数字信号处理的数学推导

DSP课件中的数学推导及解释（v1.0）陈明1-1 离散时间信号-序列第5页：对正弦信号采样，T=1ms时，求序列第19页：任何序列可以表示为单位冲激序列的移位加权和（即与的卷积和）。解释：这个过程可以理解把任意序列分解成很多只包含一个非0序列值的序列之和，而每一个单独的序列可表示为，所以总的序列为多个之和。第26页：数字角频率的单位为弧度/样本。解释：复指数序列可以看成是由连续复指数信号采样得来，因此：，可以看到数字角频率与模拟角频率的关系是：，的单位为弧度/s，T的单位为s，或理解为s/样本，因此的单位为弧度/样本。第28页：复指数序列不一定是周期的。解释：要想为周期序列，必须满足：，则，因此，必须，与连续情况不同，这里要求N为整数，这使得当取某些值时，可能取不到整数的N，只有当为有理数（包括整数）时，才会存在整数N，序列才是周期的。1-2 线性移不变系统第4页：要理解只是一个符号，不是一个具体的公式。所以不能将中的变量n简单替换为n-1，认为等式依然成立。实际上，的含义是输入序列先移位，然后再经过系统处理后的输出，的含义是输入序列先经过系统输出，然后再移位，两者是不一样的过程产生的输出，不要想当然认为一定相等。第7页：判断下面系统是否是线性的l ：l ：l ：第10页：判断下面系统是否是移不变的l ：注意上面的变量替换在后面的分析中经常遇到l ：令，则第13页：用BIBO稳定性定义分析累加器系统是否是稳定的累加器系统：，令输入序列为，显然是有界的，而，当，是无界的。所以累加器系统不是稳定的。目前已经证明了累加器系统是线性移不变因果不稳定系统。第15页：求累加器系统的单位冲激响应根据单位冲激响应的定义，第16页：证明LTI系统的输入与输出关系第二个等号利用了任意序列可用单位冲激序列来表示，第三个等号利用了系统的线性，第四个等号利用了单位冲激响应的定义以及系统的移不变性。第18页：如何求序列卷积和一定要去练习（一般用第二种方式，书上有例题）第19,20页的证明不要求掌握，但要求记住。第22页：判断LTI系统的因果稳定性由于，是因果的。，是绝对可和的，即系统是稳定的。第28页：证明l最后一个等号利用只能在取值l 累加器系统和后向差分系统的级联等价于一个直通系统已经证明累加器系统的单位冲激响应为而后向差分系统的单位冲激响应为因此，级联后系统的单位冲激响应为：，这是全通系统第二个等号利用了。1-3 常系数线性差分方程第11页：证明：LTI系统满足初始松弛条件，则一定是因果系统LTI系统的输入输出为当时，上式可写为，初始松弛条件要求此时的，即则必然要求，此时，所以有，即系统为因果系统（其实，满足初始松弛条件的差分方程所代表的系统一定是LTI因果系统。这个结论可以用归纳法来证明）第12页：求，在初始松弛条件下系统的单位冲激响应由于系统是因果的，所以，从n=0开始，可得大家可以尝试用后面讲的z变换法求。2-1 2-2 z变换的定义与收敛域第23页：ZT ROC的性质一和二的证明不要求，性质三是显然的，下面证明性质四根据ZT定义，l 显然要使，必然要求都为0，即这是因果序列l 要使，必然要求都为0，即这是反因果序列第24-27页：每种序列ZT ROC形式证明不要求，但要求记住。第29页：利用ZT定义求下面序列的ZT，并获取ZT ROCl ：，极点为。由于该序列为左边序列，所以ROC为l ：，是因果有限长序列，l ：有两个极点：右边部分的极点，左边部分的极点这是双边序列，因此ROC为（由于，所以可保证）第30页：求下面序列的ZT，并获取ZT ROCl，有两个极点：，由于是右边序列，所以ROC为l，有两个极点：右边部分的极点为，左边部分的极点为，这是双边序列，所以ROC为2-3 z反变换第10页：推导求的公式因为：两边乘以，则：令，则：第11页：求的Z反变换令：，则可求得待定系数：所以根据ROC的形式，序列为右边序列，所以可得第13页：求的Z反变换由于M=N，所以会有一项常数项，先用长除法确定该常数项所以：所以：根据ROC的形式，可知序列为右边序列，因此：2-4 z变换的基本性质和定理第3页：线性组合序列的ZT ROC可能比交集大有时候两个序列的组合，会使得它们的ZT函数组合后产生一个新的零点，正好与函数的某个极点抵消，由于少了极点，使得ROC扩大。第4页：求的ZT，注意：由于新产生了一个零点，与极点抵消了，所以ROC不是两个序列ROC的交集，而是（实际该序列已经变成了一个有限长序列）第5页：证明ZT的时移性第6页：求的Z反变换由于，则第7页：证明乘以指数序列特性第8页：证明Z域求导第9页：求的Z反变换可得：，则所以： ，这里利用了时移性而根据求导性质，则，所以第10页：证明共轭性第11页：证明翻褶性第13页：证明ZT的时域卷积定理：第二个等号利用了ZT的线性，第三个等号利用了ZT的时移性质。第18页：分析系统的因果稳定性，当输入为时的输出可得：，根据系统函数的ROC：，且，可知ROC包含单位圆之外的所有区域，所以系统是因果稳定系统利用部分分式展开法可得：根据ROC，反变换序列为右边序列，则第21页：已知因果LTI系统差分方程，求系统函数和单位冲激响应；分析系统为稳定的条件解：对差分方程两边求ZT，得，可得系统函数为，由于是因果系统，所以ROC为，求反变换得单位冲激响应系统为稳定系统的条件是系统函数的ROC必须包含单位圆，则要求2-6 序列的DTFT第4页：证明序列DTFT的周期性第9页：求的DTFT注意：为什么相位谱图形在一些频率点处会出现不连续？因为在那些频率点，而在这个频率点左右附近，发生正负号的改变，导致相位有一个的跳变。第11页：推导DTFT的反变换第17页：求理想低通滤波器的IDTFT，即单位冲激响应第19页：求复指数序列的DTFT表示第三个等号利用了积分范围，只需取一个冲激。（周期序列的傅里叶表示更常用的是后面讲的DFS）第20页：，根据上面结论，可知2-7 DTFT的主要性质*大部分的证明与ZT的性质类似，这里就只列出部分第9页：证明DTFT的时域卷积定理第二个等号利用了DTFT的线性，第三个等号利用了DTFT的时移性。第16页：由频域卷积定理推导帕塞瓦定理由于，所以，令，则：第17页：利用帕塞瓦定理证明能量守恒定理帕塞瓦定理：令，则：第19页：求自相关函数的DTFT自相关函数由帕塞瓦定理可知：所以2-8 DTFT的一些对称性质第5页：证明DTFT的对称性第6页：证明实序列的DTFT为共轭对称的因为，因此1-4 连续时间信号的采样第10页：推导连续周期信号的两种FT形式（这是信号与系统的内容，复习一下）设连续时间周期信号的周期为，它的基波角频率为，可以把该信号分解为谐波复指数信号的线性组合：，称为傅里叶级数的系数，下面推导它的表达式为： （1）下面关键是利用谐波复指数信号的正交性，如下：第三个等号利用了因此，代入（1）式：连续时间周期信号的第二种傅里叶表示是：傅里叶变换，如下：证明如下：第4个等号利用了第11页：求周期冲激串的傅里叶变换好了，有了连续周期信号的两种FT表示：，对于周期冲激串，可得傅里叶级数的系数为：第二个等号是因为积分范围为，所以只取一个冲激，第三个等号利用了：因此，周期冲激串的FT为：由于周期冲激串的周期就是采样周期，所以基波频率，所以有第12页：求冲激串信号的FT第16-17页：分析冲激串FT与序列的DTFT关系直接用FT的定义，可得冲激串的FT为：而序列的DTFT为：由于，比较后，可知第21页：获取几个模拟角频率所对应的数字角频率第35页：推导由序列重建连续时间信号的公式先推导理想重建滤波器的单位冲激响应因此重建后的连续时间信号为：3-3 周期序列的离散傅里叶级数第13页：证明周期序列DFS的系数为 （1）下面证明谐波复指数序列的正交性：，（注意由于（1）式只考虑，所以这里不需考虑的情况）（分母不会是0）所以：代入（1）式可得：第21页：求的10点周期序列的DFS3-4 DFS的性质第3页：证明DFS的时移性第四个等号利用了序列的周期性。第4页：证明DFS的对偶性或者：，把符号k,n交换后，则，第5页：证明周期序列DFS翻摺性和共轭性第三个等号利用了序列的周期性对称性证明与DTFT的对称性证明相同第7页：证明周期卷积定理第二个等号利用了DFS的线性，第三个等号利用了DFS的时移性。3-5 DFT第26页：求的IDFS （1）(注意这里由于m可取范围为，不能只考虑n=m)(分母不为0)所以：代入（1）式，可得：第30页：由序列的N点DFT，即N个离散频谱重建出连续频谱第五个等号省略了几步，前面都有类似的步骤，比如本文档3-3第21页。第30页：DFT的变量k与其所对应的连续角频率之间的关系3-6 DFT的性质第6页：证明DFT的圆周移位性由DFT的定义可知：隐含着，所以有：第二个等号利用了DFS的时移性。第8页：证明DFT的对偶性第二个等号利用了DFS的对偶性。第13页：注意用作为的圆周翻摺的简写时，应该记住：，另外，这只是有些书中这样简写，正式的写法还是第16页：证明序列共轭和圆周翻摺的DFT第二个等号利用了共轭序列的DF