66关注三角形的外角

6 6关注三角形的外角 证明命题的一般步骤 与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法 1 理解题意 分清命题的条件 已知 结论 求证 2 根据题意 画出图形 3 结合图形 用符号语言写出 已知 和 求证 4 分析题意 探索证明思路 5 依据思路 运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程 6 检查表达过程是否正确 完善 回顾与思考 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800 ABC中 A B C 1800 A B C 1800的几种变形 A 1800 B C B 1800 A C C 1800 A B A B 1800 C B C 1800 A A C 1800 B 这里的结论 以后可以直接运用 回顾与思考 如图 1是 ABC的一个外角 1与图中的其它角有什么关系 1 4 1800 1 2 1 3 1 2 3 证明 2 3 4 1800 三角形内角和定理 1 4 1800 平角的意义 1 2 3 等量代换 1 2 1 3 和大于部分 能证明你的结论吗 用文字表述为 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 回探索与思考 在这里 我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理 像这样 由一个公理或定理直接推出的定理 叫做这个公理或定理的推论 corollary 推论可以当作定理使用 三角形内角和定理的推论 推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 关注外角 三角形内角和定理的推论 推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 ABC中 1 2 3 1 2 1 3 这个结论以后可以直接运用 引入新知 例1已知 如图6 13 在 ABC中 AD平分外角 EAC B C 求证 AD BC 证法 1 EAC B C 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 a b 内错角相等 两直线平行 B C 已知 DAC C 等量代换 分析 要证明AD BC 只需要证明 同位角相等 内错角相等 或 同旁内角互补 AD平分 EAC 已知 C EAC 等式性质 DAC EAC 角平分线的定义 例题是运用了定理 内错角相等 两直线平行 得到了证实 例题赏析 例1已知 如图6 13 在 ABC中 AD平分外角 EAC B C 求证 AD BC B C 已知 B EAC 等式性质 AD平分 EAC 已知 DAE EAC 角平分线的定义 DAE B 等量代换 a b 同位角相等 两直线平行 这里是运用了公理 同位角相等 两直线平行 得到了证实 证法 2 EAC B C 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 分析 要证明AD BC 只需要证明 同位角相等 内错角相等 或 同旁内角互补 例题赏析 例1已知 如图6 13 在 ABC中 AD平分外角 EAC B C 求证 AD BC 分析 要证明AD BC 只需要证明 同位角相等 内错角相等 或 同旁内角互补 DAC C 已证 BAC B C 1800 三角形内角和定理 BAC B DAC 1800 等量代换 a b 同旁内角互补 两直线平行 这里运用了定理 同旁内角互补 两直线平行 证法 3 由证法1可得 例题赏析 例2已知 如图6 14 在 ABC中 1是它的一个外角 E为边AC上一点 延长BC到D 连接DE 求证 1 2 证明 1是 ABC的一个外角 已知 1 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 3是 CDE的一个外角 外角定义 3 2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 1 2 不等式的性质 例题赏析 1 已知 如图所示 在 ABC中 外角 DCA 100 A 45 求 B和 ACB的大小 解 DCA是 ABC的一个外角 已知 DCA 100 已知 B 100 45 55 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 又 DCA BCA 180 平角意义 ACB 80 等式的性质 A 45 已知 随堂练习 2 已知 国旗上的正五角星形如图所示 求 A B C D E的度数 解 1是 BDF的一个外角 外角的意义 分析 设法利用外角把这五个角 凑 到一个三角形中 运用三角形内角和定理来求解 1 B D 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 2 C E 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 又 A 1 2 180 三角形内角和定理 又 2是 EHC的一个外角 外角的意义 A B C D E 180 等式性质 随堂练习 已知 如图所示 求证 1 BDC A 2 BDC A B C 证明 1 BDC是 DCE的一个外角 外角意义 BDC CED 三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角 DEC A 三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角 BDC A 不等式的性质 DEC是 ABE的一个外角 外角意义 思维拓广 已知 如图所示 求证 1 BDC A 2 BDC A B C 证明 2 BDC是 DCE的一个外角 外角意义 BDC C CED 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 DEC A B 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和 BDC A B C 等式的性质 DEC是 ABE的一个外角 外角意义 思维拓广 理解几何命题证明的方法 步骤 格式及注意事项 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800 ABC中 A B C