2013年高考函数客观压轴题的多解或妙解.doc

2013年高考函数客观压轴题的多解或妙解廖东明函数是高中数学的核心内容，它最能体现高中数学的综合性、灵活性高考试题中的函数客观压轴题，凝聚着命题者的智慧、独创性，也能淋漓尽致地考生综合运用知识和数学思想方法、新颖独到化难为易的解决问题的能力一、分段函数与含参不等式交融问题【例1】（2013年高考新课标全国卷I文第12题理第11题）已知若，则的取值范围是（ ）A B C D【分析】利用函数与的图象数形结合分类讨论求解；或者分类讨论将不等式的绝对值符号脱去并利用相关知识求解【解法1】（数形结合与分类讨论结合）的图象如图所示，为过原点的一条直线依题意，直线在函数的图象的下方或有公共点当时，显然不满足（即使很小，当正数充分大时，直线与的图象相交之后位于图象的上方）当时显然满足当时，找与（）相切的情形，联立消去得，由解得，数形结合知时满足条件综上，选D【解法2】（分类讨论与代数法结合）当时，不等式即，由二次函数知识知只需，即当时，不等式即，构造函数，则若，则，在上单调递增，满足条件若，则在上单调递增，在上单调递减，因此当（其中）时，即不满足综上，选D【点评】分类讨论与分段函数密切相伴，数形结合与藏图之式不分；以形助数、以数析形，在直观启迪、细微刻画中求解问题二、含参不等式存在性问题【例2】（2013年高考新课标全国卷II文第12题）若存在正数使成立，则的取值范围是（ ）A B C D【分析】由变形为，然后数形结合求解或转化为不等式“能成立”问题【解法1】不等式可变形为在同一平面直角坐标系中作出和的图象由题意，在区间上，直线有一部分要在曲线的下方，观察图象知，有，所以，选D【解法2】不等式可化为设（），由函数和都是增函数，所以在上单调递增，所以（），因此要存在正数使成立，只需【点评】不等式“能成立（存在）”与“恒成立”的求解方法都是转化法，一是转化为最值问题，常需要分离参数；二是转化为函数图象问题，常数形结合抓临界值来成立但是，不等式“能成立（存在）”与“恒成立”是有区别的，“能成立”只需要找到存在“一个或若干个”或满足条件的某个区间，而不是在指定的区间上都成立三、图形运动与函数交汇创新问题【例3】（2013年高考江西卷理第10题）如图，半径为的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点设的长为（），若从平行移动到，则函数的图象大致是（ ）【分析】本题主要考查函数建模、函数图象的变化，考查运动变化的观点以及观察、分析、判断、解决问题的能力本题函数解析式求解难度不大，可以通过求函数的解析式进而利用其导函数作出判定也可巧取几个特征值结合排除法求解，或增速的定性研究【解法1】（定量）由题意，正三角形的高为，边长为过点作边的垂线，于，于，则，所以，而，所以（）因为导数，且随的增大而增大，故选D【解法2】（特值）因为圆的半径为，所以的长（）等于圆弧所对的圆心角（角的单位：弧度）由题意，正三角形的高为，边长为当时，当时，排除选项B当，弦心距，直线向上平移了，的增加量应比小，排除选项A（增量等于）和选项C（增量大于），故选D【解法3】（定性）因为圆的半径为，所以的长（）等于圆弧所对的圆心角（角的单位：弧度）当向上平移相等的距离，的增加量也是相等的，但是的增加量却是不相等的，越往上越小因此，当匀速增加时，是加速增加的，排除选项A（匀速增加）、B（加速减小）、C（是减速增加），故选D【评注】图形运动问题常常集代数、几何于一体，设计一个或几个动态元素，然后建立函数模型来求解的综合问题此类问题，往往是命题者通过几何画板来构题由于是选择题，应遵循“小题小做”的原则，巧选几个特征值结合排除法是解决此类问题的上策特别是当函数解析式难求的时候，尤其要利用特征值去求解增速的定性研究要关注的意义四、含参函数与含参二次方程交融问题【例4】（2013年高考安微卷理第10题）已知函数有两个极值点若，则关于的方程的不同实根个数为（ ）A B C D【分析】与方程结构相同，所以，进而利用、的图象分、两种情形数形结合求解【解】依题意是方程的两个相异的实根，所以由方程可得或当为极大值点时，在和上单调递增，在上单调递减，可知与的图象有两个不同的交点（横坐标为），与的图象只有一个交点（横坐标为，），即方程的有个不同实根当为极大值点时，在和上单调递增，在上单调递减，可知与的图象有两个不同的交点（横坐标为），与的图象只有一个交点（横坐标为，），即方程的有个不同实根综上，选A【点评】发现与结构一致，把问题转化为求方程与的实根的个数，进而分类讨论和数形结合是解决本题的关键五、系数为的含参三次函数性质问题【例5】（2013年高考新课标全国卷II文第11题理第10题）已知函数，下列结论中错误的是（ ）A， B函数的图象是中心对称图形C若是的极小值点，则在区间单调递减D若是的极值点，则【分析】先排除D，然后抓住图象往两边延伸的情形及零点存在定理排除A；联想到函数（）是奇函数关于原点对称，作某种平移可得的图象，排除B熟知遇过的三次函数图象与性质，即知选项C中的结论错误【解】选项D中的结论显然正确因为三次函数中的系数为，所以当时，当时，的图象在上是连续曲线，根据零点存在定理可知选项A中的结论正确若是的极小值点，则必然还存在一个极大值点（），在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以选项C中的结论错误因为可以改写成的形式，它可以由奇函数的图象（关于原点对称）平移得到，所以它的图象关于点成中心对称，选项B中的结论正确（由比较系数法可以求出的对称中心为，本题不必求出）故选C【点评】函数若存在两个极值点（），则当时，在区间、上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间、上单调递减，在区间上单调递增注意：当充分大时，的威力“巨大”，与的威力显得“苍白”六、含参函数的字母极值点处的极值范围问题【例6】（2013年高考湖北卷理第10题）已知为常数，函数有两个极值点（），则（ ）A， B，C， D，【分析】易得，要确定在、上的值的符号（是正数还是负数），难度很大令得到，数形结合，从动直线（恒过定点）与曲线相切到相交，观察图象来确定，则可化难为易【解】，由题意（）是方程的两个根当直线与曲线相切时，设切点为，则切线方程为，即，则，解得，切点为要使直线（恒过定点）与函数的图象有两个不同的交点，则要从切线位置处顺时针旋转且不能到达与轴平行的位置，所以，于是、随的变化如下表：极小值极大值所以，（或者注意到，所以因为，所以令（），则，在上单调递增，所以），故选D【点评】本解法利用假设相切法和动直线运动法来推断极值点与某一常数的关系及参数的取值范围，经典而独到；令，利用两图象（含参图象虽然会变，但是参数一旦确定即随之确定）的位置关系（谁在上谁在下）来判断在单调区间上的值的符号，别开生面，当解（或）遇到不可跨越的坎时，这种解法就上升为通法了七、高斯函数问题【例7】（2013年高考陕西卷理第10题）设表示不大于的最大整数，则对于任意实数，有（ ）A B C D【分析】本题主要考查新定义问题的探究方法，借助取整函数的意义，取特殊值进行判断结论正确，需要给出证明；找到一个反例即可否定结论的正确性【解】，排除选项A；取，则，排除选项B；取，则，排除选项C由四个选项中有一个正确，故选D事实上，从而，当时，当，D正确【点评】本题新定义的函数为取整函数，也叫高斯函数高斯函数具有如下常见性质：的定义域为，值域为；，；设，则；若，则；，；高斯函数是高考的一个热点，也是高中数学联赛的一个热点八、含参函数在给定区间上为增函数求参数范围问题【例8】（2013年高考大纲全国卷理第9题）若函数在是增函数，则的取值范围是（ ）A B C D【分析】利用导数转化为不等式恒成立问题；也可将函数分解为一个二次函数和一个双钩函数（，），进而利用相关知识求解【解法1】（导数法），因为函数在是增函数，所以即在上恒成立设函数，则在是减函数，所以，选D【解法2】（巧用二次函数与双钩函数），二次函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为；双钩函数在上单调区间的分界点为因为函数在是增函数，所以且，即且，进而得到，选D【点评】二次函数和双钩函数的单调区间的分界点都有公式可套，联想到它们的函数图象的形状，结合“增函数增函数增函数”，即可萌生解法2这种存创造性的解法九、给轴含参函数的最大值问题【例9】（2013年高考新课标全国卷I第16题）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为_【分析】轴为转化为，然后巧赋值构建方程组求参数；求最大值时，或利用导数，或利用轴的性质作换元后配方求解【解法1】依题意，函数满足所以，即解得，所以，由序轴标根法知在区间、上为正数，在、上为负数，所以和均为极大值点，也是最大值点，【解法2】同解法1得到令，则，仅当即时，取得最大值十、复杂函数方程与三角函数交汇问题【例10】（2013年高考四川卷第10题）设函数（，为自然对数的底数）若曲线上存在点使得，则的取值范围是（ ）A B C D【分析】透彻理解转化为是解题的切入点，由及得出是一种