2.5.4三角形的内切圆

2 5直线与圆的位置关系 第2章圆 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 2 5 4三角形的内切圆 1 了解有关三角形的内切圆和三角形内心的概念 重点 2 能运用三角形内切圆 内心的知识进行有关的计算 难点 导入新课 情境引入 如图是一块三角形木料 木工师傅要从中裁下一块圆形用料 怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢 下面有四种方案 请选择最佳方案 方案一 方案二 方案三 方案四 讲授新课 合作探究 猜想 方案二中的这个圆应当与三角形的三条边都相 方案二 切 O 画一个圆关键是定圆心和半径 如何画一个圆与三角形的三条边都相切 如果这个圆与 ABC的三条边都相切 那么圆心O到三条边的距离都等于 从而这些距离相等 O 半径 到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 因此圆心O是 A的 与 B的 的 点 O 平分线 平分线 交 已知 ABC 求作 和 ABC的各边都相切的圆 作法 1 作 B和 C的平分线BM和CN 交点为O 2 过点O作OD BC 垂足为D 3 以O为圆心 OD为半径作圆O O就是所求的圆 做一做 观察与思考 与 ABC的三条边都相切的圆有几个 因为 B和 C的平分线的交点只有一个 并且交点O到 ABC三边的距离相等且唯一 所以与 ABC三边都相切的圆有且只有一个 知识要点 A B C N F 外切三角形 内切圆 内心 1 与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆 2 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心 3 这个三角形叫做这个圆的外切三角形 4 三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点 三角形的内心到三角形的三边的距离相等 三角形三边中垂线的交点 1 OA OB OC2 外心不一定在三角形的内部 三角形三条角平分线的交点 1 到三边的距离相等 2 OA OB OC分别平分 BAC ABC ACB3 内心在三角形内部 填一填 例1 ABC中 O是 ABC的内切圆 A 70 求 BOC的度数 解 A 70 ABC ACB 180 A 110 O是 ABC的内切圆 BO CO分别是 ABC和 ACB的平分线 即 OBC ABC OCB ACB 典例精析 BOC 180 OBC OCB 180 ABC ACB 180 110 125 例2 ABC的内切圆 O与BC CA AB分别相切于点D E F 且AB 13cm BC 14cm CA 9cm 求AF BD CE的长 解 设AF xcm 则AE xcm CE CD AC AE 9 x cm BF BD AB AF 13 x cm 想一想 图中你能找出哪些相等的线段 理由是什么 A C B 由BD CD BC 可得 13 x 9 x 14 AF 4cm BD 9cm CE 5cm 方法小结 关键是熟练运用切线长定理 将相等线段转化集中到某条边上 从而建立方程 解得x 4 A C B 例3如图 Rt ABC中 C 90 BC a AC b AB c O为Rt ABC的内切圆 求 Rt ABC的内切圆的半径r O与Rt ABC的三边都相切 AD AF BE BF CE CD 解 设Rt ABC的内切圆与三边相切于D E F 连接OD OE OF 则OD AC OE BC OF AB B A C E D F O 设AD x BE y CE r B A C E D F O 设Rt ABC的直角边为a b 斜边为c 则Rt ABC的内切圆的半径r 或r 后面习题中证明 当堂练习 1 三角形的内心是三角形三边中垂线的交点 2 三角形的内心是三角形三个角平分线的交点 3 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等 4 三角形的内心到三角形各边的距离相等 5 三角形的内心一定在三角形的内部 6 三角形的内心与一顶点的连线平分该顶点处的内角 错 对 对 对 错 对 1 判断对错 110 A 第2题 3 ABC的内切圆 O与三边分别切于D E F三点 如图 已知AF 3 BD CE 12 则 ABC的周长是 30 B D E F O C A 4 如图 ABC的内切圆的半径为r ABC的周长为l 求 ABC的面积S 解 设 ABC的内切圆与三边相切于D E F 连接OA OB OC OD OE OF 则OD AB OE BC OF AC S ABC S AOB S BOC S AOC AB OD BC OE AC OF l r 5 如图 已知E是 ABC的内心 A的平分线交BC于点F 且与 ABC的外接圆相交于点D 1 证明 E是 ABC的内心 ABE CBE BAD CAD 又 CBD CAD BAD CBD CBE CBD ABE BAD 即 DBE DEB 故BD ED 1 求证 BD ED 2 若AD 8cm DF FA 1 3 求DE的长 2 解 AD 8cm DF FA 1 3 DF AD 8 2 cm CBD BAD D D BDF ADB BD2 AD DF 8 2 16 BD 4cm 又 BD DE DE 4cm 拓展提升 6 直角三角形的两直角边分别是3cm 4cm 试问 1 它的外接圆半径是cm 内切圆半径是cm 2 若移动点O的位置 使 O保持与 ABC的边AC BC都相切 求 O的半径r的取值范围 5 1 解 设BC 3cm 由题意可知与BC AC相切的最大圆与BC AC的切点分别为B D 连接OB OD 则四边形BODC为正方形