高一用指数函数经典例题.pdf

指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数 有关指数函数的图象 与性质的题目类型较多 同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查 的重点 本文对此部分题目类型作了初步总结 与大家共同探讨 1 比较大小 例1 已知函数满足 且 则与的大小关系是 分析 先求的值再比较大小 要注意的取值是否在同一单调区间 内 解 函数的对称轴是 故 又 函数在上递减 在上递增 若 则 若 则 综上可得 即 评注 比较大小的常用方法有 作差法 作商法 利用函数的单 调性或中间量等 对于含有参数的大小比较问题 有时需要对参数进 行讨论 2 求解有关指数不等式 例2 已知 则x的取值范围是 分析 利用指数函数的单调性求解 注意底数的取值范围 解 函数在上是增函数 解得 x的取值范围是 评注 利用指数函数的单调性解不等式 需将不等式两边都凑成底 数相同的指数式 并判断底数与1的大小 对于含有参数的要注意对参 数进行讨论 3 求定义域及值域问题 例3 求函数的定义域和值域 解 由题意可得 即 故 函数的定义域是 令 则 又 即 即 函数的值域是 评注 利用指数函数的单调性求值域时 要注意定义域对它的影 响 4 最值问题 例4 函数在区间上有最大值14 则a的值是 分析 令可将问题转化成二次函数的最值问题 需注意换元后的取 值范围 解 令 则 函数可化为 其对称轴为 当时 即 当时 解得或 舍去 当时 即 时 解得或 舍去 a的值是3或 评注 利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用 比 如 换元法 整体代入等 5 解指数方程 例5 解方程 解 原方程可化为 令 上述方程可化为 解得或 舍去 经检验原方程的解是 评注 解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解 要注意验 根 6 图象变换及应用问题 例6 为了得到函数的图象 可以把函数的图象 A 向左平移9个单位长度 再向上平移5个单位长度 B 向右平移9个单位长度 再向下平移5个单位长度 C 向左平移2个单位长度 再向上平移5个单位长度 D 向右平移2个单位长度 再向下平移5个单位长度 分析 注意先将函数转化为 再利用图象的平移规律进行判断 解 把函数的图象向左平移2个单位长度 再向上平移5个单位 长度 可得到函数 的图象 故选 C 评注 用函数图象解决问题是中学数学的重要方法 利用其直观性实现 数形结合解题 所以要熟悉基本函数的图象 并掌握图象的变化 规律 比如 平移 伸缩 对称等 习题 1 比较下列各组数的大小 1 若 比较 与 2 若 比较 与 3 若 比较 与 4 若 且 比较a与b 5 若 且 比较a与b 解 1 由 故 此时函数 为减函数 由 故 2 由 故 又 故 从而 3 由 因 故 又 故 从而 4 应有 因若 则 又 故 这样 又因 故 从而 这与已知 矛盾 5 应有 因若 则 又 故 这样有 又因 且 故 从而 这与已知 矛盾 小结 比较通常借助相应函数的单调性 奇偶性 图象来求解 2曲线 分别是指数函数 和 的图象 则 与1的大小关系是 分析 首先可以根据指数函数单调性 确定 在 轴右侧令 对应的函数值由小到大依次为 故应选 小结 这种类型题目是比较典型的数形结合的题目 第 1 题是由数 到形的转化 第 2 题则是由图到数的翻译 它的主要目的是提高学生识 图 用图的意识 求最值 3 求下列函数的定义域与值域 1 y 2 2 y 4x 2x 1 1 解 1 x 3 0 y 2的定义域为 x x R且x 3 又 0 2 1 y 2的值域为 y y 0且y 1 2 y 4x 2x 1 1的定义域为R 2x 0 y 4x 2x 1 1 2x 2 2 2x 1 2x 1 2 1 y 4x 2x 1 1的值域为 y y 1 4 已知 1 x 2 求函数f x 3 2 3x 1 9x的最大值和最小值 解 设t 3x 因为 1 x 2 所以 且f x g t t 3 2 12 故当t 3 即x 1时 f x 取最大值12 当t 9即x 2时f x 取最小值 24 5 设 求函数 的最大值和最小值 分析 注意到 设 则原来的函数成为 利用闭区间上二次函数的值域的求法 可求得函数的最值 解 设 由 知 函数成为 对称轴 故函数最小值为 因端点 较 距对称轴 远 故函数的最大值为 6 9分 已知函数在区间 1 1 上的最大值是14 求a的值 解 换元为 对称轴为 当 即x 1时取最大值 略 解得 a 3 a 5舍去 7 已知函数 且 1 求 的最小值 2 若 求 的取值范围 解 1 当 即 时 有最小值为 2 解得 当 时 当 时 8 10分 1 已知是奇函数 求常数m的值 2 画出函数的图象 并利用图象回答 k为何值时 方程 3 k无 解 有一解 有两解 解 1 常数m 1 2 当k 0时 直线y k与函数的图象无交点 即方程无解 当k 0或k1时 直线y k与函数的图象有唯一的交点 所以方程有一 解 当0 k0且a 1 1 求f x 的定义域和值域 2 讨论f x 的奇偶性 3 讨论f x 的单调性 解 1 易得f x 的定义域为 x x R 设y 解得ax ax 0当且仅当 0时 方程 有解 解 0 得 1 y1时 ax 1为增函数 且ax 1 0 为减函数 从而f x 1 为增函数 2 当0 a 1时 类似地可得 f x 为减函数 15 已知函数f x a a R 1 求证 对任何a R f x 为增函数 2 若f x 为奇函数时 求a的值 1 证明 设x1 x2 f x2 f x1 0 故对任何a R f x 为增函数 2 又f x 为奇函数 得到 即 16 定义在R上的奇函数有最小正周期为2 且时 1 求在 1 1 上的解析式 2 判断在 0 1 上的单调性 3 当为何值时 方程 在上有实数解 解 1 x R上的奇函数 又 2为最小正周期 设x 1 0 则 x 0 1 2 设0 x1 x21 的图像是 分析 本题主要考查指数函数