平均变化率教学设计

变化率问题变化率问题 教学设计教学设计 兰炼二中高二数学组兰炼二中高二数学组 柴静柴静 一一 内容和内容解析内容和内容解析 1 内容 平均变化率的概念及其求法 2 地位和作用 导数及其应用 在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的 它 既是对函数知识的补充和完善 通过本章的学习 使学生对变量数学的思想方法有新的感悟 促进学生全面认识数学的价值 应用价值 科学价值 文化价值 从而进一步发展学生的 数学思维能力 新课标对 导数及其应用 内容的处理有了较大的变化 它不介绍极限的形式化定义及 相关知识 也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限 一种 规则 来学习的处理 方式 而是按照 平均变化率 瞬时变化率 导数的概念 导数的几何意义这样的顺序来安 排 用 逼近 的方法定义导数 这种概念建立的方式形象 直观 生动又容易理解 突出 了导数概念的本质 平均变化率是是本章的一个重要的基本概念 本节课是 导数及其应用 的起始课 对导数概念的形成起着奠基作用 二二 目标和目标解析目标和目标解析 1 通过丰富的实例 让学生经历平均变化率概念的形成过程 体会平均变化率是刻画变 量变化快慢程度的一种数学模型 2 理解平均变化率的概念 了解平均变化率的几何意义 会计算函数在某个区间上的平 均变化率 3 感受数学模型在刻画客观世界的作用 进一步领会变量数学的思想 提高分析问题 解决问题的能力 三三 教学重点 难点教学重点 难点 教学重点 平均变化率概念 教学难点 平均变化率概念的形成过程 四四 教学问题诊断分析教学问题诊断分析 吹气球是很多人具有的生活经验 温度变化是学生非常熟悉的现实感受 这两个实例的 共同点是背景简单 从简单的背景出发 既可以利用学生原有的知识经验 又可以减少因为 背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰 这是有利的方面 但是如何从具体实例中 抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键 五五 教学方法与教学手段教学方法与教学手段 1 启发式教学与探究式学习相结合 通过生活中的实例 引导学生分析和归纳 让学生 在已有认知结构的基础上建构新知识 从而达到概念的自然形成 进而从数学的外部到数学 的内部 启发学生运用概念探究新问题 这样学生不会感到突兀 并能进一步感受到数学来 源于生活 生活中处处蕴含着数学化的知识 同时可以提高他们学习数学的主观能动性 2 教师在教学中应用 发现式教学模式发现式教学模式 创设情境 提出问题 组织交流 鼓励猜想 引导论证 运用结论 3 利用多媒体辅助教学 突出重点 突破难点 提高教学效率 六六 教学过程设计教学过程设计 问题情境 感受概念问题情境 感受概念 情境情境 1 1 甲 乙投入相同的资金 经营同一种商品 甲挣到 10 万元 乙挣到 2 万元 你能评 价甲 乙两人的经营成果 20 3034 2 10 20 30 A 1 3 5 B 32 18 6 0 C 34 33 4 210 T t d 20 3034 2 10 20 30 A 1 3 5 B 32 18 6 0 C 34 33 4 210 T 20 3034 2 10 20 30 A 1 3 5 B 32 18 6 0 C 34 33 4 210 20 3034 2 10 20 30 A 1 3 5 B 32 18 6 0 C 34 33 4 210 T t d 2 甲 乙投入相同的资金 经营同一种商品 甲用 5 年时间挣到 10 万元 乙用 5 个月 时间挣到 2 万元 你能比较和评价甲 乙两人的经营成果 设计意图设计意图 使学生了解生活中的变化率问题 为归纳函数平均变化率提供更多的实际背 景 师生活动师生活动 稍加点拨 继续引导学生举出生活中的变化率问题 情境情境 2 大家可能都有过吹气球的回忆 在吹气球的过程中 可以发现 随着气球内空气容量的增 加 气球的半径增加越来越慢 从数学角度 如何描述这种现象呢 设计意图设计意图 让学生吹气球 可以增加课堂气氛 同时对一种生活现象的数学解析 可以 激发学生深入探究的兴趣 而且让学生感到数学是有用的 师生活动师生活动 由球的体积公式推导半径关于体积的函数解析式 然后通过计算 用数据来 回答问题 解释上述现象 让学生充分思考 讨论 体会把通俗语言转化为数学语言 用数 字说明问题的过程 思考 当空气容量从 V1增加到 V2时 气球的平均膨胀率是多少 12 12 VV VrVr 设计意图设计意图 把情境 2 中的具体数据运算提升到一般的字母表示 体现从特殊到一般的 数学思想 为引出平均变化率概念作铺垫 师生活动师生活动 教师播放多媒体 学生可以直接回答问题 教师板书其正确答案 情境情境 3 兰州市 2012 年 5 月和 6 月某天日最高气温记载如下列图表所示 时间 t d 5 月 18 日6 月 18 日6 月 20 日 日最高气温 T 3 5 18 6 33 4 问题 1 你能说出 A B C 三点的坐标所表示意义吗 问题 2 分别计算 AB BC 段温差 结论 气温差不能反映气温变化的快慢程度 问题 3 如何 量化 数学化 曲线上升的陡峭程度 设计意图设计意图 通过熟悉的生活体验 提炼出数学模型 从而为归纳函数平均变化率概念提 供具体背景 同时使学生逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法 师生活动师生活动 学生分组讨论 派代表回答问题 通过比较气温在区间 1 32 上的变化率 0 5 与气温 32 34 上的变化率 7 4 感知曲线陡峭程度的量化 建立模型 形成概念建立模型 形成概念 如果将上述气温曲线看成是函数 y f x 的图象 问题 1 函数 y f x 在区 1 34 上的平均变化率是什么 问题 2 函数 y f x 在区间 1 x1 上的平均变化率是什么 问题 3 函数 y f x 在区间 x2 34 上的平均变化率是什么 设计意图设计意图 体现从特殊到一般的数学思想 为归纳函数平均变化率概念作铺垫 师生活动师生活动 教师播放多媒体 学生分组讨论回答 思考 1 你能给出函数 f x 在区间 x1 x2 上平均变化率的定义吗 定义 定义 函数 f x 在区间 x1 x2 上平均变化率为 21 21 f xf x xx 设计意图设计意图 归纳概念的过程 体现了从特殊到一般的数学思想 师生活动师生活动 学生回答 教师板书 思考 2 1 的符号是怎样的 2 平均变化率有哪些变式 其中令 则 设计意图设计意图 加深对概念内涵的理解 师生活动师生活动 教师播放多媒体 师生共同讨论得出结果 思考 3 观察函数的图象平均变化率表示什么 直线直线 AB 的斜率的斜率 平均变化率的几何意义几何意义就是函数 f x 图象上两点 x1 f x1 x2 f x2 所在直线的斜率 设计意图设计意图 从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义 体现数形结合 的数学思想 探究活动 感悟概念探究活动 感悟概念 活动 1 试举出生活中与平均变化率有关的例子 活动 2 例 1 下图是我女儿吃完退烧药的体温变化曲线 比较时间 x 从 0min 到 20min 和从 20min 到 30min 体温的变化情况 哪段时间体温变化较快 x1x2 O y y f x f x1 f x2 x x2 x1 y f x2 f x1 x 如何刻画体温变化的快慢 分析 分析 根据图像可以看出 当时间x从 0min 到 20min 时 体温y从 39 变为 38 5 下降了 0 5 当时间x从 20min 到 30min 时 体温y从 38 5 变为 38 下降了 0 5 两段时间下降相同的温度 而后一段时间比前一段时间短 所以后一段时间的体温比前 一段时间下降得快 我们也可以比较在这两段时间中 单位时间内体温的平均变化量 于是当时间x从 0min 到 20min 时 体温y相对于时间x的平均变化率为 min 025 0 20 5 0 020 39 5 38 当时间x从 20min 到 30min 时 体温y相对于时间x的平均变化率为 min 05 0 10 5 0 2030 5 3838 这里出现了负号 它表示体温下降了 显然 绝对值越大 下降的越快 这里体温从 20min 到 30min 这段时间下降的比 0min 到 20min 这段时间要快 例题讲解 运用概念例题讲解 运用概念 例 2 分别计算函数 f x 2 f x 2x 1 在区间 1 2 的平均变化率 想一想 一次函数 y kx b k 0 在区间 m n 上的平均变化率有什么特点 设计意图设计意图 概念的简单应用 体现了由易到难 由特殊到一般的数学思想 符合学生的 认知规律 师生活动师生活动 教师适当点拨 学生口答 1 1 3 2 上的平均变化率在区间求函数例 xxf 1 1 2 的平均变化率在区间求函数变式一xxxf 1 2 2 1 3 0 1 4 0 01 5 0 001x 变式二若其中的的值为 其函数的平均变化率又为多少 设计意图设计意图 进一步加深对概念的理解 突出求平均变化率的一般步骤 从课堂活动到例 题 体现了由易到难 由特殊到一般的数学思想 师生活动师生活动 教师板书 并引导学生归纳求平均变化率的一般步骤 回顾反思 理解概念回顾反思 理解概念 今天你学到了什么今天你学到了什么 一 平均变化率的定义 函数在区间 x1 x2 上的平均变化率为 f x 21 21 f xf x xx 二 平均变化率的几何意义 函数 f x 图象上两点 x1 f x1 x2 f x2 所在直线的斜率 三 平均变化率是曲线陡峭程度的 数量化 曲线陡峭程度是平均变化率 视觉化 设计意图设计意图 复习重点知识 思想方法 完善学生的认知结构 师生活动师生活动 最后师生共同归纳总结 函数平均变化率的概念 几何意义 求函数平均变 化率的一般步骤 主要的数学思想有 从特殊到一般 数形结合 七七 目标检测