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乐倍思教育高中函数万能解题套路在一元二次方程根的分布中的应用摘自高中函数万能解题套路（罗荷玉著）例：已知函数，且在中存在，使得，求的取值范围。说明：在很多参考书上，此种类型的题目被命名为一元二次方程根的分布问题，也叫一元二次函数零点分布问题，是高考和竞赛经常涉及到的内容。这类问题是指当方程（相当于）的根、呈某种分布时，如当时，函数的系数、具有什么特征。一般的参考书将这种问题归结为10种类型，其中“0分布”4种，“分布”6种（有兴趣的读者可参阅有关资料）。本质上，对这种问题最自然的想法是，用求根公式把、的值求出来，然后代入题目条件解不等式或不等式组，如当时，有不等式组：然而，求解这种无理不等式是很麻烦的。那么，如何才能化解这种困境呢？事实上，如果回顾本章所归纳的解题思想和方法，就可以知道，这是典型的“比较大小的问题”。我们知道，对方程来说，不管其根、的值有多复杂，都必然分别分布在函数的两个不同单调区间上，且恒有。如按以上套路的转化思想，当时，必然有。这样，根据函数的单调性，五个量、之间的关系就可以转化为、之间的关系，又，即转化为、与0的关系。下一步就是如何确定函数的单调区间了。我们知道，一元二次函数的单调区间由其开口（二次项系数）和对称轴决定，而对称轴又与二次项系数有着关联，于是，按套路的基本操作步骤，我们在讨论该函数单调性的基础上得出如下解题步骤：步骤一：以原方程为基础，构造一元二次函数，如根据，构造函数；步骤二：根据对称轴与参数、的位置关系列表，并求出相应的二次项系数的取值范围；对称轴二次项系数步骤三：结合二次项系数与对称轴的位置情况对问题进行分类讨论（如果同样的对称轴位置，对应着的二次项系数却有着、两种情况，则按、分别讨论之）；步骤四：对每一种情况，根据参数、所处的单调区间，确定、与0的关系式。解：由已知有，要存在，使得即要存在，使得也即要存在，使得令 当时，满足题意。 当时对称轴二次项系数或 当时，在上单调递减，此时要存在，使得即要满足题意 当时，在上单调递减，此时要存在，使得即要（舍） 当时，在上单调递减，在上单调递增，此时要存在，使得即要满足题意 当
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