浙江省高数竞赛6历届高等数学竞赛真题

历届高等数学竞赛真题一、极限1、 2、3、 4、5、 6、7、8、设，且，求常数9、设，求、的值，使都存在.10、，其中为常数。11、 12、13、设，求14、 15、16、 17、，求18、设在邻域内可导，求19、设，求20、设函数在处连续，求21、设，求22、 23、 24、设，求25、设，求26、27、28、已知数列，满足，证明：29、已知，.求证：（1）数列收敛；（2）的极限值a是方程的唯一正根二、导数和微分1、求的阶导数 2、，求3、，求4、设，当时，求5、设，求6、设，求7、和互为连续的反函数，求8、设函数在上连续，在上可导，且，证明（1）存在，使（2）存在，使9、设函数在上可导，且，证明存在，使10、求点（0，4）到抛物线的最短距离11、设在上连续，在上可导，证明至少存在一点使得12、设具有二阶连续导数，且，是曲线上点处的切线在轴的截距，求13、设在内有，且，证明在内有.14、试问：方程总共有几个实根.15、，则 。16、设函数是由（）确定，则 。17、设在区间连续，, 试解答下列问题：（1）用表示；（2）求；（3）求证：；（4）设在内的最大值和最小值分别是,求证：.18、设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 19、设，求。20、已知函数在上三阶可导，且，试证至少存在一点，使，21、已知在上二次连续可微,证明其中 .22、求证方程有且只有一个实数根,其中常数满足.23、设为实数，在处可导，求的范围24、设，是正整数，求25、设，求26、求方程有几个实根27、设，求 三、积分1、 2、3、 （） 4、5、（）6、7、 8、9、 10、11、 12、13、 14、15、 15、 16、 17、18、连续，求19、设，且，证明20、当满足什么条件时，（1）无反正切函数（2）无对数函数21、设为连续函数，且，求22、求证 23、设，求24、设为连续函数，证明25设非负函数在上连续，且单调上升，与直线及围成图形的面积为，与直线及围成图形的面积为. 证明：存在唯一的,使得. 取何值时两部分面积之和取最小值？26、设函数在连续且非负，证明.27、设是曲线与轴围成的平面图形，直线把分成和 两部分，若的面积与的面积之比，求平面图形的周长以及绕轴旋转一周所得旋转体的体积. 28、设，计算积分.29、以坐标上的平面曲线段（）绕轴旋转所构成的旋转曲面和坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为，如果以的速度把水注入容器内，水表面的面积的增大，试求曲线的方程.30、设时，有.31、设及，求.32、求曲线（）绕轴旋转一周延伸到无穷远的旋转体体积33、设函数在（）上连续，在可导，且.（1）求证：，等式成立.（2）求极限.34、设（表示不超过的最大整数），求极限35、求，使，其中36、设函数在上连续，且，设（1）（2）在内恰有一根37、设的一个原函数，且，求.38、设，求39、设在上连续，且，求40、设 41、，求42、设函数满足，且对时，有，证明： （1）存在，（2）。四、级数1、判别级数的敛散性（1） ； (2) （3），其中为常数 （4）2、求和函数（1） （2） （3） （4） （5）3、求收敛域（1） （2）4、已知级数的一般项与前项的和有如下关系：（），且，求级数5、设（），则 。6、设，证明级数收敛，并求其和。7、设在处收敛，则在处（ D ）(A) 绝对收敛；(B) 条件收敛；(C) 发散；(D) 收敛性与an有关.8、设幂级数 , 当时，且;（1）求幂级数的和函数；（2）求和函数的极值.9、求函数的定义域，并证明在定义域