六上第一单元《长方体和正方体》教材分析

第一单元第一单元 长方体和正方体长方体和正方体 教材分析教材分析 学生在一年级就开始直观认识长方体和正方体 后来的数学学习中又多次把长方 体和正方体木块作为学具 逐渐在头脑里留下了这两种立体的印象 在四年级观察物 体的学习中 从前面 右面 上面仔细观察了长方体和正方体 学生对它们的形状有 了更加丰富的感性认识 本单元系统教学长方体和正方体的知识 编排了十二道例题 具体安排见下表 例 1 例 2 长方体的形状特征 正方体的形状特征 例 3 长方体 正方体的表面展开图 例 4 长方体 正方体表面积的意义与计算方法 例 5 表面积知识的实际应用 例 6 例 7 体积的意义 容积的意义 例 8 常用的体积单位和容积单位 例 9 例 10 长方体 正方体的体积计算公式 例 11 用 底面积 高 计算长方体或正方体的体积 例 12 体积单位间的进率与简单换算 单元整理与练习 从上面的表格里可以看到 本单元的教学内容比较多 教材把内容整理成三部分 先教学长方体和正方体的形状与结构特点 使学生具有清晰的立体图形的表象 接着 教学长方体和正方体的表面积 使学生理解表面积的含义 知道长方体和正方体的表 面积计算方法 并且灵活应用表面积知识解决实际问题 然后教学体积和容积的知识 使学生初步建立体积与容积的概念 认识常用的体积单位与容积单位 掌握计算长方 体和正方体体积的方法 解决有关体积或容积的实际问题 教材内容这样安排 符合 知识之间的发展线索 也符合学生的实际情况 把形体的特征安排为第一块内容 能 为后面的表面积 体积的教学打下扎实的基础 如果学生没有很好地理解长方体和正 方体的结构特点 是无法教学表面积与体积知识的 把表面积安排在体积的前面 是 因为学生已经有了面积的概念 掌握了常用的面积单位 会计算长方形和正方形的面 积 他们学习表面积的条件比学习体积充分 而且通过表面积的教学 学生的空间观 念会有新的发展 对教学体积是有益的 长方体和正方体一直是小学数学的重要内容之一 与过去的教材相比 本单元加 强了表面展开图的教学 因为教学长方体和正方体的表面展开图 不只是计算表面积 的需要 更是为了发展学生的空间观念 当长方体或正方体的表面被逐步展开 原来 存在于三维空间的 6 个长方形或正方形 被置放到平面图形上 原来在立体上最多只 能同时看到 3 个面 在表面展开图上围成长方体或正方体的 6 个长方形或正方形都能 看得清清楚楚 原来在长方体或正方体物体上能够直观感受到的上与下 前与后 左 与右三组相对的面 在表面展开图上的分布规律需要想象 体会 原来长方体上很容 易辨认的长 宽 高 在表面展开图上就不是那么轻而易举地找到了 所以说 加强 长方体和正方体表面展开图的教学 能够促进学生空间观念的发展 教学的体积单位有立方米 立方分米和立方厘米 教材把体积单位的教学分成两 段进行 先认识这三个单位 知道每个单位各是多大 并用体积单位测量物体的体积 然后是相邻两个体积单位之间的进率 并进行单位的换算 两段内容的教学不是连续 安排的 中间插入了长方体和正方体的体积计算 这样安排有三点原因 一是顺其自 然 因为计算长方体和正方体的体积 需要体积单位 学生认识了体积单位 会用体 积单位测量长方体的体积 就能探索和理解长方体的体积计算公式 二是便于推导 体积单位之间的进率可以通过计算正方体的体积推导出来 把体积计算公式安排在体 积单位的进率前面教学 学生就能自己发现相邻两个体积单位之间的进率是 1000 并 理解为什么进率是 1000 三是突出重点 在认识体积单位的教学中 学生选用适当的 单位测量体积是重点 在教学体积单位的进率时 正确进行不同单位间的换算是重点 两个重点分别安排在两段教学之中 有利于学生开展学习 一 通过观察 整理 有条理地认识长方体和正方体的特征 在本单元教学之前 尽管学生已经能直观认识 甚至能够迅速 正确地识别长方 体和正方体 但他们的认识仍然是粗糙的 并不能全面把握长方体和正方体的结构特 点 例 1 教学长方体的特征 教材呈现了电冰箱 饼干盒 积木块 储物箱等四个长 方体物体的图片 利用这些图片启发学生说说生活中哪些物体的形状是长方体 在现 实的情境里引出教学的研究对象 把学生的学习心向集中到长方体上 观察物体 整 理特点是认识长方体的主要教学活动 例题把教学过程设计成三步 第一步 观察长方体 认识直观图 以及面 棱和顶点 学生已经知道 在不同 的位置观察长方体形状的物体 看到的面的个数会不同 有时只能看到一个面 有时 能同时看到两个面 最多能同时看到三个面 例题以这些经验为教学长方体特征的起 点 在观察长方体的基础上 帮助学生认识长方体的直观图 认识长方体的面 棱和 顶点 把立体的样子画在纸上 从长方体实物到它的直观图 是空间观念的一次发展 观察实物只能看到物体的一部分面 在直观图上用实线画出能够看到的面 用虚线勾 画不能直接看到的面 学生把立体与其直观图有机联系 感受直观图真实表达了立体 的形状与结构 并可根据直观图想象相应的立体 这些都是空间观念的具体表现 直 观图是教学难点 从便于学生理解出发 可以先画出能够看到的三个面 再勾出不能 直接看到的三个面 面 棱和顶点是长方体结构的三个要素 是与长方体密切相关的三个概念 也是 研究长方体特征的主要着眼点 教材按 面 棱 顶点 的次序教学三个概念 同时整理出长方体的主要特征 物体有 面 是学生已有的认识 只要让他们在立体 上摸摸面 在直观图上指出面 就感知了长方体的面 不必再作过多的解释 两个面 相交的线叫作 棱 这是对棱的数学解释 学生需要观察并通过在实物上的操作 演 示 才能体会 两个面相交 以及两个面 相交的线 的含义 形成棱的概念 三条 棱相交的点叫作 顶点 要让学生在长方体上摸一摸 在直观图上指一指 感受每一 个顶点都是三条棱的交点 第二步 分类观察 逐步学习从量的角度描述长方体的特征 例题鼓励学生主动 探索 合作交流 先数出长方体有几个面 几条棱 几个顶点 在 量 的方面把握 长方体的结构 再深入研究长方体的特点 进行的学习活动有看一看 量一量 比一 比 研究的内容是长方体面的形状与相互关系 棱的长度与分组 研究的目的是整理 出长方体的特点 教学要注意四点 一是学生对长方体的认识不会一步到位 总是由 表及里 由浅入深 点滴积累 逐步进展的 教学长方体的特征既要让学生自主探索 又要教师及时引导点拨 如发现 6 个面都是长方形比较容易 而相对的面完全相同往 往需要教师引导学生去关注 去比较 至于长方体的 3 组棱以及每组 4 条棱长度相等 可能更需要教师的指点 再如学生的发现总是局部的 零星的 表达往往是不严密的 这就需要教师组织交流 汇集生成的资源 提升学生的语言水平 帮助他们抽象概括 出相对完整的认识 二是例题呈现一般的长方体 6 个面都是长方形 目的是得出长方 体的一般特征 至于相对特殊的长方体 教材把它们安排在练习一第 1 2 题里陆续出 现 学生在较特殊长方体与一般长方体的比较中 不会因为有些长方体有两个面是正 方形 就对此前形成的概念产生怀疑 只会在一般到特殊的认识过程中 加强对长方 体本质特点的体会与理解 三是学生的学习方式总是多样的 部分学生喜欢探索发现 也有部分学生需要有意义地接受 合作交流能满足学生的不同需要 教学要让独立探 索有困难的学生共享成果 在听懂同伴发言的基础上 亲自验证 亲身感受 理解长 方体的特征 尤其在三组相对的面与三组相对的棱这些知识点上 要给学生时间去操 作体验 感悟内化 四是要通过教学长 宽 高继续认识长方体 帮助学生进一步体 会每一个顶点都是三条棱的交点 而且三条棱分别是长方体三组棱中的一条 人们通 常把长方体竖直位置的棱称为高 上面或下面的一条较长的棱称为长 较短的棱称为 宽 从长方体的任何一个顶点 都能找到长方体的长 宽 高 不但要让学生在立体 上指出 还应要求他们在直观图上看出来 例 2 教学正方体的特征 由于正方体的结构与长方体有许多相同 近 的地方 而且比长方体显得更加特殊 学生认识长方体的学习活动经验能够迁移应用到探索正 方体的特征上 所以 教材在呈现教学内容 安排教学活动时 给了学生更大的空间 首先 例题直接给出了正方体的直观图 并在直观图上标出正方体的面 棱和顶点 这是因为学生联系看长方体直观图的经验 能够看懂正方体的直观图 同时正方体面 棱 顶点的含义与长方体的面 棱 顶点完全一致 没有必要重复讲述 教学时可以 让学生看着直观图上的标注 解释什么是正方体的棱和顶点 其次 数出正方体有几 个面 几条棱 几个顶点 可以在正方体模型上进行 也可以在正方体直观图上得出 教学时应该要求学生有条理地数一数 按上下 前后 左右的次序指出 6 个面 分三 组指出 12 条棱 分两批指出 8 个顶点 还有 6 个面完全相同 12 条棱长度相等的结 论 可以在正方体模型上量量 比比 也可以在直观图上推理出来 如正方体的 6 个 面是边长相等的正方形 它们自然完全相同 又如正方体的 12 条棱是完全相同的正方 形的边 自然长度相等 教材要求学生比较长方体和正方体有哪些相同的地方 体会正方体具有长方体的 所有特征 它们都有 6 个面 都是相对的面完全相同 它们都有 12 条棱 都是相对的 棱长度相等 它们都有 8 个顶点 在这些比较的基础上 教材明确指出 正方体是特 殊的长方体 并用集合表达这种关系 集合图用一个较大的圈表示所有的长方体 用 一个较小的圈表示所有的正方体 小圈在大圈里面 表示正方体是长方体中的特殊部 分 练习一第 1 4 题配合例 1 和例 2 的教学 练习的主要内容是长方体和正方体的形 状特征 长方体的长 宽 高 正方体的棱长等 有两点要注意 一点是出现了长与 高相等的长方体 宽与高相等的长方体 它们都有两个正方形面 学生识别这些比较 特殊的长方体不会有困难 但指出它们的长 宽 高可能要想一想 另一点是第 3 题 根据长方体直观图上标注的长 宽 高 分别说出长方体的上面 前面或右面的长与 宽 为计算长方体的表面积作准备 第 4 题用若干个棱长 1 厘米的正方体摆出三个不 同的长方体 或正方体 要求学生说出各个长方体 正方体 的长 宽 高 或棱长 是多少厘米 数出摆每个长方体 或正方体 用了多少个小正方体 学生在这道题里 可以继续体验长方体的长 宽 高 同时为后面学习长方体的体积作些准备 二 通过展开 折叠 认识长方体和正方体的表面展开图 例 3 和 试一试 教学正方体与长方体的表面展开图 编排这部分内容的目的 在前面已经阐述 不再重复 这里主要分析教材 提出教学建议 1 让学生初步知道表面 展开图 的含义 加强对正方体的认识 教材先安排正方体的表面展开图 原因仍然是正方体的特征比较简单 例题详细 展示了把正方体纸盒剪开的步骤 用红线标出每一步剪开的棱 最后把剪开的纸盒摊 平 引导学生经历得出正方体表面展开图的过程 从中明白 表面展开 的含义 知 道表面展开图是平面图形 清楚地看到正方体的表面展开图由 6 个完全相同的正方形 组成 教学这道例题除了仔细展开正方体纸盒的各个面 还要注意展开以后的回顾与 反思 让学生回忆是怎样展开正方体表面的 思考为什么展开图里有 6 个同样的正方 形 正方形的边长与正方体的棱长是什么关系 通过反思 加强对表面展开图的体 会 加强对正方体特征的认识 在立体与它的表面展开图关系的思辨中发展空间观念 按照例题设计的剪棱次序 得到的正方体表面展开图是一个对称图形 目的是让 学生先接触比较 标准 的展开图 除了依照例题设计的剪法 还可以沿着纸盒的其 他棱剪 同样也能得到纸盒的展开图 豆荚 卡通要求学生 沿着其他棱试着剪一剪 再次进行展开正方体表面的活动 体会沿着不同位置的棱剪 得到的展开图形状不 同 但是 展开图都由 6 个相同的正方形组成 每个正方形的边都是正方体的棱等主 要属性是一致的 由此可以理解正方体表面展开图既有多样性 又有确定性 多样性 是剪法不同的结果 确定性是正方体的特征决定的 2 让学生自主研究长方体的表面展开图 加强对长方体的认识 长方体的表面展开图安排在 试一试 里 让学生通过剪长方体纸盒得到 学习 正方体表面展开图的活动经验会支持他们主动地操作 交流 沿着哪几条棱剪 按怎 样的次序剪 在教材里没有规定 学生可以自主选择 因此 学生中出现的纸盒展开 图会是多样的 在每个展开图里都可以看到 6 个长方形 从而体现了长方体表面展开 图形状的多样性和组成的确定性 玉米 卡通提出的 从展开图中找到 3 组相对的面 是富有思维含量的问题 能引发学生进一步研究展开图 并把展开图与立体联系起来 思考 要鼓励学生反复进行 展开表面 围成长方体 展开表面 围成长方体 的折叠 展开活动 仔细研究展开图里的每一个长方形 想想它在长方体上的位置 看长方体的各个面 想想它在展开图里的位置 让学生在体验立体与表面展开图相互 转化的过程中发展空间观念 另外 还可以在表面展开图上想长方体的长 宽 高 并把长 宽 高转换成展 开图中各个长方形的长与宽 学生进行这些转化 也能加强对长方体的认识 还能为 学习表面积作些准备 3 判断哪些图形折叠后能围成正方体或长方体 加强对 体 的感受 配合例 3 的 练一练 第 2 题提供了四个平面图形 每个图形都由 6 个相同的正 方形组成 要求判断四个平面图形中哪些折叠后能够围成正方体 练习一第 6 题要求 观察教科书附页里的图形 想想沿着虚线折叠 哪些图形能围成长方体 第 7 题要求 分别找到三个长方体或正方体的表面展开图 教材编排这些习题 目的是加强立体与 它的表面展开图的相互转换 学生进行这些判断往往会有困难 这里提出两点教学建 议 第一 在例 3 和 试一试 里要把沿不同的棱剪纸盒得到的各个展开图充分展示 和交流 先认识 标准 和 比较标准 状态的展开图 再体会展开图还有其他形状 并在各个展开图上指出立体中三组相对的面 第二 允许学生灵活地 先想后围 或 者 先围后想 如果看到的图形是 标准 的或者接近 标准 的 可以先判断它能 不能围成立体 想想围成的立体是什么样子 然后动手折叠 验证刚才的判断与想象 如果看到的图形不是 标准 状态的 能不能围成立体难以判断 可以先动手操作 从中体会为什么能围成或围不成立体 练习一的后面有一次 动手做 要求在 10cm 8cm 8cm 8cm 10cm 5cm 8cm 5cm 10cm 10cm 这五种长 正 方形纸片 中选择几种 每种若干张 先围成一个长方体 再围成一个正方体 学生选择图形及 其张数时 要思考长方体或正方体的特征 既要做到长方体的上 下两面完全相同 左 右两面完全相同 前 后两面完全相同 又要做到前 后面与上 下面的长相等 前 后面与左 右面的高相等 上 下面与左 右面的宽相等 所以说 这次动手做 是一项富有趣味性和挑战性的任务 对学生的空间想象能力提出了较高的要求 上述 的选择具有多样性 可以做出长 宽 高都不相等的长方体 也可以做出有两个面是 正方形的长方体 三 通过分析 综合 有意义地建构长方体和正方体表面积的知识 教学表面积知识的两道例题都是关于长方体的 正方体的表面积通过 试一试 进行教学 这是因为长方体表面积的概念和计算方法能迁移到正方体上去 而计算长 方体的表面积比计算正方体的表面积又要复杂一些 表面积的教学分两步进行 先是 例 4 和 试一试 把表面积的意义和算法结合在一起教学 然后是例 5 应用表面积知 识解决实际问题 例 4 创设的问题情境是做一个长方体纸盒要用多少硬纸板 引导学生联系已有经 验 探索表面积的知识 学生在掌握了长方体特征的基础上 会想到这个问题与长方 体各个面的面积有关 从而去计算纸盒 6 个面的面积和 并出现不同的算法 辣椒 卡通和 蘑菇 卡通的算法是比较典型的两种方法 他们有相同的目标 求出纸盒各 个面面积的总和 但他们的算法不同 一种算法是分别求出 3 组相对的面的面积 再 相加求出总面积 另一种算法是先求出 3 组相对面中各一个面的面积和 再把面积和 乘 2 两种算法都得益于练习一第 3 题的孕伏 都是计算长方体表面积的较好方法 而 乘法分配律可以沟通两种算法的内在联系 学生解答例 4 想到的各种算法 都应用了 分析 综合 的思想 把一个比较 复杂的新颖问题分解成若干个简单的问题 通过这些简单问题的逐一解决和有机组合 实现解决复杂问题的目的 组织学生反思并体验这种思想方法 就能很好地理解表面 积的意义 也不需要机械记忆表面积的计算公式 教材里不归纳表面积公式 并不意 味可以淡化表面积算法的教学 而是要让学生联系表面积意义自主建构表面积的算法 试一试 求正方体的表面积 学生会从 正方体有 6 个完全相同的正方形面 这个特点出发 推理正方体表面积的算法 他们一般会采用 一个面的面积 6 这种 方法 教学在放手让学生独立思考以后 要组织他们解释思路与算法 为最终得出 长方体或正方体 6 个面的总面积叫作它的表面积 积累感性认识 其实 教材对表 面积意义的描述并不只是揭示概念的内涵 也指出了表面积的计算方法 现实生活里经常会使用长方体或正方体表面积的知识 解决的实际问题复杂多变 有些物体有 6 个面 有些物体只有 5 个或 4 个面 这就要求学生正确理解题意 联系 生活经验 灵活应用数学知识 例 5 呈现一个长方体玻璃鱼缸 题目指出它 无盖 教材通过鱼缸的示意图帮助学生理解这个实际问题的特点 明白所用玻璃的面积是长 方体 5 个面的面积和 例题安排学生交流解决问题的思路 鼓励他们灵活应用表面积 的知识 番茄 卡通和 辣椒 卡通都是计算玻璃鱼缸 5 个面的总面积 而具体的算 法不一样 一种算法是有哪 5 个面 就把这 5 个面的面积相加 即把鱼缸的前 后 左 右和下面的面积相加 另一种算法是缺少哪个面 就从 6 个面的总面积里减去那 个面的面积 即 表面积 上面的面积 两条思路各有特点 前一条思路对空间想象 的要求比较高 必须找准并正确计算有关的 5 个面的面积 后一条思路的思维负荷稍 轻些 只要集中力量思考缺少的一个面 在整理解题思路以后 教材让学生选择一种 方法算出结果 加强对思路的理解与把握 至于 还有其他方法吗 一般只是利用前 一种思路解题 列出略有不同的算式 如 5 个面的面积连加 或者前面的面积 2 左 面的面积 2 下面的面积等 要注意 这道例题鼓励学生解决问题的思路与方法多样 不是要求他们一题多解 而是希望学生积累解决长 正方体表面积实际问题的经验 学会从实际问题出发 确定计算哪几个面的面积和 只要选择一种方法解决问题 练习二配合例 4 和例 5 的教学 习题的设计有两个特点 一是 实 扎扎实实地 练习表面积的意义和算法 尤其是第 1 2 两题 分别消化计算长方体表面积的两条基 本思路与两种常用方法 二是 活 灵活应用表面积的知识 解决的实际问题中 有 些求 5 个面的面积 有些求 4 个面的面积 还有只求一组相对面的面积 教材为这些 实际问题配了示意图 帮助学生直观感受实际问题涉及几个面 是哪几个面 第 9 题 要求计算教室里的粉刷面积 要在四面墙壁和顶面的基础上去掉门窗的面积 第 10 题 要求计算长方体火柴盒的内盒与外盒各用多少硬纸 要把测量长度和计算表面积结合 起来 这两题都有利于培养学生的实践能力 四 通过实验 领悟 初步建立体积和容积的概念 例 6 和例 7 分别教学体积的意义和容积的意义 容积的意义要建立在体积的概念 上 因而这两道例题中 例 6 是重点 学生形成体积的概念还是教学难点 这是因为 物体所占空间的大小叫作物体的体积 这句话虽然不长 却含有 空间 物体占有 空间 空间有大小 等比较抽象的内涵 学生如果对这些内涵的感知不充分或者不准 确 就难以理解体积的意义 为此 例 6 改变了过去教学体积概念的一些做法 安排 了比较丰富且有层次的感知活动 这些活动会对教学产生一些有益的影响 当然 例 6 的教学只能让学生初步感受体积的意义 后面继续教学体积单位 体积测量与计算 还会进一步丰富和加深相关的理解 例 6 从 有限 空间到 无限 空间 引导学生领悟 体积 的意思 初步建立 体积的概念 前面说过 空间 物体占有空间 所占空间的大小 都是关于体积概 念的内涵 是建立体积概念必须先要理解的子概念 对小学生来说 空间 似乎看得 见又好像看不见 似乎摸得着又好像摸不着 真是似懂非懂 教材从 有限 空间切 入 逐步向 无限 空间扩展 有利于学生感受与体积有关的现象 积累关于体积的 感性认识 教学过程设计成四步 第一步利用杯子里的有限空间 初步体会 空间 和 物体占有空间 两个同样的玻璃杯 左边的杯子装满水 右边的杯子里放一个桃 把左边杯子里的水倒入右边杯子会剩下一些 要学生思考 为什么剩下一些水 用右 边杯子里有一个桃来解释 从而意义接受 茄子 卡通说的 杯中有一部分空间被桃 占去了 这是学生第一次在数学学习中接触 空间 占了空间 等语言 要留给学 生充分的时间 仔细体会这句话的意思 在现实的背景下感受 空间 的含义 并模 仿着说一说 使 物体占有空间 成为他们自己的语言 如果有需要 还可以在一只 透明空杯的上口放一本书 让学生观察杯子的里面 体会杯子里面的空间 再把桃放 入杯中 仍然用书盖住上口 观察杯子里面 体会桃占了杯子里的一部分空间 第二 步是感受不同的物体占的空间有大 有小 两个同样的杯子 一个杯子里放 1 个桃 另一个杯子里放 1 个荔枝 桃明显比荔枝大 分别往这两个杯子里倒水 要求学生观 察倒入哪个杯里的水多些 并作出解释 联系 放桃的杯子里可以倒入的水比放荔枝 的杯子少 的事实 体会看上去大的物体 占的空间大 看上去小的物体 占的空间 小 学生解释为什么两个杯子里可以倒入的水有多 有少时 要像 蘑菇 卡通那样 想和说 用 桃占的空间大 荔枝占的空间小 来推想 理解 桃大 是指它 占的 空间大 荔枝小 是指它 占的空间小 从而获得 不同物体占的空间大小不同 的体验 同时 也培养使用数学术语的习惯和能力 第三步在 无限 空间里 继续 体会每个物体都占有一定的空间 教材让学生直接观察小番茄 荔枝和桃的图片 这 时的三个水果都不放在杯子里 而是呈现在较大的空间里 学生一眼就能看出桃最大 教材要求学生比较这三个水果 说出哪一个占的空间大 把直观看到的 桃大 理解 为 桃占的空间大 进一步体会每个物体都占有空间 不同物体占有空间的大小往往 不同 他们在这些感性认识的基础上 就能意义接受教材关于物体体积意义的描述 理解 物体所占空间的大小叫作物体的体积 这句话的含义 第四步是让学生举例 并比比列举的两个物体体积的大小 这一步要把抽象的概念具体化 引导学生自主应 用体积的概念 相比的两个物体应该由学生提出 要用好 体积 这个词 完整地说 出 的体积比 的体积大 小 还要联系物体解释什么是它的体积 如电冰 箱的体积是它占有空间的大小 电冰箱的体积比电视机的体积大 练习三第 1 2 两题配合例 6 的教学 帮助学生继续领悟体积的意义 8 盒同样的 饼干堆成三堆 堆的形状虽然不同 但占的空间大小相同 因而体积相等 这就体会 了体积只与物体所占空间的大小有关 和物体的形状无关 用 12 个同样的正方体摆成 两个或三个物体 有时两个或三个物体所用正方体的个数不同 因而两个或三个物体 的体积不相等 有时三个物体虽然形状不同 但所用正方体的个数相同 因而它们的 体积相等 学生通过这些操作活动 能够进一步体会物体都占有空间 物体都有体积 不同物体的体积可以相等 也可以不相等 容积与体积是两个既有联系 也有区别的概念 教学容积的意义要以体积概念为 生长点 这是教材把体积和容积安排在连续的两道例题里教学的原因 例 7 利用盒子 里放书的情境教学容积的意义 画面的右上方是两盒书 左下方是两个书盒 通过直 观比较哪个盒子里书的体积大些 引出哪个盒子的容积大些 从而揭示 容积 的概 念 要注意教材里 左边 四大名著 盒子里书的体积大些 是 辣椒 卡通看着两 盒书说的 即学生根据直观情境回答例题提出的问题 也可以说 左边 四大名著 盒子的容积大些 是 玉米 卡通指着两只盒子说的 即应是教师对学生的讲述 比 较书的体积是旧知识 体会盒子的容积是新知识 教学一方面要以旧引新 另一方面 要体现容积与体积是不同的概念 从 容器能够容纳物体 的事实 接受 容积 这 个数学术语 从 有些容器容纳的物体大 有些容器容纳的物体小 理解容积是容器 能够容纳的体积 为了帮助学生建立容积概念 可以适当补充一些实例 让学生懂 得 容器 体会每个容器能容纳的体积是有限的 确定的 在充分感受的基础上 得 出教材关于容积意义的描述 试一试 要求直观判断两个杯子中哪一个的容积大些 难度不大 教学不能停 留在学生过去的生活经验水平上 要加强对容积意义的理解 可以让学生解释杯子容 积的意思 体会每个杯子的容积是指它能够容纳水的体积 从而猜想哪个杯子的容积 大些 还可要求学生设计实验验证自己的猜想 如在一个杯子里装满水 往另一个杯 子里倒 看能不能装满另一个杯子 会不会有剩下的水 练习三第 3 4 两题配合例 7 的教学 设计第 3 题是为了再次感受容积的意义 学 生理解题意 想象题目讲述的饮料倒入杯子的情境 就能作出判断 教学要联系杯子 装满饮料的事情 让学生说说杯子容积的含义 并利用容积的意义解释自己的判断 达到教材的设计目的 第 4 题创设了两个盒子体积相等 容积不等的情境 凸显体积 是物体占有空间的大小 容积是容器可以容纳物体的大小 两者是有区别的两个概念 五 通过认识 应用 初步掌握常用的体积单位 本单元教学的体积单位有立方厘米 立方分米和立方米 有了体积单位就能测量 物体的体积 也就能在计量体积的活动中进一步体会体积的意义 例 8 分两段教学常 用的体积单位 首先体会人们计量物体的体积 需要有确定且统一的体积单位 然后 依次教学三个常用体积单位的名称 大小以及应用 例 8 给出一个长方体和一个正方体 要求比出哪个体积大 如果只是观察这两个 立体图形 很难直接作出判断 如果联系练习一第 4 题数小正方体摆成的长方体的长 宽 高 以及练习三第 2 题比较小正方体摆成的物体体积的经验 可以想到 把它们 切成同样大小的正方体 能比出大小 事实上 长方体切成 9 个同样大的小正方体 正方体切成 8 个同样大的小正方体 就能得出长方体体积比较大的结论 这段教材让 学生明白 有了体积单位才能准确计量物体的体积 必须有统一的体积单位才能得到 一致的计量结果 例题把长方体和正方体分别切成相同的小正方体 意味了体积单位 应该与正方体密切相关 例 8 的教学重点是三个常用的体积单位 要准确表达 1 立方厘米 1 立方分米 1 立方米各是多大的正方体 帮助学生在头脑里留下清楚而牢固的表象 教材除了用文 字叙述这些体积单位的意义 还使用一些辅助方法 让学生体会并记忆体积单位 如 棱长 1 厘米的正方体 体积 1 立方厘米 教材画出了 1 立方厘米的示意图 配合语言 描述 让学生了解 1 立方厘米 受版面限制 画出 1 立方分米 1 立方米的直观图有困 难 因此 在 1 立方分米的示意图旁边 画一个体积大约 1 立方分米的粉笔盒 利用 熟悉的物体 感知 1 立方分米是多大 用 3 根 1 米长的木条 在墙角搭一个 1 立方米 的空间 在现实情境中体会 1 立方米 钻研教材还要看到 例 8 教学立方厘米和立方 分米安排得比较详细 突出了作为体积单位的 1 立方厘米和 1 立方分米都是正方体的 大小 而教学立方米时 要学生想想 说说 怎样的正方体体积是 1 立方米 给了 学生迁移已有经验 主动建构新知识的机会 寻找体积接近 1 立方厘米的物体 以及 用手势比画 1 立方分米 都是把头脑里初步的体积单位表象反馈出来 列举的物体的 体积是不是大约 1 立方厘米 反映了头脑里 1 立方厘米的表象是不是正确 同样 用 手势表示的大小是不是接近 1 立方分米 反映了初步的 1 立方分米表象是不是基本正 确 辣椒 卡通说的 手指头的体积大约 1 立方厘米 能引起学生观察自己的手指 头的兴趣 也有利于丰富对 1 立方厘米的体验 他们再去寻找大约 1 立方厘米的物体 会更加恰当一些 找到的体积大约 1 立方厘米的物体 还能帮助学生记忆 1 立方厘米 练习三第 8 题 指出黄豆 草莓 乒乓球 大米这四件物品的体积 哪些比 1 立方厘 米大 哪些比 1 立方厘米小 指出纸巾盒 香皂 猕猴桃 西瓜这四件物品的体积 哪些比 1 立方分米大 哪些比 1 立方分米小 学生每次作出判断 都要把某个物品与 自己头脑里的体积单位进行比较 这就加强了头脑里的体积单位的概念 初步掌握体积单位 要能应用体积单位表达物体的体积 在这部分教材里 一是 让学生说出由 1 立方厘米小正方体摆成的立体的体积 二是为常见的物体选择合适的 体积单位 例 8 在教学 1 立方厘米是多大的体积单位以后 图示了由 4 个和 6 个棱长 1 厘米的小正方体摆成的长方体 要求学生说出这两个长方体的体积分别是 4 立方厘米 和 6 立方厘米 体会物体里含有多少个 1 立方厘米 它的体积就是多少立方厘米 第 一次量化描述物体的体积 也蕴含了用体积单位测量物体体积的思想与方法 图示的 两个长方体的结构都很直观 分别说出它们的体积比较容易 教学不能满足于答案正 确 要让学生说说是怎样想的 再次理解体积的意义 感受体积单位的用途 练习三 第 7 题也呈现了用 1 立方厘米小正方体摆成的物体 这里摆成的物体稍复杂些 说出 各个物体的体积 仍然是为了感受体积单位可以计量物体的体积 其中两个物体的结 构不是很直观 说出它们的体积 要数出各是由几个小正方体摆成的 尤其是要想到 那些不能直观看到的小正方体 这样的问题有利于发展空间观念 第 10 题在第 7 题的 基础上编排 要求根据物体前面 上面和右面的视图 先摆出物体 数出一共用了多 少个 1 立方厘米的正方体 再说出这个物体的体积 摆出这个物体是解决问题的关键 不能要求学生未摆出物体就说出它的体积 练习三第 6 题把 1 厘米 1 平方厘米和 1 立方厘米放在一起进行比较 首先要让学 生说说它们的不同 然后重点体会它们的联系 这是三个不同的计量单位 从用途上 看 分别用于测量线段的长度 平面图形的大小 物体占有空间的大小 分别是长度 单位 面积单位 体积单位 从意义上看 1 厘米是线段的长度 经常用一条相应的线 段表示它 1 平方厘米是图形的面的大小 通常用一个相应的正方形表示它 1 立方厘 米是立体占有空间的大小 通常用相应的正方体表示 尽管它们是三个不同性质的计 量单位 但也有内在的对应联系 边长 1 厘米的正方形面积 1 平方厘米 棱长 1 厘米 的正方体体积 1 立方厘米 在一个平面图形或者立体图形上 如果计量长度用厘米作 单位 那么计量面积用平方厘米作单位 计量体积用立方厘米作单位 第 9 题要求为 物体选择合适的体积单位 学生能不能填出合适的单位 一般决定于三个因素 一是 对物体的熟悉程度 二是具有体积单位的正确表象 三是能够开展有效而周密的思考 如学生都熟悉西瓜 了解一个西瓜大致是多大 如果西瓜的体积是 8 立方厘米或者是 8 立方米 显然都不符合实际 所以 计量一个西瓜的体积 用立方分米这个单位比较 恰当 反之 如果勉强学生为不熟悉的物体选择体积单位 他们只能脱离实际地乱猜 这是毫无意义的 教材里的橡皮 集装箱 水桶都以图画呈现 能够唤起学生对这些 事物的回忆 他们联系现实生活里的这些物品 就能寻找到适当的体积单位 例 8 的最后教学常用的容积单位 四年级上册教材里已经教学了 升和毫升 学 生也初步接触了容器 容量等词语 知道升和毫升是常用的计量液体有多少的单位 对 1 升 1 毫升液体大约是多少也有了初步的体验 本单元教学容积单位 先指出计量 容积一般就用立方米 立方分米 立方厘米等体积单位 然后指出计量液体的体积 存放液体的容器的容积 通常用升和毫升作单位 最后联系 1 立方分米水倒入量杯 的实验 指出 容积是 1 立方分米的容器 正好盛水 1 升 容积是 1 立方厘米的容器 正好盛水 1 毫升 同时给出 1 立方分米 1 升 1 立方厘米 1 毫升这两个关系式 让 学生形成关于升和毫升的准确概念 六 通过测量 发现 探索长方体和正方体的体积计算公式 长方体 正方体体积公式的教育价值不只是让学生知道公式和应用公式 如果把 教学目标只是定位在记忆并按公式计算上 学生在这个内容学习中得到的发展是不充 分的 其实 得出体积计算公式有许多教学活动可以开展 从中能加强对体积意义 体积单位的理解 能积累数学活动经验 提升数学思维水平 发展解决问题的策略 能培养探索精神 实践能力 还有利于形成积极的情感态度 因此 教材十分重视得 出体积计算公式的过程 编排三道例题教学这部分内容 例 9 和例 10 通过摆学具 量 体积 推导出长方体和正方体的体积计算公式 例 11 深入剖析长方体与正方体的体积 公式 形成更加上位的认识与算法 例 9 和例 10 都是探索长方体的体积计算公式 安排了两个层次的操作活动 例 9 要求学生用若干个 1 立方厘米的正方体摆出 4 个不同的长方体 基于学生已有的知识 和能力开始教学新知识 教材没有规定长方体的大小 学生可以按自己的意愿去摆 既调动了他们的积极性 又为合作交流营造了氛围 学生在教材提供的表格里填写每 个长方体的长 宽 高 所用 1 立方厘米正方体的个数以及摆成的长方体体积 教学 这道例题不要急于得出体积公式 要引导学生在表格里获得两点体会 第一 长方体 是由多少个 1 立方厘米的正方体摆成的 它就占有多少立方厘米的空间 体积就是多 少立方厘米 第二 长方体的长 宽 高的数量越大 所用的 1 立方厘米正方体的个 数就越多 长方体体积也就越大 长方体的长 宽 高的数量越小 所用的 1 立方厘 米正方体个数就越少 长方体体积也就越小 由此得到 长方体的体积应该和它的长 宽 高有关 学生获得这两点体会 加强了体积概念以及对体积单位的认识 明白继 续探索长方体体积计算公式 要研究体积与长 宽 高的关系 例 10 呈现用 1 立方厘米的正方体摆出的三个不同的长方体 要求学生先想一想怎 样摆 再按想法摆出来 三个长方体是精心设计的 左边那个的宽和高都是 1 厘米 只要把四个正方体摆成一行 能够体会长方体长的数量与沿着长摆的体积单位个数之 间的必然联系 中间那个长方体的高 1 厘米 只要把正方体摆成一层 着重体会长方 体宽的数量是几 沿着宽应该摆出几行体积单位 而长与宽的乘积 就是一层里体积 单位的个数 右边的长方体高 2 厘米 要把正方体摆成 2 层 可以体会长方体高的数 量与摆的体积单位的层数是一致的 教材在各个长方体里预设了教学内涵 规划了各 次实物操作时的思考重点 能有步骤地引导学生逐渐建构数学认识 学生摆各个长方 体获得的体会 就是对长方体的体积与其长 宽 高关系的理解 教材要求学生说说 在两道例题中的发现 引导他们反思进行过的操作 以体积与长 宽 高的关系推导 并解释长方体的体积计算公式 抓住正方体 12 条棱的长度相等 能从长方体的体积公式推导出正方体的体积计算 公式 教材希望学生主动开展推导活动 在独立思考之后相互交流 推导的线索可以 是多样的 从正方体具有长方体的所有特征 是长 宽 高相等的长方体能够进行如 下的推导 长方体的体积 长 宽 高 正方体的体积 棱长 棱长 棱长 用体积单位测量正方体体积也能够推导 每行摆的个数 摆的行数 摆的层数都 与正方体的棱长相等 所以正方体的体积 棱长 棱长 棱长 写正方体体积的字母 公式时 根据字母表示数的书写规则和人们的习惯 一般乘号省去不写 表示成 V a3 字母公式中 a3是新知识 它的写法 读法以及表示的意思都要对学生讲述清楚 试一试 是学生首次根据字母公式列式计算长方体 正方体的体积 算式的写法及 其计算要点 也要给学生适当的指点 练一练 第 2 题计算整数或小数的立方 是配 合正方体体积计算的专项练习 解决正方体体积的实际问题 经常会遇到这样的式子 其中 13 103 0 13要提醒学生特别注意 防止算错 学生经过操作实践 得到的长方体体积公式和正方体体积公式 在形式上很相似 记忆 应用都比较方便 如果进一步深入研究这两个体积计算公式 还能发现相同的 内涵 例 11 把已有的长方体和正方体体积公式作为研究对象 得出一个更加上位的体 积计算公式 例题的教学分三步进行 第一步认识长方体和正方体的底面 教材在长 方体和正方体的直观图上 用涂色和文字标注等办法呈现它们的底面 让学生看到 底面 一般指长方体或正方体的下面 认识长方体时曾经指过上和下 前和后 左 和右三组相对的面 第二步认识底面积 长方体和正方体的底面 都是一个确定的面 属于它们表面的一部分 教材指出 长方体和正方体底面的面积 叫作它们的底面积 帮助学生建立底面积的概念 还要求学生研究底面积的算法 联系求表面积的经验 得出长方体的底面积 长 宽 正方体的底面积 棱长 棱长 使他们对底面积的认 识向前推进一步 第三步演变原来的体积公式 在长方体的体积 长 宽 高这个公 式里 如果把 长 宽 看成先算长方体的底面积 那么体积的算法可以演变成 底 面积 高 类似地 在正方体的体积 棱长 棱长 棱长这个公式里 如果把 棱长 棱长 理解成先算正方体的底面积 那么体积公式也可以演变成 底面积 高 这 样 长方体 正方体的体积计算公式都演变成 底面积 高 得到了深层次的统一 把长方体和正方体的体积公式统一成 底面积 高 有两点教学意义 一是深入 理解原来的两个体积公式 长 宽 高以及棱长的是立体的棱的长度 决定立体的大 小 长 宽或棱长 棱长得到的是长方体或正方体的底面积 底面积 高得到的是长 方体或正方体的体积 这些里面蕴含了长度 面积 体积之间的联系 二是重组了知 识结构 把两个体积公式统一成一个公式 其本身就是一次认知的简化 而且 底面 积 高 还是计算所有直柱体体积的方法 无论底面是直线图形的柱体 还是底面是 曲线图形的柱体 体积公式都是 V Sh 前一点意义 在本单元的教学中就能体现 后 一点意义 在以后的教学中会逐渐体现出来 配合例 11 的 练一练 第 3 题 已知一 根长方体木料的长与横截面的边长 求这根木料的横截面面积和体积 横截面 是首 先出现的概念 教材利用示意图帮助学生理解横截面的含义 安排先算出横截面的面 积 再求木料的体积 学生可以通过计算横截面的面积 进一步体验这个面的含义 这样 长方体和正方体的体积公式还能演变成 横截面面积 长 或者 横截面面积 棱长 从而对体积计算有更加充实 更加丰富的体验 练习四第 7 题 已知沙坑里 黄沙的体积以及长与宽 求黄沙有多厚 这道题联系人们的生活习惯 把长方体的 高 说成 厚 要引导学生联想沙坑里的黄沙形状 正确理解 厚 在这个现实情 境里的意思 这个实际问题已知长方体的体积 求长方体的高 可以提示学生列方程 解答 这样 根据长方体的体积公式 可以利用已知的棱的长度计算体积 也可以利 用已知的体积计算棱的长度 体积公式的实际应用更加广泛 更加灵活了 练习四里的实际问题大致分三块安排 第 1 3 题利用长方体或正方体的体积计算 公式 分别求出体积 第 5 8 题利用 底面积 高 计算体积 第 14 19 题是表面 积和体积 容积 计算的综合应用 前面两块的问题比较简单 第三块的问题稍复杂 些 教材编排的实际问题取材于学生的身边 如幼儿园的储物柜 操场跑道 花坛 货车车厢 煤气灶的包装箱 电冰箱等 为了把有关物体的形状结构 大小尺寸讲清 楚 题目的文字叙述比较长 学生解决这些问题 必须把题意弄清楚 并且完整地短 时记忆在头脑里 教学要让学生结合教材里的示意图 通过整理信息和复述题意 培 养良好的解题习惯 七 通过计算 类比 理解体积单位的进率 在学生初步掌握长方体和正方体的体积计算公式以后 教学体积单位的进率 教 材安排学生通过计算正方体的体积 发现并理解进率 例 12 要求比较两个正方体的体积是不是相等 其中一个正方体的棱长是 1 分米 另一个正方体的棱长是 10 厘米 学生从图形直观 再联系 1 分米 10 厘米 能够看到 两个正方体的棱长相等 由此得出两个正方体的体积相等 教材要求学生分别计算两 个正方体的体积 棱长 1 分米的正方体体积是 1 立方分米 棱长 10 厘米的正方体体积 是 1000 立方厘米 从两个正方体体积相等 得出等式 1 立方分米 1000 立方厘米 这就是体积单位立方分米与立方厘米之间的进率 用同样的方法推算立方米和立方分米之间的进率 可以先想一个体积 1 立方米 即棱长 1 米的正方体 再把这个正方体的棱长看成 10 分米 算出体积是 1000 立方分 米 从同一个正方体的体积既是 1 立方米 又是 1000 立方分米 得出 1 立方米 1000 立方分米 体积单位进率的教学不能在得出两个等式就结束 至少还要做两件事 一件是再 认两个等式 教学体积单位的进率 得出两个等式是关键 两个等式首先表达的是两 个棱长相等的正方体的体积相等 然后才表达出相邻两个体积单位的进率 后者是例 12 的重点所在 而学生往往注意的是前者 所以要通过再认两个等式 使学生理解这 两个等式表达的最本质的数学内容 整理出体积单位的 相邻 关系 另一件事体现 在练习四第 9 题中 表格里已经填了米 分米 厘米三个长度单位 还填了一个面积 单位和一个体积单位 要求学生继续写出其他面积单位和体积单位 还要写出表格里 相邻长度 面积 体积单位的进率 这道题对长度 面积 体积三类计量单位从名称 和进率两个方面进行初步的整理 要引导学生在填表时回忆所填单位的概念 如边长 1 米的正方形面积是 1 平方米 棱长 1 米的正方体体积是 1 立方米 从而体验米 平方 米 立方米是不同的概念 也是有对应关系的单位 学生有了这些体验 在测量或计 量长度 面积 体积时 就能正确使用单位名称 通过填表还要发现一些规律 如米 分米 厘米这三个长度单位 相邻单位间的进率是 10 平方米 平方分米 平方厘米 这三个面积单位 相邻单位间的进率是 100 10 10 立方米 立方分米 立方厘米 这三个体积单位 相邻单位间的进率是 1000 10 10 10 学生发现并理解这些规律 有助于他们记忆进率 把某个体积单位的数量换算成相邻体积单位的数量 是应用进率的活动 本单元 只要求学生进行比较简单的换算 限制在两个相邻单位之间进行 而且都是单名数的 换算 教材把体积单位的换算安排在 练一练 里 是因为体积单位换算的算理与算 法与长度单位 面积单位基本一致 只是进率不同而已 学生已经能够进行长度单位 与面积单位的换算 其中的思想与经验可以向体积单位的换算迁移 练一练 先把较 大单位的数量换算成较小单位的数量 再把较小单位的数量换算成较大单位的数量 教学时不仅要让学生写出换算后的数 还要说说换算时的思考和算法 并归纳出较大 体积单位的数量换算成较小体积单位的数量 要乘进率 1000 可以把原来数的小数点 向右移动三位 较小体积单位的数量换算成较大体积单位的数量 要除以进率 1000 可以把原