231直线与平面垂直的判定

2 3 1直线与平面垂直的判定 旗杆与地面垂直 生活中的线面垂直现象 观察归纳 形成概念 讨论 能否用一条直线垂直于一个平面内直线 来定义这条直线与这个平面垂直呢 提出问题 假设书有无数页 竖立在桌面上 书脊所在直线与桌面给人以垂直的印象 思考 书脊所在直线和各页面与桌面的交线的位置关系 书脊所在直线与桌面中任意一条直线的位置关系 一条直线与一个平面垂直的意义是什么 问题 旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直 与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直 直线垂直于平面内的任意一条直线 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直 我们说直线l与平面互相垂直 记作 平面的垂线 垂足 定义 直线与平面的一条边垂直 2 直线与平面垂直的画法 画直线与平面垂直时 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 如图所示 直线与平面的一条边垂直 1 如果一条直线l和一个平面内的无数条直线都垂直 则直线l和平面 互相垂直 思考 B l 线线垂直线面垂直 性质定理 直线l垂直于平面 则直线l垂直于平面 中的任意一条直线 直线与平面垂直 除定义外 如何判定一条直线与平面垂直呢 探究 如图 准备一块三角形的纸片 做一个试验 过的顶点A翻折纸片 得到折痕AD 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 BD DC于桌面接触 当且仅当折痕AD是BC边上的高时 AD所在直线与桌面所在平面垂直 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直 3 直线与平面垂直判定定理 线不在多 相交就灵 记忆 线线垂直 则线面垂直 例1 P65例1 如图 已知a b a 求证 b 分析 要证b 只需在平面内找两条相交直线与之垂直 证明 在平面 内作两条相交直线m n a a m a n b m b n b m n 又 b a 解后反思 通过本题的解答 你可以总结出什么解题思想和方法 反思1 要证明直线与平面垂直可以运用判定定理 线线垂直线面垂直 反思2 能够运用定理的条件关键是要满足 要与两条相交直线垂直 说明 五个条件缺一不可 反思3 由例1得到线面垂直的又一判定定理 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于同一个平面 4 直线和平面所成的角 斜线 垂线 一条直线垂直于平面 它们所成的角是直角 一条直线和平面平行 或在平面内 它们所成的角是0 的角 直线和平面所成角的范围是 0 90 第 个空间角 斜线在平面上的射影 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 A C1 D C A1 D1 B F 例2在正方体ABCD A1B1C1D1中 求直线A1B与平面A1B1CD所成的角 A C1 D C B P 变式 求直线AC与平面A1B1CD所成的角 E F分别是BC CC1的中点 求EF与面ACC1A1所成的角 B1 A1 D1 Q B1 E O 练习1 两直线与一个平面所成的角相等 它们平行吗 2 两平行直线和一个平面所成的角相等吗 反思 运用定理的关键是找垂线 找垂线又经常会用到等腰三角形中三线合一 直角三角形 正方形 矩形中的直角等等 5 巩固练习 P67练习1 如图 在三棱锥V ABC中 VA VC AB BC求证 V A B C D VB AC 解后反思 要证线线垂直可以通过线面垂直来证明 即线面垂直与线线垂直可以相互转化 平面化 是解决立体几何问题的一般思路 6 课堂小结 1 直线与平面垂直的概念 1 利用定义 2 利用