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定积分的简单应用 榆林中学马妮娅 用定积分计算平面图形的面积 2 微积分基本定理是什么 问题情境 复习引入 1 的几何意义是什么 几何意义 当f x 0 定积分 b a 表示曲线y f x 直线x a x b和轴所围成的曲边梯形的面积 几何意义 当函数f x 0 定积分 就是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反数 即 对于函数值有正有负的连续函数 定积分 几何意义 C d 微积分基本定理 如果连续函数f x 是F x 的导函数 即f x F x 则有 牛顿 莱布尼茨公式 例1 求如图所示阴影部分图形的面积 分析 图形中阴影部分的面积由两个部分组成 一部分是x轴上方的图形的面积 记为s1 另一部分是x轴下方图形的面积 记为s2 根据图像的性质 s1 s2 所以 所求阴影部分的面积是4 例题分析 2 0 y x 思考 求如下图形中阴影部分面积 例2 计算由曲线 与 所围图形的面积 解 作出草图 所求面积为阴影部分的面积 解方程组 得交点横坐标为 及 曲边梯形 曲边梯形 巩固训练 曲边形 面积A A1 A2 提升 曲边梯形 抽象概括 一般地 设由曲线y f x y g x 以及直线x a y b所围成的平面图形 如图1 的面积S 则 图1 图2 图3 想一想 上图中 2 3 满足上面的公式吗 3米 6米 如图所示 一抛物线形拱桥的跨度为6米 高为3米 此抛物线形拱桥的横截面积为多少 建立平面直角坐标系确定抛物线方程 求由曲线围成的平面图形面积 情境回归 如图所示 一抛物线形拱桥的跨度为6米 高为3米 此抛物线形拱桥的横截面积为多少 情境回归 解 o 3 3 3 y x 如图建立平面直角坐标系 可设抛物线方程为 点 代入方程 得 于是抛物线方程 如图所示 一抛物线形拱桥的跨度为6米 高为3米 此抛物线形拱桥的横截面积为多少 情境回归 解 o 3 3 3 y x 如图建立平面直角坐标系 可设抛物线方程为 点 代入方程 得 于是抛物线方程 如图所示 一抛物线形拱桥的跨度为6米 高为3米 此抛物线形拱桥的横截面积为多少 情境回归 解 o 3 3 3 y x 如图建立平面直角坐标系 可设抛物线方程为 点 代入方程 得 所以抛物线方程 于是抛物线形拱桥的横截面积 S S长方形 S曲边梯形 18 A B D C 12 例3 求曲线x 和直线y x 2所围成的图形的面积 解 阴影部分面积S S1 S2 S1由y y x 1围成 S2由y y x 2 x 1围成 巩固提升 1 求曲线y 1 x 直线x 1 x 2以及x轴所围成的平面图形的面积 2 求由曲线及直线x 1以及坐标轴所围成的平面图形的面积 丰收园 通过本堂课的学习 你获得了什么数学知识 定积分解决平面上曲边形面积的问题 一般步骤 根据题意画出图形 确定积分上下限和被积函
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