高等数学同济第五版第7章答案

习题7-1 1. 设u=a-b+2c, v=-a+3b-c. 试用a、b、c表示2u-3v . 解 2u-3v =2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)=2a-2b+4c+3a-9b+3c=5a-11b+7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形. 证明 ; , 而, , 所以. 这说明四边形ABCD的对边AB=CD且AB/CD, 从而四边形ABCD是平行四边形. 3. 把DABC的BC边五等分, 设分点依次为D1、D2、D3、D4, 再把各分点与点A连接. 试以、表示向量、. 解 , , , . 4. 已知两点M1(0, 1, 2)和M2(1, -1, 0). 试用坐标表示式表示向量及. 解 , . 5. 求平行于向量a=(6, 7, -6)的单位向量. 解 , 平行于向量a=(6, 7, -6)的单位向量为或. 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A(1, -2, 3); B(2, 3, -4); C(2, -3, -4); D(-2, -3, 1). 解 A在第四卦限, B在第五卦限, C在第八卦限, D在第三卦限. 7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: A(3, 4, 0); B(0, 4, 3); C(3, 0, 0); D(0, -1, 0). 解 在xOy面上, 的点的坐标为(x, y, 0); 在yOz面上, 的点的坐标为(0, y, z); 在zOx面上, 的点的坐标为(x, 0, z). 在x轴上, 的点的坐标为(x, 0, 0); 在y轴上, 的点的坐标为(0, y, 0), 在z轴上, 的点的坐标为(0, 0, z). A在xOy面上, B在yOz面上, C在x轴上, D在y轴上. 8. 求点(a, b, c)关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(a, b, c)关于xOy面的对称点为(a, b, -c); 点(a, b, c)关于yOz面的对称点为(-a, b, c); 点(a, b, c)关于zOx面的对称点为(a, -b, c). (2)点(a, b, c)关于x轴的对称点为(a, -b, -c); 点(a, b, c)关于y轴的对称点为(-a, b, -c); 点(a, b, c)关于z轴的对称点为(-a, -b, c). (3)点(a, b, c)关于坐标原点的对称点为(-a, -b, -c). 9. 自点P0(x0, y0, z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标. 解 在xOy面、yOz面和zOx面上, 垂足的坐标分别为(x0, y0, 0)、(0, y0, z0)和(x0, 0, z0). 在x轴、y轴和z轴上, 垂足的坐标分别为(x0, 0, 0), (0, y0, 0)和(0, 0, z0). 10. 过点P0(x0, y0, z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？ 解 在所作的平行于z轴的直线上, 点的坐标为(x0, y0, z); 在所作的平行于xOy面的平面上, 点的坐标为(x, y, z0). 11. 一边长为a的立方体放置在xOy面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x轴和y轴上, 求它各顶点的坐标. 解 因为底面的对角线的长为, 所以立方体各顶点的坐标分别为 , , , , , , , . 12. 求点M(4, -3, 5)到各坐标轴的距离. 解 点M到x轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即 . 点M到y轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, -3, 0)之间的距离, 即 . 点M到z轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即 . 13. 在yOz面上, 求与三点A(3, 1, 2)、B(4, -2, -2)和C(0, 5, 1)等距离的点. 解 设所求的点为P(0, y, z)与A、B、C等距离, 则 , , . 由题意, 有 , 即 解之得y=1, z=-2, 故所求点为(0, 1, -2). 14. 试证明以三点A(4, 1, 9)、B(10, -1, 6)、C(2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形. 解 因为 , , , 所以, . 因此DABC是等腰直角三角形. 15. 设已知两点和M2(3, 0, 2). 计算向量的模、方向余弦和方向角. 解 ; ; , , ; , , . 16. 设向量的方向余弦分别满足(1)cosa=0; (2)cosb=1; (3)cosa=cosb=0, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？ 解 (1)当cosa=0时, 向量垂直于x轴, 或者说是平行于yOz面. (2)当cosb=1时, 向量的方向与y轴的正向一致, 垂直于zOx面. (3)当cosa=cosb=0时, 向量垂直于x轴和y轴, 平行于z轴, 垂直于xOy面. 17. 设向量r的模是4, 它与轴u的夹角是60, 求r在轴u上的投影. 解 . 18. 一向量的终点在点B(2, -1, 7), 它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4, -4, 7. 求这向量的起点A的坐标. 解 设点A的坐标为(x, y, z). 由已知得 , 解得x=-2, y=3, z=0. 点A的坐标为A(-2, 3, 0). 19. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k. 求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量. 解 因为a=4m+3n-p=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k )=13i+7j+15k, 所以a=4m+3n-p在x轴上的投影为13, 在y轴上的分向量7j . 习题7-2 1. 设a=3i-j-2k, b=i+2j-k, 求(1)ab及ab; (2)(-2a)3b及a2b; (3)a、b夹角的余弦. 解 (1)ab=31+(-1)2+(-2)(-1)=3, . (2)(-2a)3b =-6ab = -63=-18, a2b=2(ab)=2(5i+j+7k)=10i+2j+14k . (3). 2. 设a、b、c为单位向量, 且满足a+b+c=0, 求ab+bc+ca . 解 因为a+b+c=0, 所以(a+b+c)(a+b+c)=0, 即 aa+bb+cc+2ab+2ac+2ca=0, 于是 . 3. 已知M1(1, -1, 2)、M2(3, 3, 1)和M3(3, 1, 3). 求与、同时垂直的单位向量. 解 , . , , 为所求向量. 4. 设质量为100kg的物体从点M1(3, 1, 8)沿直线称动到点M2(1, 4, 2), 计算重力所作的功(长度单位为m, 重力方向为z轴负方向). 解F=(0, 0, -1009. 8)=(0, 0, -980), . W=FS=(0, 0, -980)(-2, 3, -6)=5880(焦耳). 5. 在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处, 有一与成角q1的力F1作用着; 在O的另一侧与点O的距离为x2的点P2处, 有一与成角q1的力F1作用着. 问q1、q2、x1、x2、|F1|、|F2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？ 解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零, 再注意到对力矩正负的规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为 x1|F1|sinq1-x2|F2|sinq2=0, 即 x1|F1|sinq1=x2|F2|sinq2. 6. 求向量a=(4, -3, 4)在向量b=(2, 2, 1)上的投影. 解 . 7. 设a=(3, 5, -2), b=(2, 1, 4), 问l与m有怎样的关系, 能使得la+mb与z轴垂直? 解 la+mb=(3l+2m, 5l+m, -2l+4m), la+mb与z轴垂la+mb k (3l+2m, 5l+m, -2l+4m)(0, 0, 1)=0, 即-2l+4m=0, 所以l=2m . 当l=2m 时, la+mb与z轴垂直. 8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角. 证明 设AB是圆O的直径, C点在圆周上, 则, . 因为, 所以, C=90. 9. 设已知向量a=2i-3j+k, b=i-j+3k和c=i-2j, 计算: (1)(ab)c-(ac)b; (2)(a+b)(b+c); (3)(ab)c . 解 (1)ab=21+(-3)(-1)+13=8, ac=21+(-3)(-2)=8, (ab)c-(ac)b=8c-8b=8(c-b)=8(i-2j)-(i-j+3k)=-8j-24k . (2)a+b=3i-4j+4k, b+c=2i-3j+3k, . (3), (ab)c=-81+(-5)(-2)+10=2. 10. 已知, , 求DOAB的面积. 解 根据向量积的几何意义, 表示以和为邻边的平行四边形的面积, 于是DOAB的面积为 . 因为, , 所以三角形DOAB的面积为 . 12. 试用向量证明不等式: , 其中a1、a2、a3、b1、b2、b3为任意实数, 并指出等号成立的条件. 解 设a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3), 则有 , 于是 , 其中当=1时, 即a与b平行是等号成立. 习题7-3 1. 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程. 解 设动点为M(x, y, z), 依题意有 (x-2)2+(y-3)2+(z-1)2=(x-4)2+(y-5)2+(z-6)2, 即 4x+4y+10z-63=0. 2. 建立以点(1, 3, -2)为球心, 且通过坐标原点的球面方程. 解 球的半径, 球面方程为 (x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14, 即 x2+y2+z2-2x-6y+4z=0. 3. 方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0表示什么曲面? 解 由已知方程得 (x2-2x+1)+(y2+4y+4)+(z2+2z+1)=1+4+1, 即 , 所以此方程表示以(1, -2, -1)为球心, 以为半径的球面. 4. 求与坐标原点O及点(2, 3, 4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程, 它表示怎样曲面？ 解 设点(x, y, z)满足题意, 依题意有 , 化简整理得 , 它表示以为球心, 以为半径的球面. 5. 将zOx坐标面上的抛物线z2=5x绕x轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的z换成得旋转曲面的方程y2+z2=5x. 6. 将zOx坐标面上的圆x2+z2=9绕z轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的x换成得旋转曲面的方程x2+y2+z2=9. 7. 将xOy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 双曲线绕x轴旋转而得的旋转曲面的方程为 4x2-9y2-9z2=36. 双曲线绕y轴旋转而得的旋转曲面的方程为 4x2+4z2-9y2=36. 8. 画出下列方程所表示的曲面: (1); (2); (3); (4)y2-z=0; (5)z=2-x2. 9. 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形: (1)x=2; 解在平面解析几何中, x=2表示平行于y轴的一条直线; 在空间解析几何中, x=2表示一张平行于yOz面的平面. (2)y=x+1; 解 在平面解析几何中, y=x+1表示一条斜率是1, 在y轴上的截距也是1的直线; 在空间解析几何中，y=x+1表示一张平行于z轴的平面. (3)x2+y2=4; 解 在平面解析几何中, x2+y2=4表示中心在原点, 半径是4的圆; 在空间解析几何中, x2+y2=4表示母线平行于z轴, 准线为x2+y2=4的圆柱面. (4)x2-y2=1. 解 在平面解析几何中, x2-y2=1表示双曲线; 在空间解析几何中, x2-y2=1表示母线平行于z轴的双曲面. 10. 说明下列旋转曲面是怎样形成的: (1); 解 这是xOy面上的椭圆绕x轴旋转一周而形成的, 或是zOx面上的椭圆绕x轴旋转一周而形成的. (2); 解 这是xOy面上的双曲线绕y轴旋转一周而形成的, 或是yOz面上的双曲线绕y轴旋转一周而形成的. (3)x2-y2-z2=1; 解 这是xOy面上的双曲线x2-y2=1绕x轴旋转一周而形成的, 或是zOx面上的双曲线x2-z2=1绕x轴旋转一周而形成的. (4)(z-a)2=x2+y2 . 解 这是zOx面上的曲线(z-a)2=x2绕z轴旋转一周而形成的, 或是yOz面上的曲线(z-a)2=y2绕z轴旋转一周而形成的. 11. 画出下列方程所表示的曲面: (1)4x2+y2-z2=4; (2)x2-y2-4z2=4; (3). 习题7-4 1. 画出下列曲线在第一卦限内的图形: (1); (2); (3) . 2. 指出下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形: (1); 解 在平面解析几何中, 表示直线y=5x+1与y=2x-3的交点; 在空间解析几何中, 表示平面y=5x+1与y=2x-3的交线, 它表示过点, 并且行于z轴. (2). 解 在平面解析几何中, 表示椭圆与其切线y=3的交点(0, 3); 在空间解析几何中, 表示椭圆柱面与其切平面y=3的交线. 3. 分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线的柱面方程. 解 把方程组中的x消去得方程3y2-z2=16, 这就是母线平行于x轴且通过曲线的柱面方程. 把方程组中的y消去得方程3x2+2z2=16, 这就是母线平行于y轴且通过曲线的柱面方程. 4. 求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xOy面上的投影的方程. 解 由x+z=1得z=1-x代入x2+y2+z2=9得方程2x2-2x+y2=8, 这是母线平行于z轴, 准线为球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线的柱面方程, 于是所求的投影方程为 . 5. 将下列曲线的一般方程化为参数方程: (1) ; 解 将y=x代入x2+y2+z2=9得2x2+z2=9, 即. 令, 则z=3sin t . 故所求参数方程为 , , z=3sin t . (2). 解 将z=0代入(x-1)2+y2+(z+1)2=4得(x-1)2+y2=3. 令, 则, 于是所求参数方程为 , , z=0. 6. 求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程. 解 由前两个方程得x2+y2=a2, 于是螺旋线在xOy面上的投影曲线的直角坐标方程为 . 由第三个方程得代入第一个方程得 , 即, 于是螺旋线在zOx面上的投影曲线的直角坐标方程为 . 由第三个方程得代入第二个方程得 , 即, 于是螺旋线在yOz面上的投影曲线的直角坐标方程为 . 7. 求上半球与圆柱体x2+y2ax(a0)的公共部分在xOy面和zOx面上的投影. 解 圆柱体x2+y2ax在xOy面上的投影为x2+y2ax, 它含在半球在xOy面上的投影x2+y2a2内, 所以半球与圆柱体的公共部分在xOy面上的投影为x2+y2ax. 为求半球与圆柱体的公共部分在zOx面上的投影, 由圆柱面方程x2+y2=ax得y2=ax-x2, 代入半球面方程, 得(0xa), 于是半球与圆柱体的公共部分在zOx面上的投影为 (0xa), 即z2+axa2, 0xa, z0. 8. 求旋转抛物面z=x2+y2(0z4)在三坐标面上的投影. 解 令z=4得x2+y2=4, 于是旋转抛物面z=x2+y2(0z4)在xOy面上的投影为x2+y24. 令x=0得z=y2, 于是旋转抛物面z=x2+y2(0z4)在yOz面上的投影为y2z4. 令y=0得z=x2, 于是旋转抛物面z=x2+y2(0z4)在zOx面上的投影为x2z4. 习题7-5 1. 求过点(3, 0, -1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n=(3, -7, 5), 所求平面的方程为 3(x-3)-7(y-0)+5(z+1)=0, 即3x-7y+5z-4=0. 2. 求过点M0(2, 9, -6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n=(2, 9, -6), 所求平面的方程为 2(x-2)+9(y-9)-6(z-6)=0, 即2x+9y-6z-121=0. 3. 求过(1, 1, -1)、(-2, -2, 2)、(1, -1, 2)三点的平面方程. 解 n1=(1, -1, 2)-(1, 1, -1)=(0, -2, 3), n1=(1, -1, 2)-(-2, -2, 2)=(3, 1, 0), 所求平面的法线向量为 ,所求平面的方程为 -3(x-1)+9(y-1)+6(z+1)=0, 即x-3y-2z=0. 4. 指出下列各平面的特殊位置, 并画出各平面: (1)x=0; 解 x=0是yOz平面. (2)3y-1=0; 解 3y-1=0是垂直于y轴的平面, 它通过y轴上的点. (3)2x-3y-6=0; 解 2x-3y-6=0是平行于z轴的平面, 它在x轴、y轴上的截距分别是3和-2. (4); 解 是通过z轴的平面, 它在xOy面上的投影的斜率为. (5)y+z=1; 解 y+z=1是平行于x轴的平面, 它在y轴、z轴上的截距均为1. (6)x-2z=0; 解 x-2z=0是通过y轴的平面. (7)6x+5-z=0. 解 6x+5-z=0是通过原点的平面. 5. 求平面2x-2y+z+5=0与各坐标面的夹角的余弦. 解 此平面的法线向量为n=(2, -2, 1). 此平面与yOz面的夹角的余弦为 ; 此平面与zOx面的夹角的余弦为 ; 此平面与xOy面的夹角的余弦为 . 6. 一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a=(2, 1, 1)和b=(1, -1, 0), 试求这平面方程. 解 所求平面的法线向量可取为 , 所求平面的方程为 (x-1)+(y-0)-3(z+1)=0, 即x+y-3z-4=0. 7. 求三平面x+3y+z=1, 2x-y-z=0, -x+2y+2z=3的交点. 解 解线性方程组 得x=1, y=-1, z=3. 三个平面的交点的坐标为(1, -1, 3). 8. 分别按下列条件求平面方程: (1)平行于zOx面且经过点(2, -5, 3); 解 所求平面的法线向量为j =(0, 1, 0), 于是所求的平面为 0(x-2)-5(y+5)+0(z-3)=0, 即y=-5. (2)通过z轴和点(-3, 1, -2); 解 所求平面可设为Ax+By=0. 因为点(-3, 1, -2)在此平面上, 所以 -3A+B=0, 将B=3A代入所设方程得 Ax+3Ay=0, 所以所求的平面的方程为 x+3y=0, (3)平行于x轴且经过两点(4, 0, -2)和(5, 1, 7). 解 所求平面的法线向量可设为n=(0, b, c). 因为点(4, 0, -2)和(5, 1, 7)都在所求平面上, 所以向量n1=(5, 1, 7)-(4, 0, -2)=(1, 1, 9)与n是垂直的, 即 b+9c=0, b=-9c , 于是 n=(0, -9c, c)=-c(0, 9, -1). 所求平面的方程为 9(y-0)-(z+2)=0, 即9y-z-2=0. 9. 求点(1, 2, 1)到平面x+2y+2z-10=0的距离. 解 点(1, 2, 1)到平面x+2y+2z-10=0的距离为 . 习题7-6 1. 求过点(4, -1, 3)且平行于直线的直线方程. 解 所求直线的方向向量为s=(2, 1, 5), 所求的直线方程为 . 2. 求过两点M1(3, -2, 1)和M2(-1, 0, 2)的直线方程. 解 所求直线的方向向量为s=(-1, 0, 2)-(3, -2, 1)=(-4, 2, 1), 所求的直线方程为 . 3. 用对称式方程及参数方程表示直线. 解 平面x-y+z=1和2x+y+z=4的法线向量为n1=(1, -1, 1), n2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为 . 在方程组中, 令y=0, 得, 解得x=3, z=-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点. 所求直线的对称式方程为 ; 参数方程为 x=3-2t, y=t, z=-2+3t . 4. 求过点(2, 0, -3)且与直线垂直的平面方程. 解 所求平面的法线向量n可取为直线的方向向量, 即 . 所平面的方程为 -16(x-2)+14(y-0)+11(z+3)=0, 即16x-14y-11z-65=0. 5. 求直线与直线的夹角的余弦. 解 直线与的方向向量分别为 , . 两直线之间的夹角的余弦为 . 6. 证明直线与直线平行. 解 直线与的方向向量分别为 , . 因为s2=-3s1, 所以这两个直线是平行的. 7. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程. 解 因为两平面的法线向量n1=(1, 0, 2)与n2=(0, 1, -3)不平行, 所以两平面相交于一直线, 此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s, 即 . 所求直线的方程为 . 8. 求过点(3, 1, -2)且通过直线的平面方程. 解 所求平面的法线向量与直线的方向向量s1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, -2)和(4, -3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s2=(4, -3, 0)-(3, 1, -2)=(1, -4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为 . 所求平面的方程为 8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0, 即8x-9y-22z-59=0. 9. 求直线与平面x-y-z+1=0的夹角. 解 直线的方向向量为 , 平面x-y-z+1=0的法线向量为n=(1, -1, -1). 因为 sn=21+4(-1)+(-2)(-1)=0, 所以s n, 从而直线与平面x-y-z+1=0的夹角为0. 10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系: (1)和4x-2y-2z=3; 解 所给直线的方向向量为s=(-2, -7, 3), 所给平面的法线向量为n=(4, -2, -2). 因为sn=(-2)4+(-7)(-2)+3(-2)=0, 所以sn, 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(-3, -4, 0)不满足平面方程4x-2y-2z=3, 所以所给直线不在所给平面上. (2)和3x-2y+7z=8; 解 所给直线的方向向量为s=(3, -2, 7), 所给平面的法线向量为n=(3, -2, 7). 因为s=n, 所以所给直线与所给平面是垂直的. (3)和x+y+z=3. 解 所给直线的方向向量为s=(3, 1, -4), 所给平面的法线向量为n=(1, 1, 1). 因为sn=31+11+(-4)1=0, 所以sn, 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(2, -2, 3)满足平面方程x+y+z=3, 所以所给直线在所给平面上. 11. 求过点(1, 2, 1)而与两直线 和平行的平面的方程. 解 直线的方向向量为 , 直线的方向向量为 . 所求平面的法线向量可取为 , 所求平面的方程为 -(x-1)+(y-2)-(z-1)=0, 即x-y+z=0. 12. 求点(-1, 2, 0)在平面x+2y-z+1=0上的投影. 解 平面的法线向量为n=(1, 2, -1). 过点(-1, 2, 0)并且垂直于已知平面的直线方程为 . 将此方程化为参数方程x=-1+t, y=2+2t, z=-t , 代入平面方程x+2y-z+1=0中, 得 (-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0, 解得. 再将代入直线的参数方程, 得, , . 于是点(-1, 2, 0)在平面x+2y-z+1=0上的投影为点. 13. 求点P(3, -1, 2)到直线的距离. 解 直线的方向向量为 . 过点P且与已知直线垂直的平面的方程为 -3(y+1)-3(z-2)=0, 即y+z-1=0. 解线性方程组 , 得x=1, , . 点P(3, -1, 2)到直线的距离就是点P(3, -1, 2)与点间的距离, 即 . 14. 设M0是直线L外一点, M是直线L上任意一点, 且直线的方向向量为s, 试证: 点M0到直线L的距离 . 解 设点M0到直线L的距离为d, L的方向向量, 根据向量积的几何意义, 以和为邻边的平行四边形的面积为 , 又以和为邻边的平行四边形的面积为. 因此 , . 15. 求直线在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程. 解 过直线的平面束方程为 (2+3l)x+(-4-l)y+(1-2l)z-9l=0. 为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令(4 -1, 1)(2+3l, -4-l, 1-2l)=0, 即 4(2+3l)+(-1)(-4-l)+1(1-2l)=0. 解之得. 将代入平面束方程中, 得 17x+31y-37z-117=0. 故投影直线的方程为. 16. 画出下列各曲面所围成的立体图形: (1)x=0, y=0, z=0, x=2, y=1, 3x+4y+2z-12=0; (2)x=0, z=0, x=1, y=2, ; (3)z=0, z=3, x-y=0, , x2+y2=1(在第一卦限内); (4)x=0, y=0, z=0, x2+y2=R2, y2+z2=R2(在第一卦限内). 总习题七 1. 填空 (1)设在坐标系O; i, j, k中点A和点M的坐标依次为(x0, y0, z0)和(x, y, z), 则在A; i, j, k坐标系中, 点M的坐标为_, 向量的坐标为_. 解 M(x-x0, y-y0, z-z0), . 提示: 自由向量与起点无关, 它在某一向量上的投影不会因起点的位置的不同而改变. (2)设数l1、l2、l3不全为0, 使l1a+l2b+l3c=0, 则a、b、c三个向量是_的. 解 共面. (3)设a=(2, 1, 2), b=(4, -1, 10), c=b-la, 且ac, 则l=_. 解3. 提示: 因为ac, 所以ac=0. 又因为由ac=ab-laa=24+1(-1)+210-l(22+12+22)=27-9l, 所以l=3. (4)设a、b、c都是单位向量, 且满足a+b+c=0, 则ab+bc+ca=_. 解 . 提示: 因为a+b+c=0, 所以(a+b+c)(a+b+c)=0, 即 aa+bb+cc+2ab+2ac+2ca=0, 于是 . (5)设|a|=3, |b|=4, |c|=5, 且满足a+b+c=0, 则|ab+bc+ca|=_. 解36. 提示: c=-(a+b), ab+bc+ca=ab-b(a+b)-(a+b)a=ab-ba-ba=3ab, |ab+bc+ca|=3|ab|=3|a|b|=334=36. 2. 在y 轴上求与点A(1, -3, 7)和点B(5, 7, -5)等距离的点. 解 设所求点为M(0, y, 0), 则有 12+(y+3)2+72=52+(y-7)2+(-5)2, 即 (y+3)2=(y-7)2, 解得y=2, 所求的点为M(0, 2, 0). 3. 已知DABC的顶点为A(3,2,-1)、B(5,-4,7)和C(-1,1,2), 求从顶点C所引中线的长度. 解 线段AB的中点的坐标为. 所求中线的长度为 . 4. 设DABC的三边、, 三边中点依次为D、E、F, 试用向量a、b、c表示、, 并证明 . 解 , , . 5. 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边, 且其长度等于第三边长度的一半. 证明 设D, E分别为AB, AC的中点, 则有 , , 所以 , 从而DE/BC, 且. 6. 设|a+b|=|a-b|, a=(3, -5, 8), b=(-1, 1, z), 求z . 解a+b=(2, -4, 8+z), a-b=(4, -6, 8-z). 因为|a+b|=|a-b|, 所以 , 解得z=1. 7. 设, |b|=1, , 求向量a+b与a-b的夹角. 解 |a+b|2=(a+b)(a+b)=|a|2+|b|2+2ab=|a|2+|b|2+2|a|b|cos(a, b), |a-b|2=(a-b)(a-b)=|a|2+|b|2-2ab=|a|2+|b|2-2|a|b|cos(a, b). 设向量a+b与a-b的夹角为q, 则 , . 8. 设a+3b7a-5b, a-4b7a-2b, 求 . 解 因为a+3b7a-5b, a-4b7a-2b, 所以 (a+3b)(7a-5b)=0, (a-4b)(7a-2b)=0, 即 7|a|2+16ab-15|b|2 =0, 7|a|2-30ab+8|b|2 =0,又以上两式可得 , 于是 , . 9. 设a=(2, -1, -2), b=(1, 1, z), 问z为何值时最小？并求出此最小值. 解 . 因为当时, 为单调减函数. 求的最小值也就是求的最大值. 令, 得z=-4. 当z=-4时, , 所以. 10. 设|a|=4, |b|=3, , 求以a+2b和a-3b为边的平行四边形的面积. 解 (a+2b)(a-3b)=-3ab+2ba=5ba. 以a+2b和a-3b为边的平行四边形的面积为 . 11. 设a=(2, -3, 1), b=(1, -2, 3), c=(2, 1, 2), 向量r满足ra, rb, Prjcr=14, 求r. 解 设r=(x, y, z). 因为ra, rb, 所以ra=0, rb=0, 即 2x-3y+z=0, x-2y+3z=0. 又因为Prjcr=14, 所以, 即 2x+y+2z=42. 解线性方程组 , 得x=14, y=10, z=2, 所以r=(14, 10, 2). 另解 因为ra, rb, 所以r与平行, 故可设r=l(7, 5, 1). 又因为Prjcr=14, 所以, rc=42, 即 l(72+51+12)=42, l=2, 所以r=(14, 10, 2). 12. 设a=(-1, 3, 2), b=(2, -3, -4), c=(-3, 12, 6), 证明三向量a、b、c共面, 并用a和b表示c . 证明 向量a、b、c共面的充要条件是(ab)c=0. 因为 , (ab)c=(-6)(-3)+012+(-3)6=0, 所以向量a、b、c共面. 设c=la+mb, 则有 (-l+2m, 3l-3m, 2l-4m)=(-3, 12, 6), 即有方程组 , 解之得l=5, m=1, 所以c=5a+b . 13. 已知动点M(x,y,z)到xOy平面的距离与点M到点(1, -1, 2)的距离相等, 求点M的轨迹方程. 解 根据题意, 有 , 或 z2=(x-1)2+(y+1)2+(z-2)2, 化简得 (x-1)2+(y+1)2=4(z-1), 这就是点