精密角度测量 距离测量 水准测量 地球椭球数学性质 椭球面上测量计算 椭球数学投影变换以及地球椭球几何参数的数学模型等 4 6 2020 现代大地测量学的基本体系 2 物理大地测量学 用物理方法 重力测量 确定地球形状及其外部重力场 主要内容包括位理论 地球重力场 重力测量及其归算 推求地球形状及外部重力场的理论与方法等 4 6 2020 现代大地测量学的基本体系 3 空间大地测量学 以人造地球卫星及其他空间探测器为代表的空间大地测量的理论 技术与方法 新特征 测量范围大 研究对象和范围不断深入 全面和精细 观测精度高 测量周期短 4 6 2020 现代大地测量学基本科学技术内容 1 确定地球形状及外部重力场及其随时间的变化 建立统一的大地测量坐标系 研究地壳形变 测定极移以及海洋水面地形及其变化等 2 研究月球及太阳系行星的形状及重力场 3 建立和维持具有高科技水平的国家和全球的天文大地水平控制网和精密水准网以及海洋大地控制网 以满足国民经济和国防建设的需要 4 6 2020 现代大地测量学基本科学技术内容 4 研究为获得高精度测量成果的仪器和方法等 5 研究地球表面向椭球面或平面的投影数学变换及有关的大地测量计算 6 研究大规模 高精度和多类别的地面网 空间网及其联合网的数学处理的理论和方法 测量数据库建立及应用等 4 6 2020 二 控制测量学的任务和内容 控制测量是研究精确测定地面点空间位置的学科如 X Y Z L B H 控制测量的特点 服务对象主要是各种工程建设 城镇建设和土地规划与管理工作 测量范围比大地测量小 测量手段 数据处理多样化 工程建设大体可分为设计 施工 运营3个阶段设计阶段 测图控制网施工阶段 施工控制网运营阶段 变形观测专用控制网 4 6 2020 主要内容 研究 国家大地控制网 平面与高程 的建立基本原理与方法 精密测角 方向 测边 精密水准测量 地球椭球数学性质 椭球面上测量计算 椭球数学投影以及地球椭球几何参数的数学模型等 4 6 2020 三 地球形体和控制测量的基准面和基准线 1 地球自然表面 地球体 地球的固体和液体部分相对于大气的分界面 地球自然表面包围的形体 4 6 2020 2 大地水准面 大地体 重力 离心力 地心引力的合力 重力方向 铅垂线方向水准面 静止状态的水面 无数个 重力位能相等 测量中 要求仪器的垂直轴与铅垂线一致 故铅垂线是外业测量工作的基准线 4 6 2020 大地水准面 用占地球表面71 的海水面代替地球的形体 并作为测量外业工作统一的基准面 大地水准面 假定海洋的水体 只受重力作用 无潮汐 风浪影响 处于完全静止和平衡状态 将海洋的表面延伸到大陆的下面并处处保持着与垂线方向正交这一特点 也是一个水准面 称这一特定的水准面为大地水准面 所包围的形体称大地体 4 6 2020 地球内部质量分布不均匀 地壳有高低起伏 所以重力方向有局部变化 致使处处与重力方向垂直的大地水准面也就不规则 它不能作为大地测量计算的基准面 必须寻找一个与大地体相近的 能用简单的数学模型表示的规则体形代替 椭球面 4 6 2020 3 总地球椭球 参考椭球 用来代替大地体的椭球体称为地球椭球体 一个与大地体外形符合最好的地球椭球叫总地球椭球或平均地球椭球 4 6 2020 总地球精球应满足的三个条件 1 总质量等于地球的总质量 中心与地球的质心重合 赤道平面与地球赤道面一致 2 旋转角速度与地球的旋转角速度相等 3 体积与大地体的体积相等 它的表面与大地水难面之间的差距的平方和为最小 总地球精球面是 个理想的测量计算的基准面 4 参考椭球面 参考椭球体 各国或地区为各自的大地测量工作需要 采用了参考椭球体 用参考椭球面作为测量计算的基准面 参考椭球只与某一个国家或某一地区的大地水准面符合较好的地球椭球体 4 6 2020 5 垂线偏差和大地水准面差距 大地水准面的铅垂线与椭球面的法线之间的夹角称为垂线偏差 在某一点上 大地水准面超出椭球面的高差称为大地水准面差距 它们是标志大地水准面和椭球面之间的差异的量 测量计算时要进行归化 4 6 2020 地球模型 地球表面 大地水准面 4 6 2020 四 控制网的布设形式 1 水平控制网的布设形式1 三角网 网形定义观测量 方向值测量基本原理和方法优点 图形简单 精度高 多余观测量多 便于计算 缺点 布网困难大 4 6 2020 三角网起算数据和推算元素 观测量 观测数据 角度或方向值起算数据 X Y S 推算元素 由起算元素和观测元素的平差值推算出的三角形边长 方位角 点的坐标等 独立网与非独立网 附合网 只有必要的一套起算数据 如一条边 一个方位角和一个起算点坐标 多于一套起算数据 4 6 2020 4 6 2020 2 导线网 观测值 角度 或方向 和边长 起算数据 一个起算点 X Y 一个方向的方位角 优点 各点上方向少 通视限制小 易于选点 无须造标 图形灵活 边长精度均匀 缺点 可靠性低 3 边角网和测边网 以三角形为基本图形 4 GPS网2 高程控制网的布设形式 第五章节介绍 4 6 2020 1 精密测角仪器的发展50年代 垂直度盘自动归零补偿器 光学对中器的改进 60年代 读娄的数字化与自动化 电经 2 测距仪的发展普通光源 激光测距仪 红外测距仪 全站型电子速测仪 五 控制测量新技术的发展应用 4 6 2020 3 精密水准仪的发展平板玻璃测微器自动安平水准仪 摩托化 水准测量数字水准仪 4 6 2020 4 计算机在测量上的应用用于控制测量的数据处理用于现代化数据采集测绘资料档案管理信息系统的建立 4 6 2020 5 三维激光扫描系统 工作原理三维激光扫描仪向目标发射激光脉冲 依次扫描被测区域 快速获得地面景观的三维坐标和反射光强 利用软件进行三维建模 生成地面景观的三维图象和可量测点阵数据 并可方便地转化为多种输出格式的图形产品 4 6 2020 6 GPS GlobalPositioningSystem 系统 10个点控制整个北京1 68万平方公里 4 6 2020 4 6 2020 7 惯性导航系统 INS系统 导航是引导载体到达预定目的地的过程 导航分为无线电导航 天文导航 卫星导航及惯性导航 惯性导航则是利用惯性测量元件测量载体相对于惯性空间的运动参数 然后在给定的初始条件下推算出导航参数 引导载体到达目的地的技术 惯性导航技术的理论基础是牛顿力学基本定律 惯性导航仅依靠惯性装置本身就能在载体内部独立地完成导航任务 不需要与外界发生任何信号联系 具有高度的自主性 武器系统的发展和需求 促进了惯性技术的发展 惯性导航装置最先用于飞机 以后成功地用于舰船 80年代中期以后 以激光陀螺和光纤陀螺为基础的地面导航系统逐步发展起来 4 6 2020 六 大地测量学的发展简史与展望 1 大地测量学发展简史1 第一阶段 地球圆球阶段2 第二阶段 地球椭球阶段3 第三阶段 大地水准面阶段4 第四阶段 现代大地测量新时期 4 6 2020 1 第一阶段 地球圆球阶段 从远古至17世纪末 人们把地球认为是圆球 公元前3世纪 亚历山大学者埃拉托色尼首次用子午圈弧长测量法来估算地球半径 分为两种测量 一是属于天文部分 子午圈弧长两端点的纬度差 一是属于大地部分 两端点间的子午圈弧长 到15 16世纪文艺复兴浪潮席卷欧洲时 以哥白尼 伽里略及牛顿等为代表的一批科学家摆脱宗教枷锁后 才在自然科学方面获得一系列的惊人发明和创造 促进了大地测量学的萌芽和形成 4 6 2020 2 第二阶段 地球椭球阶段 17世纪末至19世纪下半叶 人们把地球的认识推进到向两极略扁的椭球 17世纪初 荷兰人斯涅耳 W Snell 首创三角测量法 此后 望远镜 游标尺 十字丝 测微器等相继出现 天文学和物理学在地球形状 重力场及其空间位置等方面也都提出了崭新的观念 荷兰的哥白尼1543年创立了日心说 确定了地球在太阳系中的空间位置 4 6 2020 德国的开普勒1619年发表了行星运动遵循的三大定律 意大利的伽里略1590年根据自由落体原理进行了第一次重力测量 荷兰的惠更斯1673年提出用摆进行重力测量的原理 并推导了数学摆公式 牛顿于1687年根据他建立的万有引力定律 经论证认为 在引力定律下 并绕一轴旋转的均质流体物质的均衡形状 是两极扁平的旋转椭球 重力加速度由赤道向两极与 地理纬度 成比例地增加 4 6 2020 惠更斯也推导了地球的扁率 把地球质量集中在球心 扁率等于赤道处离心力与引力之比的一半 人类进入了认识地球为旋转椭球的新阶段 几何大地测量学得到形成和发展 物理大地测量学开始奠定基础 4 6 2020 取得的成绩 1 长度单位的建立 2 最小二乘法的提出 3 椭球大地测量学的形成 解决了椭球数学性质 椭球面上测量计算 以及将椭球面投影到平面的正形投影方法 4 弧度测量大规模展开 5 推算了不同的地球椭球参数 4 6 2020 基础理论 1 克莱罗定理的提出 是假设地球是由许多密度不同的均匀物质层圈组成的椭球体 2 重力位函数的提出 位函数是有这种性质的函数 在一个参考坐标系中 引力位对被吸引点三个坐标方向的一阶导数等于引力在该方向上的分力 3 地壳均衡学说的提出 导出均衡重力异常用于重力归算 4 重力测量有了进展 2 第二阶段 地椭球阶段 4 6 2020 存在的问题 外业测量的基准线是铅垂线 方向是物理的重力方向 而椭球面计算基准线则是法线 方向则是几何的垂直方向 重力方向相对法线方向有偏差 即所谓垂线偏差 地球表面每点的重力及其方向都不相同 地球表面是极其复杂的自然地面 不能用简单数学关系式来表达 只能用控制点坐标来逐点描绘 2 第二阶段 地球椭球阶段 4 6 2020 由于海水面占全球表面大部分 且比较规则 在某种假设下 可认为海水面是重力等位面 并把它延伸到大陆下 得到一个遍及全球的等位面 德国的李斯廷 J B Listing 1872年 把它命名为大地水准面 人类认识地球形状又产生了一次飞跃 即将椭球面推进到大地水准面的新阶段 4 6 2020 19世纪下半叶至20世纪40年代 对椭球的认识发展到是大地水准面包围的大地体 几何大地测量学的进展 1 天文大地网的布设有了重大发展 2 因瓦基线尺出现带平行玻璃板测微器的水准仪及因瓦水准尺使用 将天文大地测量同重力测量相结合代替天文水准等方面有较大进步 3 第三阶段 大地水准面阶段 4 6 2020 物理大地测量理论研究和实践取得重大进展 1 大地测量边值问题理论的提出克莱罗是以椭球面为边界解决边值问题的 英国的斯托克司提出了以大地水准面为边界面的扰动位计算公式和大地水准面起伏公式 荷兰学者维宁 曼尼兹推出了以大地水准面为参考面的垂线偏差公式 俄国学者莫洛金斯基直接利用地面上的重力观测值求定地球形状和外部重力场 4 6 2020 2 提出了新的椭球参数 主要特点是用重力测量资料推求椭球扁率 赫尔默特椭球参数 海福特椭球参数 克拉索夫斯基椭球参数 4 6 2020 平差计算前对测量数据的归算 马尔可夫 Markov 在高斯平差理论的基础上 提出了高斯 马尔可夫的平差模型 荷兰学者田斯特拉 Tienstra 完成了相关平差的理论 提出了分阶段 分区以及分组平差的理论与实践 矩阵及线性代数和数理统计等相关学科理论引入测量平差中 3 测量数据处理和测量平差理论与实践的发展 4 6 2020 距离测量的发展 1948年瑞典人贝尔斯特兰德研制成功世界上第一台光电测距仪 60年代出现了激光测距仪 1956年南非人沃德利研制成功世界第一台微波测距仪 70年代德国首先研制成功测距 测角相结合的电子速测仪 导线测量及测边网 边角网测量成为可能 4 第四阶段 现代大地测量新时期 4 6 2020 空间技术的发展 20世纪70年代卫星多普勒技术 海洋卫星雷达测高 激光卫星测距 SLR 等得到应用 80年代 美国全球卫星定位系统 GPS 得到全面发展 并投入使用 俄罗斯也有相应的定位系统 GLONASS利用空间探测器 卫星或空间飞行器 形成了月球和行星大地测量学 4 6 2020 控制网优化和测量平差理论的发展 20世纪60年代 荷兰学者巴尔达重新研究并提出了大地控制网质量标准问题 明确提出评价大地网质量的三项标准 精度 可靠性和经费 在精度标准中 提出准则矩阵的概念 在70年代 德国学者格拉法伦德等提出了人们公认的控制网优化设计的四类分法及内容 系统地引进了数学规划的解法 并引进了准则矩阵的建立等问题 最小二乘配置法综合了平差 滤波和推估 形成了广义的最小二乘法平差理论 4 6 2020 2 大地测量展望 主导本学科发展的主要的空间大地测量技术美国国防部自1973年开始研制的全球性的授时测距定位导航系统 GlobalPositioningSystem 简称GPS 前苏联也研制了相似的全球卫星导航系统 GLONASS GlobalNavigationSatelliteSystem 欧洲空间局也计划建立相应的全球卫星导航系统NAVSAT 4 6 2020 主导本学科发展的主要的空间大地测量技术 激光测卫SLR SatelliteLaserRanging 绝对定位技术 卫星对卫星的在轨卫星之间激光测距系统与已有的海洋卫星雷达测高系统组合成的全球陆地海洋卫星激光测高系统 甚长基线干涉测量VLBI VeryLongBaselineInterferometry 惯性测量系统INS 1nertialNavigationSystem 4 6 2020 4 6 2020 空间大地网的建立 用卫星测量 激光测卫及甚长基线干涉测量等空间大地测量技术建立大规模 高精度 多用途的空间大地测量控制网 是确定地球基本参数及其重力场 建立大地基准参考框架 监测地壳形变 保证空间技术及战略武器发展的地面基准等科技任务的基本技术方案 精化地球重力场模型是大地测量学的重要发展目标 4 6 2020 4 6 2020 6 1控制测量概述 一 控制测量 controlsurvey 1 目的与作用 为测图或工程建设的测区建立统一的平面控制网 horizontalcontrolnetwork 和高程控制网 verticalcontrolnetwork 控制误差的积累和传播 作为进行各种碎部测量的基准 4 6 2020 2 有关名词 小地区 小区域 不必考虑地球曲率对水平角和水平距离影响的范围 控制点 具有精确可靠平面坐标或高程的测量基准点 控制网 由控制点分布和测量方法决定所组成的图形 控制测量 为建立控制网所进行的测量工作 4 6 2020 3 控制测量分类 按内容分 平面控制测量 测定各平面控制点的坐标X Y 高程控制测量 测定各高程控制点的高程H 按精度分 一等 二等 三等 四等 一级 二级 三级 按方法分 天文测量 常规测量 三角测量 导线测量 水准测量 卫星定位测量 按区域分 国家控制测量 城市控制测量 小区域工程控制测量 4 6 2020 二 平面控制测量 一 方法1 三角测量相互连接的三角形组成三角网 使用精密仪器 测量三角形的内角和一条边长 三边测量 边角测量2 导线测量3 卫星大地测量a GPS美国b GLONASS俄罗斯c 伽利略 Galileo 全球卫星定位系统GNSS欧盟d 北斗卫星导航系统中国 4 6 2020 国家平面控制网全国范围内a 由一 二 三 四等三角网组成b GPS测量已逐步取代三角测量布设原则 从高级到低级逐级加密城市平面控制网 4 6 2020 国家一 二等平面控制网布置形式 一等三角网 二等三角网 4 6 2020 4 6 2020 三 高程控制测量 主要方法 水准测量一 二 三 四等水准测量 一个测区内至少要有3个水准点 小地区的高程控制网 分级建立 先以国家水准点为基础逐级建立 在山区 可采用三角高程测量的方法来建立高程控制网 此法不受地形起伏的影响 工作速度快 但其精度较水准测量低 国家水准网 4 6 2020 4 6 2020 四 小测区控制网 15k 分级建立 国家或城市控制点 首级控制 图根控制首级控制网最高一级的控制网图根控制网最低一级 直接为测图而建立的控制网 4 6 2020 一 导线的定义 将测区内相邻控制点 导线点 traversepoint 连成直线而构成的折线图形 二 适用范围 主要用于带状地区 如 公路 铁路和水利 隐蔽地区 城建区 地下工程等控制点的测量 6 2导线测量外业 4 6 2020 三 分类按精度 一 二 三 四等 一 二等又称为精密导线图根导线 直接用于测图按测距方法 电磁波导线光电测距仪测定边长视距导线经纬仪导线 用钢尺量边 经纬仪测角 4 6 2020 四 导线布设形式 a 闭合导线多用于面积较宽阔的独立地区 b 附合导线多用于带状地区及公路 铁路 水利等工程的勘测与施工 c 支导线支导线点数 飞点 不宜超过2个 仅作补点使用还有导线网 其多用于测区情况较复杂地区 4 6 2020 图形 导线的布设形式 4 6 2020 一 踏勘选点及建立标志1 相邻点要通视 地势平坦 便于测角和量距2 导线点应有足够的密度 分布均匀 便于控制整个测区3 导线边长应大致相等且符合表6 3要求4 导线点应选在土质坚实和视野开阔之地 便于安置仪器和保存标志的地方 同时也便于施测碎部点5 在城区应尽量避开人流 车流密集路线建立标志 注意须画 点之记 五 外业工作 4 6 2020 二 丈量导线各边边长可用钢尺直接丈量 或用光电测距仪直接测定 用钢尺丈量时 选用检定过的30m或50m的钢尺 导线边长应往返丈量各一次 往返丈量相对误差应满足表6 3的要求 用光电测距仪测量时 要同时观测垂直角 供倾斜改正之用 图根导线 用一般方法往返丈量或同一方向丈量两次 要求其精度不低于1 3000 特殊困难地区允许1 1000 4 6 2020 三 观测转折角测回法 左 右角 内 外角在附合导线中 一般测左角 在闭合导线中 一般测内角 对于支导线 应分别观测左 右角 技术要求应符合规定 图根导线 DJ6经纬仪测一个测回 前 后半测回之差 40 时 取其平均值 4 6 2020 四 导线定向 导线连接测量目的 确定导线边的方位角1 测区内有高级控制点时 需与已知点连测 测出连接角和连接边2 测区内无已知控制点或不便连测时 可假定起始点坐标 用罗盘仪测起始边的方位角 1 1测量与误差概念 测量是物理实验的基础 测量就是用一定的测量工具或仪器 通过一定的方法 直接或间接地得到所需要的量值 1测量 依照测量方法的不同可将测量分为两大类 1 直接测量 2 间接测量问题 我们接触过哪些测量 哪些是直接测量 哪些是间接测量 1 1测量与误差概念 2误差 1 误差的定义 测量误差 测量值 真值即 N N测 N真这个误差的定义反映了测量值偏离真实值的大小和方向 1 1测量与误差概念 2 误差来源 1 1测量与误差概念 1 仪器误差 2 环境误差 4 人员误差 3 测量方法误差 3误差分类及其消除方法 1 系统误差a 定义 系统误差是指在同一被测量的多次测量过程中 保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量 系统误差的特点是其确定性 b 产生原因 测量仪器 测量方法 环境因素 1 1测量与误差概念 c 减小系统误差的方法 对测量结果引入修正值 选择适当的测量方法 使系统误差能够抵消而不会带入测量值中 已定系统误差 必须修正例如电表 螺旋测微计的零位误差 未定系统误差 要估计出分布范围如 螺旋测微计制造时的螺纹公差等 1 1测量与误差概念 注意 多次测量求平均并不能消除系统误差 因为在测量条件不变时 其有确定的大小和符号 1 1测量与误差概念 2 随机误差a 随机误差是指在同一量的多次测量过程中 其大小与符号以不可预知方式变化的测量误差的分量 随机误差的特征是随机性 b 产生原因 实验条件和环境因素无规则的起伏变化 引起测量值围绕真值发生涨落的变化 例如 实验时温度的随机波动 螺旋测微计测力在一定范围内随机变化 读数时的视差影响 c 消除方法 使用统计方法随机误差的特点 大量的随机误差服从正态分布 单峰性 绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大 对称性 多次测量时分布对称 即绝对值相等的正负误差出现的概率相同 因此取多次测量的平均值有利于消减随机误差 有界性 在一定的测量条件下 误差的绝对值不超过一定的界限 1 1测量与误差概念 1 1测量与误差概念 3 粗大误差a 定义 明显超出规定条件下预期的误差 b 产生原因 错误读数 仪器有缺陷 环境干扰等 c 应避免出现粗大误差 如出现粗大误差 应分析粗大误差产生的原因 处理数据时 剔除异常数据 精密度 正确度与准确度 又称精确度 这三个名词分别用来反映随机误差 系统误差和综合误差的大小 1 1测量与误差概念 4测量结果表示 1 绝对误差 测量结果 2 相对误差 1 1测量与误差概念 1 2测量结果误差估算及评定方法 1 2测量结果误差估算及评定方法 对测量结果评定的三种方法 1 算术平均偏差 2 标准偏差 均方根偏差 3 不确定度 根据统计理论 我们将多次测量的算术平均值作为真值的最佳近似 在对测量结果进行评定时 我们约定系统误差和粗大误差已经消除 修正或可以忽略 只考虑随机误差 其服从正态分布 1 2测量结果误差估算及评定方法 1算术平均偏差 对某一物理量N进行K次测量 得N1 N2 Ni Nk 则算术平均值为 算术平均偏差为 1 2测量结果误差估算及评定方法 2标准偏差 均方根差 标准偏差是一个描述测量结果离散程度的参量 用它来评定随机误差有以下优点 1 稳定性 值随K变化较小 2 它以平方计值 与个别误差的符号无关 能反映数据的离散程度 3 与最小二乘法吻合 1 2测量结果误差估算及评定方法 范围置信概率 真值落在确定范围内的概率 68 3 95 4 99 7 通常将称为随机误差的极限误差 1 2测量结果误差估算及评定方法 1 测量列的实验标准差 2 平均值的标准偏差 算术平均值的标准偏差反映了算术平均值在真值附近涨落的大小 1 2测量结果误差估算及评定方法 3不确定度 3 1定义 它是对测量结果可信赖程度的评定 它表示了被测量的真值以一定概率落在某个量值范围内 1 2测量结果误差估算及评定方法 不确定度小 表示误差的可能值小 测量的可信赖程度就高 不确定度大 表示误差的可能值大 测量的可信赖程度降低 3 2不确定度的分类和估算 不确定度分为两类 A类分量 用统计方法求出 即 N 或 N B类分量 用其他方法得出 物理实验中通常使用仪器的极限误差除以相应的置信系数K 注意 在我们的实验中一般取K 1 即 1 2测量结果误差估算及评定方法 不确定度的合成 方和根合成法 1 2测量结果误差估算及评定方法 请记住这一公式 3 3用不确定度表示测量结果 相对不确定度 测量结果 约定 在我们的实验中u取一位有效数字 注意 的末位和u对齐 例 1 2测量结果误差估算及评定方法 1 3直接测量结果误差估算及评定 如果对某一物理量只测量一次 则常以测量仪器误差来评定测量结果的误差 例1 用直尺测桌子长度 L 1200 00 5mm例2 用50分度游标卡尺测工件长度 L 10 000 02mm例3 用10 A电流表 单次测量某一电流3 10 A 则 j I 10 A 0 5 0 05 A 1单次测量误差估算及评定 1 3直接测量结果误差估算及评定方法 有以上例题可见 仪器误差一般用如下方法确定 1 仪器已经标明了误差 如千分尺 2 未标明时 可取仪器及表盘上最小刻度的一半作为单次测量的允许误差 如例1 3 电学仪器 1 3直接测量结果误差估算及评定方法 2多次测量结果的误差估算及评定 处理步骤 1 求平均值 2 求 和u 3 表示结果 1 3直接测量结果误差估算及评定方法 1 4间接测量结果误差的估算及评定 1一般的误差传递公式若N f x y z 则 若对N f x y z 取对数 则可得到 1 4间接测量结果误差估算及评定 2标准偏差的传递公式 1 4间接测量结果误差估算及评定 3不确定度的传递公式 1 4间接测量结果误差估算及评定 以上两公式应牢记 并注意应用技巧 4间接测量结果和不确定度评定的基本步骤 1 计算各直接测量物理量的值和它们的不确定度 即N f x y z 中的x y z和ux uy uz 2 根据不确定度的传递公式计算间接测量量的不确定度 uN或uN N 保留1位 3 求出间接测量量N f x y z N的末位与不确定度所在位对齐 4 写出结果 1 4间接测量结果误差估算及评定 1 5有效数字及其运算 1有效数字的含义 有效数字是由准确数字 若干位 和可疑数字 一位 构成 这样就能够正确而有效地表示测量结果 1 5有效数字及其运算 注意 表示小数位数的 0 不是有效数字 数字中间和尾部的 0 是有效数字 数字尾部的 0 不能随意舍弃或添加 有效数字位数与十进制单位的变换无关 推荐用科学记数法 K 10n 1 K 10 1 5有效数字及其运算 2有效数字运算规则 加减运算尾数对齐 在小数点后所应保留的位数与诸量中小数点后位数最少的一个相同 1 5有效数字及其运算 例 33 2 3 22 36 412 567 1 23 11 341 2345 5 11 2 141 4 20 乘除运算位数取齐 诸量相乘除 结果的有效数字位数 一般与各个量中有效数字位数最少的一个相同 1 5有效数字及其运算 例 1 11 2 0 2 23 248 1 61 2 02 3 某些常见函数运算的有效位数 1 对数函数y lnx y logx计算结果尾数的位数取得与真数的位数相同 2 指数函数y ax结果的有效数字 可与指数的小数点后的位数相同 3 三角函数按角度的有效位数来定 4 常数的有效位数可以认为是无限的 运算中应多取1位 1 5有效数字及其运算 4 混合运算规则当进行加减乘除混合运算时 应按加减规则 乘除规则和函数运算规则逐步计算 最后得到计算结果 1 5有效数字及其运算 3不确定度和测量结果的数字化整规则 1 不确定度的有效位数1 2位本书约定不确定度只保留1位 相对不确定度1 2位 尾数采用四舍六入五凑偶 2 最佳值或测量值末位与不确定度对齐 1 5有效数字及其运算 1 6常用数据处理方法 1 列表法 2 作图法 3 数学方法 逐差法 最小二乘法等 1 6数据处理方法 数据处理是一个对数据进行加工的过程 常用的数据处理方法有以下三类 列表法 1 6数据处理方法 例 用读书显微镜测量圆环直径测量圆环直径D仪器 读数显微镜 ins 0 004mm 标题 说明表格内容 附加说明 实验仪器 条件等 各个栏目标明名称和单位 原始数据注意数据纪录的顺序 计算的中间结果数据 例题 伏安法测电阻实验数据表 1 6数据处理方法 作图法 优点 能形象直观地显示物理量之间的函数关系 1 6数据处理方法 1 选择合适的坐标纸 3 标实验点 4 连成图线 5 标出图名及注解 电阻伏安特性曲线 作图法步骤 一般选用直角坐标纸 选择图纸时以不损失实验数据的有效位数并能包括所有实验点为限度 2 确定坐标轴 选择合适的坐标分度值 注意 坐标分度时 忌用3 7等进行分度 坐标分度可不从零开始 尽可能使图线充满图纸 图解法 利用已做好的图线 我们可以定量地求得待测量或得到经验公式 1 6数据处理方法 从图中取两点可以计算出直线的斜率和截距 从而也就可以得到经验公式 如本例 由图上A B两点可得被测电阻R为 电阻伏安特性曲线 1 6数据处理方法 由图上A B两点可得被测电阻R为 不当图例展示 1 6数据处理方法 曲线太粗 不均匀 不光滑 应该用直尺 曲线板等工具把实验点连成光滑 均匀的细实线 1 6数据处理方法 改正为 1 6数据处理方法 横轴坐标分度选取不当 横轴以3cm代表1V 使作图和读图都很困难 实际在选择坐标分度值时 应既满足有效数字的要求又便于作图和读图 一般以1mm代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍 1 6数据处理方法 改正为 1 6数据处理方法 图纸使用不当 实际作图时 坐标原点的读数可以不从零开始 1 6数据处理方法 改正为 1 6数据处理方法 逐差法 逐差法是对等间距测量的有序数据 进行逐项或相等间隔相减得到结果 它计算简便 并可充分利用数据 及时发现差错 总结规律 是物理实验中常用的一种数据处理方法 使用条件 1 自变量x是等间距变化 2 被测物理量之间函数形式可以写成x的多项式 应用举例 拉伸法测弹簧的倔强系数 设实验中 等间隔的在弹簧下加砝码 如每次加一克 共加9次 分别记下对应的弹簧下端点的位置L0L1L2 L9 则可用逐差法进行以下处理 1 验证函数形式是线性关系 看 L1 L2 L9是否基本相等 当 Li基本相等时 就验证了外力与弹簧的伸长量之间的函数关系是线性的 即F k L 用此法可检查测量结果是否正确 但注意的是必须用逐项逐差 2 求物理量数值 现计算每加一克砝码时弹簧的平均伸长量 从上式可看出用逐项逐差 中间的测量值全部抵消了 只有始末二次测量起作用 与一次加九克砝码的测量完全等价 若用逐项逐差 1 6 1 得到 再求平均 为了保证多次测量的优点 只要在数据处理方法上作些组合 仍能达到多次测量减小误差的目的 所以我们采用分组逐差 通常可将等间隔所测的值分成前后两组 前一组为L0L1L2L3L4后一组为L5L6L7L8L9 前后两组对应项相减 再取平均值 由此可见 分组逐差和逐项逐差不同 这时每个数据都用上了 有利于减小误差 但注意 这里的是增加五克时弹簧的平均伸长量 1 6数据处理方法 数据的直线拟合 最小二乘法 用作图法进行拟合带有相当大的主观随意性 用最小二乘法进行直线拟合优于作图法 最小二乘法的原理 如果能找到一条最佳的拟合直线 那么这条拟合直线上各个相应点的值与测量值之差的平方和在所有拟合直线中是最小的 最佳经验公式y a0 a1x中a0 a1的求解 通过实验 等精度地测得一组互相独立的实验数据 xi yi i 1 2 k 设此两物理量x y满足线性关系 且假定实验误差主要出现在yi上 设拟合直线公式为y f x a0 a1x 则测量值和最佳值 回归直线上对应坐标 的偏差 1 6数据处理方法 按最小二乘法原理 应使下式最小 S取极小值必要的条件是 即 整理后得 解得 式中 1 6数据处理方法 相关系数r 最小二乘法处理数据除给出a b外 还应给出相关系数r r定义为r表示两变量之间的函数关系与线性的符合程度 r 1 1 r 1 x y间线性关系好 r 0 x y间无线性关系 拟合无意义 物理实验中一般要求r绝对值达到0 999以上 3个9以上 其中 知识点总结 1 测量与误差关系直接测量 间接测量 误差定义 随机误差 系统误差 粗大误差 误差表示方法 误差消除方法 测量结果表示方法 2 测量结果误差估算及评定方法最佳值 标准偏差 不确定度 3 直接测量结果误差及评定方法单次测量 多次测量 不确定度表示测量结果 4 间接测量结果误差及评定误差传递 间接测量式 不确定度表示测量结果 5 有效数字及其运算有效数字 加减法 乘除法 有效数位约定 6 常用数据处理方法列表法 作图法 逐差法 最小二乘法 直线拟合 1 直接测量量 原始数据 的读数应反映仪器的准确度 游标类器具 游标卡尺 分光计度盘 大气压计等 一般读至游标最小分度的整数倍 即不需估读 1 直接测量量 原始数据 的读数应反映仪器的准确度 数显仪表及有十进步式标度盘的仪表 电阻箱 电桥 电位差计 数字电压表等 一般应直接读取仪表的示值 直接读数注意事项 注意指针指在整刻度线上时读数的有效位数 系统误差与随机误差的关系 1 二者同时存在 有时是难以区分的 2 随着人类认知水平和科技的发展 二者会发生转化 1 1测量与误差概念 进行误差处理时 分三种情况 1 系统误差影响远大于随机误差 2 系统误差已改正或小得可以忽略 3 二者对结果影响相近 4 6 2020 附合导线外业 已知数据 AB XB YB CD XC YC 点1 2 3 4为新建导线点 观测数据 连接角 B C 导线转折角 1 2 3 4 导线各边长DB1 D12 D4C next 4 6 2020 4 6 2020 测量误差及其产生的原因测量误差的分类与处理原则偶然误差的特性精度评定的指标误差传播定律及其应用 测量误差基本知识 本章主要内容如下 4 6 2020 一 观测误差当对某观测量进行观测 其观测值与真值 客观存在或理论值 之差 称为测量误差 用数学式子表达 i Li X i 1 2 n L 观测值X 真值 5 1测量误差概述 1 仪器的原因 仪器结构 制造方面 每一种仪器具有一定的精确度 因而使观测结果的精确度受到一定限制 二 测量误差的来源测量误差产生的原因很多 但概括起来主要有以下三个方面 4 6 2020 例如 DJ6型光学经纬仪基本分划为1 难以确保分以下估读值完全准确无误 使用只有厘米刻划的普通钢尺量距 难以保证厘米以下估读值的准确性 仪器构造本身也有一定误差 例如 水准仪的视准轴与水准轴不平行 则测量结果中含有i角误差或交叉误差 水准尺的分划不均匀 必然产生水准尺的分划误差 4 6 2020 2 人的原因观测者感官鉴别能力有一定的局限性 观测者的习惯因素 工作态度 技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响 人 仪器和外界环境通常称为观测条件 观测条件相同的各次观测称为等精度观测 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测 3 外界条件例如 外界环境如温度 湿度 风力 大气折光等因素的变化 均使观测结果产生误差 例如 温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏移 大气折光使望远镜的瞄准产生偏差 风力过大使仪器安置不稳定等 4 6 2020 三 测量误差的分类 先作两个前提假设 观测条件相同 对某一量进行一系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值 符号及变化规律 4 6 2020 先看两个实例 例1 用名义长度为30米而实际长度为30 04米的钢尺量距 丈量结果见下表5 1 表5 1 可以看出 误差符号始终不变 具有规律性 误差大小与所量直线成正比 具有累积性 误差对观测结果的危害性很大 4 6 2020 例2 在厘米分划的水准尺上估读毫米时 有时估读过大 有时估过小 每次估读也不可能绝对相等 其影响大小 纯属偶然 大气折光使望远镜中目标成像不稳定 则瞄准目标有时偏左 有时偏右 可以看出 从个别误差来考察 其符号 数值始终变化 无任何规律性 多次重复观测 取其平均数 可抵消一些误差的影响 4 6 2020 1 系统误差 在相同的观测条件下 对某一量进行一系列的观测 如果出现的误差在符号和数值上都相同 或按一定的规律变化 这种误差称为 系统误差 系统误差具有规律性 2 偶然误差 在相同的观测条件下 对某一量进行一系列的观测 如果误差出现的符号和数值大小都不相同 从表面上看没有任何规律性 为种误差称为 偶然误差 个别偶然误差虽无规律 但大量的偶然误差具有统计规律 3 粗差 观测中的错误叫粗差 例如 读错 记错 算错 瞄错目标等 错误是观测者疏大意造成的 观测结果中不允许有错误 一旦发现 应及时更正或重测 引进如下概念 4 6 2020 二 测量误差的处理原则 在观测过程中 系统误差和偶然误差总是同时产生 系统误差对观测结果的影响尤为显著 应尽可能地加以改正 抵消或削弱 对可能存在的情况不明的系统误差 可采用不同时间的多次观测 消弱其影响 消除系统误差的常用的有效方法 检校仪器 使系统误差降低到最小程度 求改正数 将观测值加以改正 消除其影响 采用合理的观测方法 如对向观测 研究偶然误差是测量学的重要课题 消除或削弱偶然误差的有效方法 适当提高仪器等级 进行多余观测 求最或是值 4 6 2020 四 偶然误差的特性 若 i Li X i 1 2 3 358 表5 2 4 6 2020 从表5 2中可以归纳出偶然误差的特性 在一定观测条件下的有限次观测中 偶然误差的绝对值不会超过一定的限值 绝对值较小的误差出现的频率大 绝对值较大的误差出现的频率小 绝对值相等的正 负误差具有大致相等的频率 当观测次数无限增大时 偶然误差的理论平均值趋近于零 用公式表示为 实践表明 观测误差必然具有上述四个特性 而且 当观测的个数愈大时 这种特性就表现得愈明显 4 6 2020 24 21 18 16 12 9 6 30 3 6 9 12 15 18 21 24x 图5 1频率直方图 为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情况 可以按表5 2的数据作误差频率直方图 见下图 4 6 2020 若误差的个数无限增大 n 同时又无限缩小误差的区间d 则图5 1中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线 该曲线在概率论中称为 正态分布曲线 它完整地表示了偶然误差出现的概率P 即当n 时 上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定 成为误差出现的概率 正态分布曲线的数学方程式为 5 3 为标准差 标准差的平方为方差 方差为偶然误差平方的理论平均值 4 6 2020 正态分布曲线的数学方程式为 5 3 4 6 2020 从5 3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性 即 1 f 是偶函数 即绝对值相等的正误差与负误差求得的f 相等 所以曲线对称于纵轴 这就是偶然误差的第三特性 2 愈小 f 愈大 当 0时 f 有最大值 反之 愈大 f 愈小 当n 时 f 0 这就是偶然误差的第一和第二特性 3 如果求f 二阶导数并令其等于零 可以求得曲线拐点横坐标 拐 如果求f 在区间 的积分 则误差出现在区间内的相对次数是某个定值 所以当愈小时 曲线将愈陡峭 即误差分布比较密集 当愈大时 曲线将愈平缓 即误差分布比较分散 由此可见 参数的值表征了误差扩散的特征 4 6 2020 f 1 1 1 2 1 f 2 2 2 1 2 2 1 4 6 2020 观测条件较好 误差分布比较密集 它具有较小的参数 观测条件较差 误差分布比较分散 它具有较大的参数 具有较小的误差曲线 自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速下降 具有较大的误差曲线 自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展 最大纵坐标点 4 6 2020 5 2衡量观测值精度的标准 一 中误差误差 的概率密度函数为 标准差 在测量工作中 观测个数总是有限的 为了评定精度 一般采用下述误差公式 标准差 中误差m的不同在于观测个数n上 标准差表征了一组同精度观测在 n 时误差分布的扩散特征 即理论上的观测指标 而中误差则是一组同精度观测在为n有限个数时求得的观测精度指标 所以中误差是标准差的近似值估值 随着n的增大 m将趋近于 4 6 2020 必须指出 同精度观测值对应着同一个误差分布 即对应着同一个标准差 而标准差的估计值即为中误差 同精度观测值具有相同的中误差 例3 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测 求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为第一组 3 2 4 2 0 4 3 2 3 1 第二组 0 1 7 2 1 1 8 0 3 1 试求这两组观测值的中误差 由解得 m1 2 7 m2 3 6 可见 第一组的观测精度较第二组观测精度高 4 6 2020 二 容许误差 极限误差 根据正态分布曲线 误差在微小区间d 中的概率 p f d 设以k倍中误差作为区间 则在此区间误差出现的概率为 分别以k 1 2 3代入上式 可得 P m 0 683 68 3 P 2m 0 955 95 5 P 3m 0 997 99 7 由此可见 偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5 而大于3倍的误差仅占误差总数的0 3 由于一般情况下测量次数有限 3倍中误差很少遇到 故以2倍中误差作为允许的误差极限 称为 容许误差 或称为 限差 即 容 2m 4 6 2020 三 相对误差 在某些测量工作中 对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量 例如 用钢卷尺量200米和40米两段距离 量距的中误差都是 2cm 但不能认为两者的精度是相同的 因为量距的误差与其长度有关 为此 用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量 即m L来评定精度 通常称此比值为相对中误差 相对中误差又可要求写成分子为1的分式 即 上例为K1 m1 L1 1 10000 K2 m2 L2 1 2000可见 前者的精度比后者高 与相对误差相对应 真误差 中误差 容许误差都称为绝对误差 4 6 2020 5 3算术平均值及其中误差 设在相同的观测条件下对未知量观测了n次出该未知量的最或然值 观测值为L1 L2 Ln 现在要根据这n个观测值确定设未知量的真值为X 写出观测值的真误差公式为 i Li X i 1 2 n 将上式相加得或故 一 观测值的算术平均值 4 6 2020 设以x