数学建模——方型烤箱上平底锅最优设计资料.doc

方型烤箱上平底锅最优设计摘要本文建立了基于不同形状下平底锅的热量分布模型，然后计算出它们的热平均度并结合各种形状的平底锅与烤箱本身的搭配是否能实现最大的利用率，从而选择出最优的平底锅形状。模型主要涉及的数学软件有EXCEL、MATLAB。对于问题一的研究，我们根据热学的基本理论，考虑到热传递可以分成热辐射、热传导和热对流这三种形式，因此这里我们对热传递的每种方式分开考虑，然后分别给出热量分布模型。通过MATLAB里的PDE Toolbox，我们模拟出了不同形状的平底锅在烤箱内的热量分布情况，并根据所模拟出来的热量分布图进行图像变化分析以及图中数据的提取，接着又对所得的数据进行更深层次的分析，从而得出正多边形的平底锅随着边数的递增，温度方差会渐渐地变小，热量分布也会逐渐趋于均匀的结论。而对于问题二，首先根据问题一的模型，可以直接得到不同形状下平底锅热平均度的结果，然后再根据题目给出的方形烤箱的宽长比，我们计算出各种平底锅在该烤箱内能够摆放的最大数量。虽然平底锅的面积恒定，但由于形状的差异而造成了在烤箱内的空间利用率有所不同，摆放的数量也会因此而产生变化，因此在这一过程中我们对摆放方式展开了分类讨论，同时还对个别正多边形存在的多种排列方式也进行了详细的讨论。基于前面的过程，再通过层次分析法，将平底锅的热平均度和在烤箱内的摆放数量这两个因素作为准则层构造判断矩阵，计算出每种平底锅的权重值，最后依据权重的大小选择出平底锅最好的形状是正六边形。针对问题三，根据问题一和问题二的结果，结合平底锅的热平均度和烤箱的空间利用率这两个影响因素，选出最优的平底锅形状为正六边形，然后对我们的模型结果进行推广，设计了一份关于正六边形平底锅的宣传广告。最后，对模型进行误差分析，提出了模型优化的方向。此外，文中第二问中构造的层次分析模型均进行了一致性检验，保证了结果的准确性。关键词：热传递；热平均度；层次分析法22一、问题重述在一个方形的大烤箱上，放上多个平底锅。如果这些平底锅是方形的，那在烤饼时，热量会集中在四个角上，导致食物的四个角先被烤焦，而同时边上因受热不足却没熟透。如果这些平底锅是圆形的，则整个边沿受热都会均衡，烤的效果会很理想。但是，现行使用的大部分的烤箱都是方形的，用圆形平底锅在烤箱内烤东西的话空间利用率会很低。因此，考虑以下几个问题并建立数学模型解决它们。问题一：建立一个模型，分析不同形状的平底锅，例如圆形、方形或者圆跟方之间其他的任意变形，烤东西时的热量分布情况。问题二：在以下条件下，建立一个模型来选择最好的平底锅形状：条件1. 能在烤箱上放最多的平底锅；条件2. 使热量分布的均匀程度最大化；条件3. 最好地结合条件1和条件2，假设两条件分别占权重记为和，请分析最优选择结果是如何随烤箱的宽长比及权重的变化而变化的。问题三：以美食杂志社身份设计宣传广告，并说明设计理念和结果。二、问题分析问题一属于经典的热传递问题，根据热学的基本理论，热传递主要有3种方式：热辐射、热传导和热对流。对于解决此类问题一般用MATLAB软件PDE工具箱进行求解，这里我们可以对热传递的每种方式分开考虑，然后分别给出热量分布模型。对于问题二，在问题一的模型基础上，可以先对不同形状的平底锅在烤箱内的热量分布情况进行简化，得到它们边缘热量的热平均度，然后将结果呈现出来。接着再对不同形状下的平底锅在烤箱内能够摆放的数量进行建模，可以通过简化模型的一些条件来达到模型的普遍适用性。由于需要确定最好的平底锅形状是受热平均度和摆放数量这两个条件限制的，基于前面的过程，我们可以再通过层次分析法对于如何选择最好形状的平底锅这一问题进行深入的研究。经过问题一和问题二的建模过程，考虑选择何种形状的平底锅是最合适的，然后给出设计思路和原因。三、基本假设假设一：烤箱是一个宽长之比值为的方形烤箱；假设二：每个平底锅的面积都相同，记为，且面积不随形状的变化而变化；假设三：左右两个底座架子水平地支撑着大型烤箱，烤箱面板的各处受热均匀；假设四：锅的材料是均匀和出现物理学各向同性；假设五：侧墙的厚度和锅底可以忽略不计；假设六：平底锅都是用金属制作的，导热性良好；假设七：预热持续时间很短，可以忽略不计；假设八：当烘烤温度达到和保持在一个稳定的水平，平底锅的高度可以忽略不计。四、定义与符号说明符号含义温度内热源材质密度比热容热传导系数热对流系数外界温度已知各面的法向热流密度外法线的方向五、模型的建立与求解5.1问题一的模型在烤箱中可以对各种不同形状的平底锅进行烧烤，根据热学的基本理论，热传递主要有3种方式：热辐射、热传导1和热对流。而在本模型的烤箱中，由于没有风扇，箱内空气的热对流情况只出现在平底锅金属材料之间的热传导过程中，因此我们可以不单独考虑这一情况对平底锅热量分布的影响，而是将热对流情况综合到热传导过程进行分析。下面我们分别对热辐射和热传导方式下不同形状平底锅的热量分布情况展开具体研究。5.1.1 热辐射导致的温度差异当只研究热辐射对平底锅烧烤时的热量分布情况，我们了解到热辐射的发射率和吸收率有空间方向的特性，这表明辐射传热与几何形状、大小以及相对位置有关，而这些因素常常用角系数来考虑。图1 辐射传热示意图在了解角系数之前，我们已经知道了投入辐射以及有效辐射，因而角系数的概念为有两个表面，编号分别为1和2，其间充满透明介质，则表面1对表面2的角系数是：表面1直接投射到表面2上的能量，占表面1辐射能量的百分比，即。由于角系数具有归一性：，因此，可以用角系数来表征能量的分布规律，给定相同的比热容，如图1，可知温度的分布规律为：。当时，。当时，。当时，。其中。这里我们借助MATLAB软件中的PDE Toolbox3可以直接得到平底锅边缘的温度分布情况如下所示。图2 平底锅边缘温度分布情况图5.1.2 热传导造成温度差异的修正在研究不同形状的平底锅的热量分布情况时，主要研究的是金属平底锅的热传导过程，这是因为在大部分温度可控的烤箱内，里面的气体温度可以保持恒定，从而造成食物边缘的不均匀热量主要是来自于金属平底锅。不同金属平底锅的热流示意图如下：图3 矩形平底锅热流示意图 图4 圆形平底锅热流示意图 如图3所示，矩形平底锅在烤箱内每个角落均受到了来自三个方向的热量，它不同于长方体的其他平坦面，在这里只从一个方向向外传递，并且有足够的空间将热量传递给热而升温的内部部分。而这几个角从三个方向升温而来的热量大多数还是积聚在此，由于缺乏开放的空间，故很难很快地扩散出去。因此，整个矩形平底锅的热量分布不均匀，且四个角的温度会高于其他部分的温度。因此，在平时生活中，我们易看到人们在用方形平底锅来烤饼时，烤出的食物其四个角会先被烤焦，与此同时，边上的部分却因受热不足而没有熟透。 如图4所示，圆形平底锅的边缘温度之所以保持平稳，是因为它的底面和平坦的弯曲侧面上都只从一个方向加热，它们都拥有足够开放的空间，从而将热量传递到里面的其它部分，使温度保持在有目标水平的边缘温度上。因此，热量将被均匀地分布在整个平底锅的外缘，温度不够高不足以将食物给烤焦掉。下面我们根据热传导方程对不同形状的平底锅的热量分布情况进行深入研究。由于恒温箱中平底锅各个面所接收的热流密度相同，因此，平底锅中热分布不均是平底锅与空气之间的热对流和平底锅金属材料之间的热传导造成的。根据热传导方程：，其中，表示温度，表示内热源，表示材质密度，表示比热容，表示热传导系数。在热传导过程达到稳态时，温度不再改变，故，由此可得含热对流因素、无内热源的稳态热传递方程为。其中表示热对流系数，表示外界温度。如果仅考虑平底锅底面受热，忽略平底锅侧面，则平底锅表面的热分布将会平均。因此，平底锅热分布不均主要是侧面接收的热量向底面传导造成的，故可将三维热传递模型近似简化为如下的二维平面热传递模型：。其中表示为已知各面的法向热流密度，为外法线的方向。对于二维热传递模型的稳态解可以利用有限元分析法2来求解。有限元分析法的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解，它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替，其中的有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。相比于其它求解边值问题，有限元求解法的基本步骤是相类似的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为： 第一步，问题及求解域定义。根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。 第二步，求解域离散化。将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。 第三步，确定状态变量及控制方法。一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。 第四步，单元推导。对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。 第五步，总装求解。将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。 第六步，联立方程组求解和结果解释。有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。 简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。本文将针对有限元分析法的精髓，并借助MATLAB提供的PDETool的工具箱，来求解二维热传导模型的数值解。为了能很好地反映矩形、圆形以及正多边形等其它各种形状的热分布情况，我们特地对其进行比较，以某特殊实验材料制作的正方形平底锅为各项测试的标准状态，其中正方形平底锅的各项参数及边界条件如下表所示：表1 标准状态下各项参数设置表物理量参数值通过MATLAB的PDETool的工具箱，我们可得到如下的结果： 图5 正方形平底锅模型温度分布三维示意图 图6 正方形平底锅边缘温度曲线图由上述两图可知，平底锅的四周温度偏高，中心温度最低，边缘温度变化比较明显。等面积圆形平底锅的温度分布三维示意图如下图所示：图7 圆形平底锅模型温度分布三维示意图相对于正方形平底锅的温度分布示意图，我们可发现在温度的大小上，圆形平底锅的最大值要小于标准值，最小值也要大于正方形平底锅的最小值，可知圆形平底锅的温度热量分布变化趋势比较缓慢。而且相比于边缘温度易变的正方形平底锅，圆形平底锅沿边缘温度分布均匀，大多都集中在373-374T之间，且中间的温度较低，呈现着与方形平底锅相类似的热量分布。现保持面积不变，以正方形为基准，将正多边形的边数增大，在此以正六边形为例，可得出以下几个基本图形，其余图形请见附录。图8 正六边形平底锅模型温度分布三维示意 图9 正六边形平底锅边缘温度曲线图这里我们将上述图像的边缘温度曲线一一地拟合出来，并经过MARLAB程序的拟合，将这些曲线都画到同一幅图当中，现以两条曲线为例，将其统一到同一幅当中去。假设现在有两条已画出的边缘温度曲线，并将它们保存为A.fig和B.fig，那么我们可借助MATLAB的程序，将A、B两个文件打开；再将A图中的两条坐标轴的数据拷贝出去，保存起来，关掉A图后，在B曲线原有的基础上添加A的数据，就可以在B图中画出A曲线，再进行比较就可以得出想要的相应结论了。具体的程序请见附录，结果如下所示： 图10 边缘温度曲线图然后，我们将上面两条拟合曲线合并到同一个图像中，如下图所示：图11 两条拟合曲线合并示意图当想要合并的拟合曲线较多时，也可采用相类似的办法。从而我们可以得到当面积保持不变时，将正多边形的边数增大，并使之趋近于圆形时的总体边缘温度曲线的变化规律，具体图形如下所示：图12 不同形状平底锅的边缘温度曲线图从上到下依次为正方形到n很大的正多边形的边缘温度曲线图，从中可以看到，边缘热分布成抛物线形式，且随着正多边形边数的增加，温度会逐渐平均，方差会渐渐地变小。 5.2问题二的模型5.2.1 边数与热平均度根据模型一的结果，我们计算出不同形状的平底锅的温度方差，并用它们的边缘温度方差代表热平均度，具体结果如下表所示：表2 不同多边形平底锅温度方差表正多边形边数整体温度方差边缘温度方差44.32362.291853.24380.695962.89230.341672.73420.171682.61590.0961102.50890.0535122.47380.0347142.41550.0090162.37540.0057（圆）1.00410.00005.2.2 边数与数量已知烤箱的宽长的比例为，即设宽为,长为，同时烤盘的面积是恒定的为。为了在烤箱上摆放更多的烤盘，现在就对烤盘的形状及其摆放的数量进行分类讨论。这里我们设烤盘的边长为，得到正多边形的面积通用公式为。其中n表示边长数，N为摆放的数目。1.正四边形图13 正四边形摆放示意图根据正四边形的摆放方式，我们可以得出烤箱内可以摆放该形状的平底锅的最大数量为。2.正五边形图14 正五边形摆放示意图根据正五边形的摆放方式，然后得到烤箱内可以摆放该形状的平底锅的最大数量为。3.正六边形对于六边形的摆放方式，这里我们将它分成两种情况进行考虑。 图15 正五边形摆放示意图（其一） 图16 正五边形摆放示意图（其二）根据图15的摆放方式，我们可以得到它的摆放数量为，再根据图16的摆放方式，我们得到该情况下的摆放数量应该是。4.正八边形 对于正八边形摆放的研究，依旧存在两种摆放情况：图17 正八边形摆放示意图（其一） 图18 正八边形摆放示意图（其二）根据图17的摆放方式，计算出摆放的最大数量为，然后根据图18的摆放，得到该情况下的摆放数量。下面我们依次对正多边形继续进行研究讨论，从而可得它们的摆放数量分别为：，。然后我们再对圆形进行另外的讨论，这里设圆的半径为R，同时面积是固定的图19 圆形的摆放示意图根据上图对圆形平底锅的摆放方式，我们可以得到该方式下的摆放数量为。最后，综合以上的结果，并对有多种排列图的正多边形，我们选择最优的数据汇总成边数-数量的表格如下：表3 边数与摆放数量的关系表边数n数量N45678101214（圆）5.2.3 层次分析模型由于需要确定最好的平底锅形状是受热平均度和摆放数量这两个条件限制的，基于前面的过程，我们需要对于如何选择最好形状的平底锅这一问题进行深入的研究。而在此情况下，层次分析法能得到很好的应用。层次分析法是是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法，它的思路主要体现在分层上，从最底层开始分析各层对上一层的权重，一直到目标层，最后才综合得出最底层对目标层的总权重，从而能达到我们的预定目标。现在根据选择平底锅的多种形状及两个准则，通过层次分析模型（AHP）4，建立了三个层：平底锅形状的最优选择(目标层)、数量和热平均值（准则层）、正多边形平底锅的边数（方案层），具体的分层结构图如下所示：方案层平底锅最优选择热平均值数量正方形正五边形正六边形目标层准则层 圆图20 层次结构图构造层次分析模型的建立具体应该包括以下几个过程：.构造判断矩阵。判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性。其形式如下：，其中表示对上一层A层而言，该B层中因素对的相对重要程度。在这里，我们通常可以使用1-9尺度来方便地表示它，具体含义如下表。表4 1-9尺度的含义尺度含义1C与C的影响相同3C比C的影响稍强5C比C的影响强7C比C的影响明显的强9C比C的影响绝对的强2,4,6,8C与C的影响之比在上述两个相邻等级之间1,1/2，,1/9C与C的影响之比为上面a的互反数针对本文中的问题二，通过以上的步骤建立模型之后，由于准则层相对于目标层的比重已给出，其中平底锅的数量对目标层的权重为p，且平底锅的热平均值相对于目标层的权重为1-p。据于此，本文用成对比较法和1-9比较尺度对层次结构模型中的方案层对于上一层中的热平均值准则建立的9*9成对比矩阵为。.进行层次单排序和一致性检测。采用和法计算准则层的因素相对于目标层的层次单排序。首先，对的每一列向量归一化，得到对按行求和得：，其次，将归一化得，最后，计算矩阵的最大特征根 其中表示向量的第个元素。此外，还需要计算一致性指标：，其中。这里RI为平均随机一致性指标，当CR0.1，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当调整。.进行层次总排序。需要将计算出来的层次单排序再次进行适当计算。假设层次结构模型是由目标层(A)、准则层(B)和方案层(C)所组成，准则层有2个因素，方案层有9个因素。已知B层对A层的层次单排序为： ，则以为列向量构成矩阵， C层对B层的准则Bk的层次单排序为： 同时，C层各方案对A层的层次总排序的方法为：更一般地，若共有s层，则第k层对第1层（设只有1个因素）的组合权向量，即层次总排序满足其中 其中是以第k层对第k-1的权向量为列向量组成的矩阵，于是最下层（第s层）对最上层的层次总排序为再根据上面的步骤进行逐步计算，通过MATLAB软件，可以得到多种正多边形相对于准则层各准则的权重为：表5 权重表矩阵权重向量CIRICR9.39980.05001.450.03459.37380.04671.450.0322 又已知准则层相对于目标层的排序为，所以可得方案层相对于目标层的排序向量为。IV组合一致性检验。我们可以逐层进行组合一致性检验，若第p层的一致性的指标为（n是第p-1层因素的数目），随机一致性指标为。定义，则第p层的组合一致性比率为。同时，第p层通过组合一致性检验的条件为从而最下层（第s层）对第1层的组合一致性比率为。当且仅当适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验。我们对上述结果进行组合一致性检验。因为已知准则层对目标层的权重，并且通过检验。 而在第3层中，有，从而有。均通过检验。最下层（第3层）对第1层的组合一致性比率为。因此组合一致性检验通过，前面得到的组合权向量W可作为最终决策选择平底锅形状时的重要依据。图21 不同正多边形的权重图上图是方案层的9个正多边形（包括圆）对目标层所占权重的函数示意图，其中x轴表示p值，即所放平底锅的数量占目标选择的权重。在上述9条函数线中，我们可知权重最大的只有粗红线和粗蓝线，而它们分别代表着圆形及正六边形。经计算可求得，它们相交于（0.5730，0.1829），故有如下的结论：当p值小于0.5730时，圆形平底锅是最佳的选择，反之，正六边形平底锅才是我们应该要选择的平底锅。5.3问题三平底锅也能如此疯狂你见过这么奇形怪状的平底锅吗？你知道平底锅也可以有着独特的个性吗？你知道平底锅也可以美观又实用吗？这就是我们今天要推出的正六边形平底锅，有了它，生活可以变得 so easy！1. 增加你的个人魅力一款造型别致的平底锅不仅可以烹饪出美味的食物，更可以凸显主人与众不同的时尚眼光。除了是一名优秀的家庭厨师，你还可以是一名走在潮流前列的时尚达人。2. 让食物更美味正六边形的平底锅，比一般的方形平底锅受热更加均匀，因此，用它更能发掘出每种食材本身的味道，而且完全不用担心食物会被烤焦。3. 让生活更节能这款平底锅实现了空间利用率的优化，每个烤箱一次可以放置更多的这种平底锅，既省时又省电，完全是一次全新的节能之旅。这么一款吸人眼球又好处多多的平底锅，还等什么，赶紧来体验一下吧！六、模型的误差分析本文的模型二中对于计算不同多边形平底锅在给定方形烤盘内的最多摆放数量的时候，对多边形摆放问题进行了简化，在对于五边形和六边形摆放上只分别考虑了两种摆放方式，没有对其他可能的摆放和排列形式进行更多的探究。而且对于边数大于7的正多边形，我们都只考虑了一种摆放方式，也就是传统的直接排列的方式。而对多边形摆放方式这一问题的简化，可能会影响关于最优平底锅形状的选择。因此