2.4.1抛物线的标准方程

立足概念新课，培养核心素养“抛物线的标准方程”的课堂实录与思考无锡市第一女子中学 王剑 214001一、背景章建跃教授提出，数学教学应当立足三点，即“理解数学”、“理解学生”、“理解教学”，以培养学生的核心素养为教学的最终目的数学核心素养，通俗地讲，即数学学习活动结束后，除了知识以外的如理性思维、逻辑推理、严谨证明等意识和能力本文试着从教学设计和教学过程的维度，通过对抛物线的标准方程这节概念课，思考数学核心素养的培养本节课是笔者参加无锡市第一女子中学青年教师赛课活动所开设的一节公开课，从备课到洗课四易此稿，积累了不少经验，备课组中欧凯老师、王玥老师和赵倩老师给予了很多指导，从课题的确定、引入、新知识的讲练方式一一进行分析，公开课结束后，天一中学特级教师何志奇和数学组组长吴涛老师又做了精彩点评，笔者受益颇多，在次一并表示感谢现将课堂实录和思考整理成文，不当之处，敬请批评指正二、教学准备（一）教材分析抛物线是圆锥曲线中学习完椭圆、双曲线后的第三部分内容，高考中作为B级要求，本节课是抛物线的第一节课，即构建和运用抛物线的标准方程，从内容上将相对比较简单，所以从知识与技能上提出了适合学生的具体要求（二）教学目标1知识与技能：理解抛物线的定义，明确焦点、准线的概念；了解用抛物线的定义推导开口向右的抛物线的标准方程的推导过程，进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程；熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系2过程与方法：采用问题驱动的教学方式促使学生主动思考；让学生经历完整的建系、推导得到标准方程的过程，有助于其知识的内化；通过例题渗透数形结合和分类讨论的思想方法3情感态度价值观：让学生体验数学知识的建构过程，减少学生对于概念推理的畏难情绪；培养学生类比推理能力和归纳总结的能力三维目标的设定保证了学生的主体地位，变“带着知识走向学生”为“带着学生走向知识”，让学生通过小组合作学习充分建构、了解标准方程的形成，进一步熟悉构建轨迹方程的一般思路，通过第二次探究，让学生说出其他三种标准方程形式及其所对应的焦点坐标、准线方程、开口方向之间的关系，让学生充分发表意见（三）学情分析学生对象为无锡市第一女子中学高二文科女生，学生之间层次鲜明，后进生居多，所以在教学设计中，需始终兼顾后进生，在设计教学的题量和难度上尽可能“贴地而行”，但是对于有要求的好学生，需要给她们 “跳一跳”的发展（最近发展区），所以在本节课中，我的一个设想就是让学生在探究活动中，由学生充分发表意见，彼此共同进步，后进生在课堂中能够听到来自同学的声音，消除对数学学习枯燥无味的想法，积极主动地参与进来，好学生则需要进过缜密的思考才能获得结果，在总结和发言阶段培养其概括能力和表达能力女生的发散思维能力较弱，尤其是在引证举例方面尤为不足，本节课开始让学生通过生活中的抛物线举例，学生可能会由我的篮球想到乒乓、实心球等，如何拓宽她们的知识面和引导学生发现生活中的很多数学形状与轨迹是需要不断渗透的，本节课开始的赵州桥拱圈、喷泉水柱轨迹、探照灯轴截面都是生活中随处可见的事物，通过图片引入，一两分钟时间联系实际能够让学生有发现抛物线的意识是非常好的，也是后面教学活动中很多实际简答题中的数学模型，为后面进一步地学习做好铺垫学情分析的说明：学情分析是教学设计系统中“影响学习系统最终设计”的重要因素之一。依据教学设计理论，认真研究学生的实际需要、能力水平和认知倾向，“为学习者设计教学”，优化教学过程，可以更有效地达成教学目标，提高教学效率本节课就是抱着这一理念，以问题驱动式的教学方式进行设计，学生能够充分发表意见，得到结论三、课堂实录及评析（一）温故知新，联系实际，做好铺垫以初中阶段重点学习的二次函数为例，通过对二次函数图象的回顾，引出学生对抛物线的固有认识，通过对二次项系数的分类，也为后面学习过程中如何区分开口方向的做了铺垫随后通过篮球在空中的轨迹这一实例联系生活中其他例子，学生能够很好地体会抛物线的应用，并通过赵州桥拱圈、喷泉水柱轨迹、探照灯轴截面的图片给出，直观地展现了抛物线的其他用途，也为后面应用问题的数学模型建立做了铺垫（二）教师引导，学生主体，建构数学学生在圆锥曲线的第一节课时已经学习了抛物线的定义，故在抛物线的定义中，略讲了定义的文字叙述，详细分析了定义中的条件以及需要强调的“到定点距离等于到定直线的距离”，为后面的几何关系式做好铺垫随后通过一个演示课件画出了抛物线的图象，这一环节原先的设计是让学生进行作图，由于实际操作下来学生在课堂上所花的时间与实际收获不成正比，且不是教学目标重难点，所以就将这一环节放在了课前几分钟，一方面学生刚刚跑完步，身体处于高度活跃状态，这一操作可以使她们尽快进入学习状态，了解接下来要学习的内容，另一方面作图过程实际上是对抛物线定义的反复使用过程，能够让学生紧抓定义接着就所作图形探讨如何建系师：建立曲线方程的第一步是什么？生（齐声）：建系师：如何建立直角坐标系呢？通过对学生可能结果的分析，列出三种情况：通过对的证明，得到抛物线的标准方程，并由上图解释“标准”的含义，即顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程是抛物线的标准方程从而进一步得到该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，并解释一次项变量为，则轴为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上，焦点的横坐标值是一次项系数的四分之一对一种情况深入分析后，给出抛物线的其他三种图象，并引导学生根据第一种情况的推导直接说出抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程评析：何教授指出，这一环节首先应该是突出标准形式，分析标准方程与抛物线图象之间的关系，通过这一项，发现图象关于轴对称，然后观察一次项系数，发现焦点在轴正半轴上，学生容易理解，后面的三种形式应该给学生一些时间让她们进行比较和辨析，这也是为什么学生在后面完成例题时错误率较高的主要原因，也是概念新授课应该重点突出的地方但是在建系这一环节备课还是非常充分，了解到学生可能的结论，通过比较，顺承出最简洁的抛物线轨迹即是抛物线的标准方程（三）小试牛刀，立体互动，运用数学例1：求抛物线的焦点坐标和准线方程变式：求抛物线的焦点坐标和准线方程让学生小结：已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程的步骤练习1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（口答）：例2：求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）关于轴对称且过点M（1,2）（2）经过点P（ 2 , 4）让学生小结：确定抛物线方程必须抓住：确定焦点位置 （分类讨论思想）确定值（待定系数法）评析：通过书上例1的解决我给出了一个变式，这一变式一方面是考察学生对标准方程结构的理解，另一方面考察学生对焦点坐标的理解（即是否需要对进行讨论）在这一环节上学生出错较多，尤其是对讨论，何教授指出，其实这样的问题完全可以避免，但是由于前面对抛物线标准方程形式的辨析较少，学生没有完全掌握，所以才会出错，吴涛老师也指出，可以先求的焦点坐标，让学生发现这两种情况下坐标值和一次项系数之间的对应关系，再出来，学生可能会理解得更好在例2中，主要渗透了分类讨论的思想，由于时间关系，没有介绍“辅设”这一方法，即焦点在轴上的抛物线方程可统一设成；焦点在轴上的抛物线方程可统一设成可以有效减少对标准方程的记忆，通过点的坐标自己筛选出抛物线的方程，这也是师傅欧凯老师提出的好的方法，在后继课程中依然要介绍（四）总结知识，形成方法，提出困惑（1）学到哪些知识？抛物线的定义 抛物线的标准方程（2）学到哪些方法？确定焦点位置 （数形结合、分类讨论思想）求值（待定系数法、观察法）（3）有什么困惑？评析：通过对课堂的回顾，让学生自行总结，让学生简单回顾能够对知识有一个总的把握，这节课学习了什么知识，学到了哪些方法，促使学生反思课堂内容，对不足之处进行再加工何教授指出，这一环节要做到心中有数而不露声色，也就是学生说的可能是无序的，而我们老师要根据一定的顺序（可以是教学流程的先后顺序、教学重难点的顺序等）写下来进行归纳，学生说到第四点就把学生说的写在，然后再请学生，最后教师自己来补充完整四、教学反思（1）美国有句名言：“你听到了，你忘记了；你看到了，你记住了；你经历了，你学会了”数学学习应当是学生不断经历、体验的过程，这一过程不是一蹴而就的，需要在教学中留有时间给学生“做”和“思”，并且坚持下去有研究表明，学生前期积累的数学经验只有在丰富的数学环境中反复调用和加工后才会逐渐形成概括性更强的数学素养，才能在处理后继问题时推广出来让学生更好地“发声”是本节课的小小尝试，后面的教学活动中应该给予学生更多的时间和机会（2）不急于给出评价何教授在点评时特别强调了这一点，他说，学生在新授课解题时出错是非常正常的事情，而这个时候教师不要急于更正错误答案，否则，会浪费一次很好的教育机会，学生的错误要让学生来纠正，教师只是引导的作用本节课中，笔者使用了诸如“还有什么补充吗？”“请同学对刚才这位同学的解法做个评析”这样的启发式语言，更好地鼓励学生的思考，在本节课的例题讲解环节，这一做法起到了不错的效果，学生通过求抛物线y=ax2a0的焦点坐标和准线方程这一例题的错误，马上能够总结出已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程的第一步是把抛物线方程化为标准方程的形式（3）对推导得到后引导学生自主探究抛物线其他三种标准方程形式的过程仍存在不足，可以尝试如下方式：师：我们知道抛物线表示焦点在轴正半轴上，焦点在坐标轴上的情况还有焦点在轴负半轴，轴正半轴和负半轴，也就是说抛物