第1课时综合法

2 2直接证明与间接证明2 2 1综合法和分析法第1课时综合法 合情推理是发现的方法 演绎推理是数学中严格证明的工具 怎样用演绎推理来证明呢 这是要讲究方法的 今天 我们就来认识一些基本的证明方法 1 结合已经学过的数学实例 了解直接证明的两种基本方法之一的综合法 重点 2 了解综合法的思考过程 特点 难点 探究点1综合法的含义 引例 已知a 0 b 0 求证a b2 c2 b c2 a2 4abc 因为b2 c2 2bc a 0所以a b2 c2 2abc 又因为c2 a2 2ac b 0所以b c2 a2 2abc 因此a b2 c2 b c2 a2 4abc 证明 一般地 利用已知条件和某些数学定义 定理 公理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 用P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示所要证明的结论 则综合法用框图表示为 例1 如图所示 ABC在平面 外 求证 P Q R三点共线 探究点2利用综合法进行证明 分析 本例的条件表明 P Q R三点既在平面 内 又在平面ABC内 所以可以利用两个相交平面的公理证明 1 2 证明 例3在 中 三个内角 对应的边分别为a b c 且 成等差数列 a b c成等比数列 求证 为等边三角形 分析 将A B C成等差数列 转化为符号语言就是2B A C a b c成等比数列 转化为符号语言就是b2 ac A B C为 ABC的内角 这是一个隐含条件 明确表示出来是A B C 此时 如果能把角和边统一起来 那么就可以进一步寻找角和边之间的关系 进而判断三角形的形状 余弦定理正好满足要求 于是 可以用余弦定理为工具进行证明 证明 由A B C成等差数列 有 2B A C 由 得 由a b c成等比数列 有 由余弦定理及 可得 再由 得 因此a c 从而有A C 由 得 即 提升总结 解决数学问题时 往往要先作语言的转换 如把文字语言转换成符号语言 或把符号语言转换成图形语言等 还要通过细致的分析 把其中的隐含条件明确表示出来 1 综合法证明不等式所说的 由因导果 是指寻求使不等式成立的 A 必要条件B 充分条件C 充要条件D 非充分非必要条件 证明 1 在四棱锥P ABCD中 因为PA 底面ABCD CD 平面ABCD 故PA CD 因为AC CD PA AC A 所以CD 平面PAC 而AE 平面PAC 所以CD AE 2 由PA AB BC ABC 60 可得AC PA 因为E是PC的中点 所以AE PC 由 1 知 AE CD 且PC CD C 所以AE 平面PCD 而PD 平面PCD 所以AE PD 因为PA 底面ABCD 所以PA AB又因为AB AD 所以AB 平面PAD所以AB PD 又因为AB AE A 综上得PD 平面ABE 利用已知条件和某些数学定义 定理 公理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 用P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示所要证明的结论