多面体欧拉公式的发现.doc

研究性课题：多面体欧拉公式的发现（二）教学目标(一)教学知识点1欧拉公式的证明2欧拉公式的应用(二)能力训练要求1使学生能理解多面体欧拉公式的证明过程并能叙述其证明思路2使学生掌握多面体欧拉公式并灵活地将其应用于解题中(三)德育渗透目标继续培养学生寻求规律、发现规律、认识规律、并利用规律解决问题的能力教学重点 欧拉公式的应用教学难点欧拉公式的证明思路教学方法学导式本节课继续上节课对欧拉公式的研究活动，遵循寻求规律发现规律认识规律应用规律的学习过程，对上节课已猜想出的欧拉公式进一步深入研究，探索它的证明思路，让学生了解这种证明思想，进而达到熟练掌握欧拉公式的目标，以便于学生得心应手地将欧拉公式应用到各种问题的解决中教具准备投影片三张：第一张：课本P59问题5(1)(2)(记作992 A)第二张：本课时教案例1(记作992 B)第三张：本课时教案例2(记作992 C)教学过程课题导入师上节课我们已经猜想出了欧拉公式并且同学们也已自学了它的证明过程，这节课我们继续对它的证明方法及其重要应用进行学习和探讨讲授新课师上节课我们已对课本P58的欧拉公式的证明进行了自学，那么，谁能说一下课本中的证明思路和关键是什么？生将立体图形转化为平面图形师好，前面，我们经常使用把不在同一平面中的几何图形的问题转化为同一平面中图形的问题，所以此处如果能把求一个简单多面体的V、F、E三者之间的关系问题，转化为平面中的问题就会前进一大步了那么课本中是怎样实现转化的呢？生把多面体想成是用橡皮膜做成的，即课本P58图9-85的多面体，将它的底面ABCDE剪掉，然后其余各面拉开铺平，得到如图9-86相应的平面多边形师在这个变化过程中虽然实现了立体图形平面化的目的，但是不是又引起了我们原来多面体的V、F、E的改变了呢？为什么？生不会引起原来多面体中V、E、F的变化，以上变化过程中只改变了原多面体各面的大小，各棱的长短，而V、F、E这三个数与各面的大小、各棱的长短是无关的师也就是说只要不改变每个面(多边形)的边数，不使顶点(棱或面)重合，无论怎样改变面的形状的大小及棱的长短，V、F、E这三个数就不变，当然，它们之间的关系也不会改变好，下面请同学提出在自学欧拉公式证明过程中所遇到的问题(学生思考整理问题，教师等待、耐心解答，可能会问到以下问题)在课本P59的3计算多边形内角和(2)中n1n2nF和多面体的棱数E有什么关系？说明理由(教师应给学生讲清因为多面体每一条棱同属于两个面，所以有n1n2nF2E)怎样理解P59的3计算多边形内角和(4)中的“全体多边形”？(教师应给学生说清是各小多边形及最大多边形ABCDE)怎样说明为什么有“(E-F)360(V-2)360”?(教师应再次强调给学生：在变形过程中，原来多面体的面是几边形，它对应的仍是几边形，而多边形的内角和仅与边数有关，所以多面体各面多边形的内角和应等于图9-86中各小多边形及“最大”多边形(即多边形ABCDE)的内角总和师欧拉定理表明，任意的一个简单多面体，经过连续变形后，尽管它的形状可以变化万千，但有一个数始终不变，这就是：顶点数面数-棱数，它总是等于2所以将2叫做连续变形下的不变数下面，我们来应用欧拉定理(打出投影片992 A，读题)问题5的(1)是关于化学上分子的结构问题，也是欧拉公式的应用问题(以下过程教师板书)解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和y个多面体的顶点数V60，面数Fxy，棱数E(360)，根据欧拉公式，可得60(xy)-(360)2另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即(5x6y) (360)由以上两方程可解得x12，y20答：分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和60个对于问题5(2)则通常先假设一个简单多面体的棱数E7，再根据欧拉公式进行推理论证(师生共同写出以下过程)解：假设一个简单多面体的棱数E7，根据欧拉公式VF-E2，得VF729因多面体的顶点数V4，面数F4，所以只有两种情况：V4，F5或V5，F4，因为4个顶点的多面体只有是四面体，而四面体也只有4个面，所以上述两种情况(VF9)都不存在答：没有棱数是7的简单多面体师通过问题5两个小题的分析之后，你体会到解决(1)的关键是什么？生甲利用欧拉公式列出一个等式生乙利用棱数与边数的关系列出一个等式师甲、乙两位同学说得都对，解决(1)的关键就是找等量关系，即根据欧拉公式及棱数与边数的关系列出两个变量关系再思考(1)中应用了数学的什么重要思想？生方程思想师对，本题也旨在培养同学们利用方程解未知量的思想对于解决(2)的关键又是什么呢？生V4，F4是一个几何体为凸多面体的必要条件本题中抓住F4与V4必然同时成立引出矛盾师这也是凸多面体具有的一条重要性质，希望同学们能够注意继续体会欧拉公式的应用(打出投影片992 B，读题)例1已知，一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，求证：V2F-4师欲求出V与F的关系，需结合已知条件寻找V与E的关系，再结合欧拉公式得出，具体如何做呢？生因此简单多面体每个顶点都有三条棱，而每条棱上有两个顶点，所以有3V2E即EV又因为简单多面体顶点数、棱数、面数之间适合欧拉公式，所以VF-V2，即2V2F-3V4故得V2F-4师以上题目要注意准确恰当地将已知条件中关于顶点数与棱数的关系转化成代数关系式下面请同学们回忆前面所学过的关于正多面体的概念及其种类生每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体正多面体只有四种：正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体师对于“为什么只有五种正多面体”的问题，今天就可以利用欧拉公式证明了(打出投影片992 C，读题)例2证明：正多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体师解决这个问题，应从什么地方入手考虑？生从正多面体的定义考虑师同学们翻开课本P63欧拉公式和正多面体的种类，仔细阅读，体会其中的证明思路与方法(学生自学，教师查看，解决学生疑难问题)课堂练习课本P61习题99 3、4P61习题99 3：C70分子是与C60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C70分子中五边形和六边形的个数答案：设有x个五边形和y个六边形，Fxy，E105，V70，E(5x6y)，解之得x12，y25答：C70分子中五边形为12个，六边形为25个P61习题994：设一个凸多面体有V个顶点，求证它的各面多边形的内角总和为(V-2)360证明：设这一凸多面体的各面分别为n1，n2，nF边形，则各面多边形内角和是(n1-2)180(n2-2)180(nF-2)180(n1n2nF)180-2F180(n1n2nF-2F)180n1n2nF2E原式(E-F)360VF-E2E-FV-2原式(V-2)360课时小结本节课我们探讨了欧拉公式的证明方法及其重要应用，在理解欧拉公式的证明过程的同时重在体会其中的“立体图形平面化”的思想另外，同学们要适当准确地应用欧拉公式去解决与多面体的顶点数、面数及棱数有关的问题课后作业(一)求证：如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形，那么面数是偶数证明：设简单多面体的面数为F，因为各面的边数为奇数，所以简单多面体各面边数的和为F个奇数的和即当把F个面拼合成多面体时，两条边合成一条棱，则棱数E因为E必须为整数，所以(偶数F)能被2整除，又因为(偶数F)中偶数能被2整除，所以F必须被2整除，即F必须为偶数(二)1预习内容课本P651球的概念和性质至P66结束2预习提纲(1)怎样给球定义呢？(2)准确表述出球心、球的半径、球的直径等概念(3)尝试归纳并证明球的性质(4)结合地球仪理解地球上的经纬线，知道某地点的经度与纬度(5)你是怎样理解“球面上，两点之间的最短连线的长度”？板书设计992研究性课题：多面体欧拉公式的发现(二)1欧拉公式的证明练习1思路2步骤小结2欧拉公式的应用例1分析解备课资料欧拉公式的应用举例例1一个简单多面体的各面都是三角形，且有6个顶点，求这个简单多面体的面数解：因为一个面都有3条边，每两条边合为1条棱所以它的面数F和棱数E之间有关系E又由欧拉公式VF-E2，且顶点数V6FE2-VE2-6-4F8例2证明：没有棱数为7的简单多面体证明：设一个简单多面体的棱E7，它的面数为F，顶点数为V，那么根据欧拉公式有VFE29又多面体的面数F4，顶点数V4，只能有两种情况：(1)F4，V5或(2)F5，V4当F4时，多面体为四面体，而四面体只有4个顶点，故(1)不可能；当V4时，多面体也是四面体，而四面体只有4个面，故(2)不可能没有棱数为7的简单多面体例3已知一个十二面体共有8个顶点，其中两个顶点处各有6条棱，其他顶点处各有相同数目的棱，则其他顶点处各有几条棱？解：F12，V8，EVF-218两个顶点处各有6条棱，余6条棱，6个顶点而这6个顶点构成六边形，过这6个顶点的棱应该各有4条注意：本题也可以作为一个数学模型帮助我们去验证上述结果，即作一个六边形，在它所在面的两侧各取一个点，共8个顶点、12个面从中体会构建数学模型对于解决问题的方便与直观例4证明：四面体的任何两个顶点的连线都是棱，而其他凸多面体都不具有这一性质证明：设多面体的顶点数Vn，则它们互相连接成的棱数E(n-1)每一条棱是两个面的边界，每个面至少有3条棱作边界F(n-1)(n-1)VFE2，n(n-1)(n-1)2，6n2n(n-1)3n(n-1)12，n2-7n120，(n-3)(n-4)0n4，n4例5