高中数列应用题专题训练精选集

高中数列应用题专题训练精选集高中数列应用题专题训练精选集 一 解答题 共一 解答题 共 16 小题 小题 1 2012 湖南 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产 该企业第一年年初有资金 2000 万元 将其投入 生产 到当年年底资金增长了 50 预计以后每年年增长率与第一年的相同 公司要求企业从第一年开始 每年 年底上缴资金 d 万元 并将剩余资金全部投入下一年生产 设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an万元 用 d 表示 a1 a2 并写出 an 1与 an的关系式 若公司希望经过 m m 3 年使企业的剩余资金为 4000 万元 试确定企业每年上缴资金 d 的值 用 m 表示 2 2010 湖北 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a 单位 m2 其中有部分旧住房需要拆除 当地 有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10 建设新住房 同事也拆除面积为 b 单位 m2 的旧住房 分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30 则每年拆除的旧住房面积 b 是多少 计算时取 1 15 1 6 3 2007 上海 近年来 太阳能技术运用的步伐日益加快 2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦 年生 产量的增长率为 34 以后四年中 年生产量的增长率逐年递增 2 如 2003 年的年生产量的增长率为 36 1 求 2006 年全球太阳电池的年生产量 结果精确到 0 1 兆瓦 2 目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量 2006 年的实际安装量为 1420 兆瓦 假设以 后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42 到 2010 年 要使年安装量与年生产量基本持平 即年安装 量不少于年生产量的 95 这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少 结果精确到 0 1 4 2005 上海 假设某市 2004 年新建住房面积 400 万平方米 其中有 250 万平方米是中低价房 预计在今后的 若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8 另外 每年新建住房中 中低价房的面积均比上一年增 加 50 万平方米 那么 到哪一年底 1 该市历年所建中低价层的累计面积 以 2004 年为累计的第一年 将首次不少于 4750 万平方米 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85 5 2005 湖南 自然状态下的鱼类是一种可再生资源 为持续利用这一资源 需从宏观上考察其再生能力及捕捞 强度对鱼群总量的影响 用 xn表示某鱼群在第 n 年年初的总量 n N 且 x1 0 不考虑其它因素 设在第 n 年 内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn成正比 死亡量与 xn2成正比 这些比例系数依次为正常数 a b c 求 xn 1与 xn的关系式 猜测 当且仅当 x1 a b c 满足什么条件时 每年年初鱼群的总量保持不变 不要求证明 设 a 2 b 1 为保证对任意 x1 0 2 都有 xn 0 n N 则捕捞强度 b 的 最大允许值是多少 证明你的结论 6 2004 上海 某市 2003 年共有 1 万辆燃油型公交车 有关部门计划于 2004 年投入 128 辆电力型公交车 随后 电力型公交车每年的投入比上一年增加 50 试问 1 该市在 2010 年应该投入多少辆电力型公交车 2 到哪一年底 电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 7 2004 福建 某企业 2003 年的纯利润为 500 万元 因设备老化等原因 企业的生产能力将逐年下降 若不能 进行技术改造 预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元 今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术 改造 预测在未扣除技术改造资金的情况下 第 n 年 今年为第一年 的利润为 500 1 万元 n 为正整数 设从今年起的前 n 年 若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An万元 进行技术改造后的累计纯利润为 Bn万元 须扣除技术改造资金 求 An Bn的表达式 依上述预测 从今年起该企业至少经过多少年 进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计 纯利润 8 2013 江门二模 环保刻不容缓 或许人类最后一滴水将是自己的泪水 某地水资源极为紧张 且受工业污染 严重 预计 20 年后该地将无洁净的水可用 当地决定重新选址建设新城区 同时对旧城区进行拆除 已知旧城区 的住房总面积为 64am2 每年拆除的数量相同 新城区计划第一年建设住房面积 am2 前四年每年以 100 的增长 率建设新住房 从第五年开始 每年都比上一年增加 am2 设第 n n 1 且 n N 年新城区的住房总面积为 anm2 该地的住房总面积为 bnm2 1 求 an 的通项公式 2 若每年拆除 4am2 比较 an 1与 bn的大小 9 2012 宁德模拟 我国政府积极应对气体变化 提出 到 2020 年碳排放强度要比 2005 年下降 40 的减排目 标 已知 2005 年我国碳排放强度约为 3 吨 万元 以后每年的碳排放强度均比上一年减少 0 08 吨 万元 1 问能否在 2020 年实现减排目标 说明理由 2 若 2005 年我国国内生产总值为 a 万元 且以后每年均以 8 的速度递增 问从哪一年起二氧化碳排放量开始 减少 注释 碳排放强度 是指每万元国内生产总值的二氧化碳排放量 10 2012 蓝山县模拟 某企业的产品以往专销欧美市场 在全球金融风暴的影响下 欧美市场的销量受到严重 影响 该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场 并基本形成了市场规模 自 2009 年 9 月以来的第 n 个月 2009 年 9 月为第一个月 产品的内销量 出口量和销售总量 销售总量 内销量与出口量的和 分别为 bn cn 和 an 单位 万件 依据销售统计数据发现形成如下营销趋势 bn 1 aan cn 1 an b an2 其中 a b 为常数 已知 a1 1 万件 a2 1 5 万件 a3 1 875 万件 1 求 a b 的值 并写出 an 1与 an满足的关系式 2 试用你所学的数学知识论证销售总量 an逐月递增且控制在 2 万件内 3 试求从 2009 年 9 月份以来的第 n 个月的销售总量 an关于 n 的表达式 11 2012 蓝山县模拟 某学校餐厅为了保证每天供应 1000 名学生用餐 每星期一都提供有 A B 两种菜可供学 生选择 每个学生都将从二种中选一种 经调查 凡是在本周星期一选 A 菜的 下周星期一会有 20 改选 B 而 选 B 菜的 下周星期一则有 30 改选 A 用 an bn分别表示在第 n 个星期一选 A B 菜的人数 a1 b1表示本周 星期一选 A 菜人数 若 a1 200 1 试以 an表示 an 1 2 证明 an 的通项公式是 3 试问从第几个星期一开始 选 A 人数超过选 B 的人数 12 2012 江门一模 某学校每星期一供应 1000 名学生 A B 两种菜 调查表明 凡在这星期一选 A 种菜的 下 星期一会有 20 改选 B 种菜 而选 B 种菜的 下星期一会有 30 改选 A 种菜 设第 n 个星期一选 A B 两种菜分 别有 an bn名学生 1 若 a1 500 求 a2 a3 2 求 an 并说明随着时间推移 选 A 种菜的学生将稳定在 600 名附近 13 2012 怀化二模 2010 年 中国浙江吉利控股集团有限公司以 18 亿美元收购沃尔沃汽车公司 并计划投资 20 亿美元来发展该品牌 据专家预测 从 2010 年起 沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加 10000 辆 2010 年 的销售量为 20000 辆 销售利润按照每年每辆比上一年减少 10 2010 年销售利润为 2 万美元 辆 计算 求 1 第 n 年的销售利润为多少 2 到 2014 年年底 中国浙江吉利控股集团有限公司能否通过沃尔沃汽车实现盈利 即销售利润超过总投资 0 95 0 59 14 2011 上海模拟 为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用 将癌细胞注入一只小白鼠体 内进行实验 经检测 癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表 已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过 108时小 白鼠将会死亡 注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的 98 天数 t1234567 癌细胞个数 N1248163264 1 要使小白鼠在实验中不死亡 第一次最迟应在第几天注射该种药物 精确到 1 天 2 若在第 10 天 第 20 天 第 30 天 给小白鼠注射这种药物 问第 38 天小白鼠是否仍然存活 请说明理 由 15 2011 普陀区三模 为了缓解城市道路拥堵的局面 某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准 并实行 累进加价收费 已公布的征求意见稿是这么叙述此收费标准的 中心城区占道停车场 收费标准为每小时 10 元 并实行累进加价制度 占道停放 1 小时后 每小时按加价 50 收费 方案公布后 这则 累进加价 的算法却在媒体上引发了争议 可查询 2010 年 12 月 14 日的相关国内新闻 请你用 所学的数学知识说明争议的原因 并请按照一辆普通小汽车一天内连续停车 14 小时测算 根据不同的解释 收费 各应为多少元 16 2011 江苏模拟 某县为了贯彻落实党中央国务院关于农村医疗保险 简称 医保 政策 制定了如下实施方 案 2009 年底通过农民个人投保和政府财政投入 共集资 1000 万元作为全县农村医保基金 从 2010 年起 每年 报销农民的医保费都为上一年底医保基金余额的 10 并且每年底县财政再向医保基金注资 m 万元 m 为正常数 以 2009 年为第一年 求第 n 年底该县农村医保基金有多少万元 根据该县农村人口数量和财政状况 县政府决定每年年底的医保基金要逐年增加 同时不超过 1500 万元 求每年新增医保基金 m 单位 万元 应控制在什么范围内 高中数列应用题专题训练精选集高中数列应用题专题训练精选集 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 16 小题 小题 1 2012 湖南 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产 该企业第一年年初有资金 2000 万元 将其投入 生产 到当年年底资金增长了 50 预计以后每年年增长率与第一年的相同 公司要求企业从第一年开始 每年 年底上缴资金 d 万元 并将剩余资金全部投入下一年生产 设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an万元 用 d 表示 a1 a2 并写出 an 1与 an的关系式 若公司希望经过 m m 3 年使企业的剩余资金为 4000 万元 试确定企业每年上缴资金 d 的值 用 m 表示 考点 数列的应用 根据实际问题选择函数类型 1704323 专题 计算题 综合题 分析 由题意可求得 a1 2000 1 50 d a2 a1 1 50 d 从而归纳出 an 1 an d 由 得 an an 1 d an 2 d d a1 d 1 利用等 比数列的求和公式可求得 an 3000 3d 2d 再结合题意 am 4000 即可确定企业每年上缴资金 d 的值 解答 解 由题意得 a1 2000 1 50 d 3000 d a2 a1 1 50 d a1 d 4500 d an 1 an 1 50 d an d 由 得 an an 1 d an 2 d d an 2 d d a1 d 1 整理得 an 3000 d 2d 1 3000 3d 2d 由题意 am 4000 即 3000 3d 2d 4000 解得 d 故该企业每年上缴资金 d 的值为时 经过 m m 3 年企业的剩余资金为 4000 万 元 点评 本题考查数列的应用 着重考查归纳思想的运用 求得 an 1 an d 是关键 递推关系的综合应用是难点 突出转化与运算能力的考查 属于难题 2 2010 湖北 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a 单位 m2 其中有部分旧住房需要拆除 当地 有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10 建设新住房 同事也拆除面积为 b 单位 m2 的旧住房 分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30 则每年拆除的旧住房面积 b 是多少 计算时取 1 15 1 6 考点 数列的应用 1704323 专题 应用题 分析 1 由题意要知第 1 年末的住房面积 第 2 年末的住房面积 第 5 年末的住房面积 依题意可知 1 6a 6b 1 3a 由此解得每年拆除的旧房面积为 解答 解 1 第 1 年末的住房面积 第 2 年末的住房面积 第 3 年末的住房面积 第 4 年末的住房面积 第 5 年末的住房面积 a 5 b 依题意可知 1 6a 6b 1 3a 解得 所以每年拆除的旧房面积为 点评 本题考查数列性质的综合运用 解题时要认真审题 注意挖掘题设中的隐含条件 3 2007 上海 近年来 太阳能技术运用的步伐日益加快 2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦 年生 产量的增长率为 34 以后四年中 年生产量的增长率逐年递增 2 如 2003 年的年生产量的增长率为 36 1 求 2006 年全球太阳电池的年生产量 结果精确到 0 1 兆瓦 2 目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量 2006 年的实际安装量为 1420 兆瓦 假设以 后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42 到 2010 年 要使年安装量与年生产量基本持平 即年安装 量不少于年生产量的 95 这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少 结果精确到 0 1 考点 数列的应用 函数模型的选择与应用 1704323 专题 应用题 分析 1 先把每年的年生产量的增长率求出来 再代入 2006 年全球太阳电池的年生产量的计算公式即可 2 分别求出 2010 年时对应的年安装量与年生产量 再解关于年安装量不少于年生产量的 95 的不等式 即可求出年安装量的平均增长率 解答 解 1 由已知得 2003 2004 2005 2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为 36 38 40 42 则 2006 年全球太阳电池的年生产量为 670 1 36 1 38 1 40 1 42 2499 8 兆瓦 2 设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x 则 解得 x 0 615 因此 这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 61 5 点评 本题考查数列在实际生活中的应用问题 对于这一类型题 关键点是分清是等差数列还是等比数列 4 2005 上海 假设某市 2004 年新建住房面积 400 万平方米 其中有 250 万平方米是中低价房 预计在今后的 若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8 另外 每年新建住房中 中低价房的面积均比上一年增 加 50 万平方米 那么 到哪一年底 1 该市历年所建中低价层的累计面积 以 2004 年为累计的第一年 将首次不少于 4750 万平方米 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85 考点 数列的应用 1704323 专题 计算题 应用题 分析 1 设中低价房面积形成数列 an 由题意可知 an 是等差数列 求得首项和公差 利用等差数列的求和 公式求得 Sn 进而根据 Sn 4750 求得 n 的最小值 2 设新建住房面积形成数列 bn 由题意可知 bn 是等比数列 根据题意可求得数列的首项和公比 则 数列的通项公式可得 进而 an 0 85bn 求得 n 的最小正整数 解答 解 1 设中低价房面积形成数列 an 由题意可知 an 是等差数列 其中 a1 250 d 50 则 Sn 250n 25n2 225n 令 25n2 225n 4750 即 n2 9n 190 0 而 n 是正整数 n 10 到 2013 年底 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米 2 设新建住房面积形成数列 bn 由题意可知 bn 是等比数列 其中 b1 400 q 1 08 则 bn 400 1 08 n 1 由题意可知 an 0 85bn 有 250 n 1 50 400 1 08 n 1 0 85 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n 6 到 2009 年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85 点评 本题主要考查了数列的应用 解题的关键是利用题设条件判断出数列的类型 根据等差或等比数列的性质 来解决 5 2005 湖南 自然状态下的鱼类是一种可再生资源 为持续利用这一资源 需从宏观上考察其再生能力及捕捞 强度对鱼群总量的影响 用 xn表示某鱼群在第 n 年年初的总量 n N 且 x1 0 不考虑其它因素 设在第 n 年 内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn成正比 死亡量与 xn2成正比 这些比例系数依次为正常数 a b c 求 xn 1与 xn的关系式 猜测 当且仅当 x1 a b c 满足什么条件时 每年年初鱼群的总量保持不变 不要求证明 设 a 2 b 1 为保证对任意 x1 0 2 都有 xn 0 n N 则捕捞强度 b 的 最大允许值是多少 证明你的结论 考点 数列的应用 1704323 专题 综合题 压轴题 转化思想 分析 利用题中的关系求出鱼群的繁殖量 被捕捞量和死亡量就可得到 xn 1与 xn的关系式 每年年初鱼群的总量保持不变就是 xn恒等于 x1 转化为 xn 1 xn 0 恒成立 再利用 的结论 就可找到 x1 a b c 所满足的条件 先利用 的结论找到关于 xn和 b 的不等式 再利用 x1 0 2 求出 b 的取值范围以及 b 的 最大允许值 最后在用数学归纳法进行证明即可 解答 解 I 从第 n 年初到第 n 1 年初 鱼群的繁殖量为 axn 被捕捞量为 bxn 死亡量为 cxn2 因此 xn 1 xn axn bxn cxn2 n N 即 xn 1 xn a b 1 cxn n N II 若每年年初鱼群总量保持不变 则 xn恒等于 x1 n N 从而由 式得 xn a b cxn 恒等于 0 n N 所以 a b x1 0 即 x1 因为 x1 0 所以 a b 猜测 当且仅当 a b 且 x1 每年年初鱼群的总量保持不变 若 b 的值使得 xn 0 n N 由 xn 1 xn 3 b xn n N 知 0 xn 3 b n N 特别地 有 0 x1 3 b 即 0 b 3 x1 而 x1 0 2 所以 b 0 1 由此猜测 b 的最大允许值是 1 下证当 x1 0 2 b 1 时 都有 xn 0 2 n N 当 n 1 时 结论显然成立 假设当 n k 时结论成立 即 xk 0 2 则当 n k 1 时 xk 1 xk 2 xk 0 又因为 xk 1 xk 2 xk xk 1 2 1 1 2 所以 xk 1 0 2 故当 n k 1 时结论也成立 由 可知 对于任意的 n N 都有 xn 0 2 综上所述 为保证对任意 x1 0 2 都有 xn 0 n N 则捕捞强度 b 的最大允许值是 1 点评 本题是对数列 函数 数学归纳法等知识的综合考查 在作数列方面的应用题时 一定要认真真审题 仔 细解答 避免错误 6 2004 上海 某市 2003 年共有 1 万辆燃油型公交车 有关部门计划于 2004 年投入 128 辆电力型公交车 随后 电力型公交车每年的投入比上一年增加 50 试问 1 该市在 2010 年应该投入多少辆电力型公交车 2 到哪一年底 电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 考点 数列的应用 等比数列的前 n 项和 1704323 专题 应用题 分析 1 该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列 an 其中 a1 128 q 1 5 由此可知答案 2 记 Sn a1 a2 an 依据题意 得 于是 辆 解 可得答案 解答 解 1 该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列 an 其中 a1 128 q 1 5 则在 2010 年应该投入的电力型公交车为 a7 a1 q6 128 1 56 1458 辆 2 记 Sn a1 a2 an 依据题意 得 于是 辆 即 则有 n 7 5 因此 n 8 所以 到 2011 年底 电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 点评 本题考查数列的性质和应用 解题时要认真审题 仔细解答 7 2004 福建 某企业 2003 年的纯利润为 500 万元 因设备老化等原因 企业的生产能力将逐年下降 若不能 进行技术改造 预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元 今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术 改造 预测在未扣除技术改造资金的情况下 第 n 年 今年为第一年 的利润为 500 1 万元 n 为正整数 设从今年起的前 n 年 若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An万元 进行技术改造后的累计纯利润为 Bn万元 须扣除技术改造资金 求 An Bn的表达式 依上述预测 从今年起该企业至少经过多少年 进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计 纯利润 考点 数列的应用 1704323 专题 应用题 分析 依题设 An 500 20 500 40 500 20n Bn 500 1 1 1 600 由此能够导出 An Bn的表达式 由题意知 Bn An 500n 100 490n 10n2 10n2 10n 100 10 n n 1 10 再由函 数的单调性可知至少经过 4 年 该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润 解答 解 依题设 An 500 20 500 40 500 20n 490n 10n2 Bn 500 1 1 1 600 500n 100 Bn An 500n 100 490n 10n2 10n2 10n 100 10 n n 1 10 因为函数 y x x 1 10 在 上为增函数 当 1 n 3 时 n n 1 10 12 10 0 当 n 4 时 n n 1 10 20 10 0 仅当 n 4 时 Bn An 答 至少经过 4 年 该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润 点评 本题主要考查建立函数关系式 数列求和 不等式的等基础知识 考查运用数学知识解决实际问题的能 力 8 2013 江门二模 环保刻不容缓 或许人类最后一滴水将是自己的泪水 某地水资源极为紧张 且受工业污染 严重 预计 20 年后该地将无洁净的水可用 当地决定重新选址建设新城区 同时对旧城区进行拆除 已知旧城区 的住房总面积为 64am2 每年拆除的数量相同 新城区计划第一年建设住房面积 am2 前四年每年以 100 的增长 率建设新住房 从第五年开始 每年都比上一年增加 am2 设第 n n 1 且 n N 年新城区的住房总面积为 anm2 该地的住房总面积为 bnm2 1 求 an 的通项公式 2 若每年拆除 4am2 比较 an 1与 bn的大小 考点 数列的应用 1704323 专题 计算题 等差数列与等比数列 分析 1 分 1 n 4 时和 n 5 时两种情况加以讨论并结合等差 等比数列的通项公式 分别求出第 n 年新城区 的住房建设面积为 n关于 n a 的表达式 再利用等差 等比数列的求和公式即可求出 an 的通项公式关 于 n 的分段形式的表达式 2 根据 1 n 3 n 4 和 5 n 11 时 an 1和 bn的表达式 结合作差法比较不等式大小 可得 an 1 bn 而 当 n 12 时可得 an 1 bn 5n 59 a 0 从而得到 an 1 bn 最后加以综合即可得到 an 1与 bn的大小的两 种情况 解答 解 1 设第 n 年新城区的住房建设面积为 nm2 则当 1 n 4 时 n 2n 1a 1 分 当 n 5 时 n n 4 a 所以 当 1 n 4 时 an 2n 1 a 当 n 5 时 an a 2a 4a 8a 9a n n 4 a a an 2 当 1 n 3 时 an 1 2n 1 1 a bn 2n 1 a 64a 4na 显然有 an 1 bn 当 n 4 时 an 1 a5 24a bn b4 63a 此时 an 1 bn 当 5 n 16 时 an 1 bn an 1 bn 5n 59 a 当 5 n 11 时 an 1 bn 当 12 n 16 时 an 1 bn 当 n 17 时 显然 an 1 bn 故当 1 n 11 时 an 1 bn 当 n 12 时 an 1 bn 点评 本题给出数列的实际应用题 求 an 的通项公式并比较 an 1和 bn的大小 着重考查了等差 等比数列的通 项公式与求和公式 以及不等式比较大小等知识 属于中档题 9 2012 宁德模拟 我国政府积极应对气体变化 提出 到 2020 年碳排放强度要比 2005 年下降 40 的减排目 标 已知 2005 年我国碳排放强度约为 3 吨 万元 以后每年的碳排放强度均比上一年减少 0 08 吨 万元 1 问能否在 2020 年实现减排目标 说明理由 2 若 2005 年我国国内生产总值为 a 万元 且以后每年均以 8 的速度递增 问从哪一年起二氧化碳排放量开始 减少 注释 碳排放强度 是指每万元国内生产总值的二氧化碳排放量 考点 数列的应用 1704323 专题 综合题 分析 1 由题意得 2005 年起每年的碳排放强度构成等差数列 an 且 a1 3 d 0 08 求出数列的通项 可 得 2020 年碳排放强度 即可求得结论 2 求出第 n 年国内生产总值 可得第 n 年全国二氧化碳排放总量为 bn a 1 08n 1 3 08 0 08n 利用 bn 1 bn 0 即可求得结论 解答 解 1 由题意得 2005 年起每年的碳排放强度构成等差数列 an 且 a1 3 d 0 08 an 3 n 1 0 08 3 08 0 08n 2020 年碳排放强度为 a15 3 08 0 08 15 1 8 3 1 40 1 8 2020 年能实现减排目标 2 从 2005 年起 逐年国内生产总值构成首项为 a 公比为 1 08 的等比数列 所以第 n 年国内生产总值 为 a 1 08n 1万元 由 1 知 第 n 年碳排放强度为 an 3 08 0 08n 故第 n 年全国二氧化碳排放总量为 bn a 1 08n 1 3 08 0 08n bn 1 bn a 1 08n 1 0 16 0 0064n 由 bn 1 bn 0 解得 n 25 故从 2030 年起二氧化碳排放量开始减少 点评 本题考查数列知识的运用 考查学生分析解决问题的能力 解题的关键是确定数列模型 属于中档题 10 2012 蓝山县模拟 某企业的产品以往专销欧美市场 在全球金融风暴的影响下 欧美市场的销量受到严重 影响 该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场 并基本形成了市场规模 自 2009 年 9 月以来的第 n 个月 2009 年 9 月为第一个月 产品的内销量 出口量和销售总量 销售总量 内销量与出口量的和 分别为 bn cn 和 an 单位 万件 依据销售统计数据发现形成如下营销趋势 bn 1 aan cn 1 an b an2 其中 a b 为常数 已知 a1 1 万件 a2 1 5 万件 a3 1 875 万件 1 求 a b 的值 并写出 an 1与 an满足的关系式 2 试用你所学的数学知识论证销售总量 an逐月递增且控制在 2 万件内 3 试求从 2009 年 9 月份以来的第 n 个月的销售总量 an关于 n 的表达式 考点 数列的应用 1704323 专题 综合题 分析 1 依题意 an 1 bn 1 cn 1 aan an ban2 将 n 取 1 2 构建方程组 即可求得 a b 的值 从而可得 an 1与 an满足的关系式 2 证法 先证明 an 1 2an an2 an 2 2 2 2 于是 an 2 再用作差法证明 an 1 an 从而可 得结论 方法 用数学归纳法证明 关键是假设 n k 时 ak ak 1 2 成立 利用函数 f x x2 2x x 2 2 2 在 0 2 上为增函数 可证得 ak 1 ak 2 2 成立 3 由 an 1 2an an2 可得 lg 2 an 1 lg2 为等比数列 公比为 2 首项为 lg 2 从而可得结论 解答 解 1 依题意 an 1 bn 1 cn 1 aan an ban2 a2 aa1 a1 ba12 a 1 b 又 a3 aa2 a2 ba22 a b 2 解 得 a 1 b 从而 an 1 2an an2 n N 4 分 2 证法 由于 an 1 2an an2 an 2 2 2 2 但 an 1 2 否则可推得 a 1 a 2 2 与 a 1 1 a2 1 5 矛盾 故 an 1 2 于是 an 2 又 an 1 an an2 2an an an an 2 0 所以 an 1 an 从而 an an 1 2 9 分 证法 由数学归纳法 i 当 n 1 时 a1 1 a2 1 5 显然 a1 a2 2 成立 ii 假设 n k 时 ak ak 1 2 成立 由于函数 f x x2 2x x 2 2 2 在 0 2 上为增函数 则 f ak f ak 1 f 2 即 ak 4 ak ak 1 4 ak 1 2 4 2 即 ak 1 ak 2 2 成立 综上可得 n N 有 an an 1 2 9 分 3 由 an 1 2an an2得 2 an 1 2 an 2 2 即 2 an 1 2 an 2 又由 2 an an 1 2 可知 2 an 1 0 2 an 0 则 lg 2 an 1 2lg 2 an lg 2 lg 2 an 1 lg2 2 lg 2 an lg2 即 lg 2 an 1 lg2 为等比数列 公比为 2 首项为 lg 2 a1 lg 2 lg 2 故 lg 2 an lg 2 lg 2 2n 1 an 2 2 n N 为所求 13 分 点评 本题考查数列的关系式 数学归纳法的应用 数列的函数特征 函数的单调性的应用 数列通项公式的求 法 考查转化思想 逻辑推理能力 11 2012 蓝山县模拟 某学校餐厅为了保证每天供应 1000 名学生用餐 每星期一都提供有 A B 两种菜可供学 生选择 每个学生都将从二种中选一种 经调查 凡是在本周星期一选 A 菜的 下周星期一会有 20 改选 B 而 选 B 菜的 下周星期一则有 30 改选 A 用 an bn分别表示在第 n 个星期一选 A B 菜的人数 a1 b1表示本周 星期一选 A 菜人数 若 a1 200 1 试以 an表示 an 1 2 证明 an 的通项公式是 3 试问从第几个星期一开始 选 A 人数超过选 B 的人数 考点 数列的应用 1704323 专题 应用题 等差数列与等比数列 分析 1 根据在本周星期一选 A 菜的 下周星期一会有 20 改选 B 而选 B 菜的 下周星期一则有 30 改选 A 结合 an bn 1000 即可以 an表示 an 1 2 确定 an 600 可以看成是首项为 400 公比为 的等比数列 即可证得结论 3 由 an bn 1000 an bn得 an 500 结合 2 的结论 即可求出结论 解答 1 解 由题可知 在本周星期一选 A 菜的 下周星期一会有 20 改选 B 而选 B 菜的 下周星期一 则有 30 改选 A an 1 an 1 0 2 0 3 bn 又 an bn 1000 所以整理得 4 分 2 证明 a1 200 且 即 an 600 可以看成是首项为 400 公比为 的等比数列 9 分 3 解 由 an bn 1000 an bn得 an 500 又 即 n 3 答 从第 4 个星期一开始 选 A 人数超过选 B 人数 13 分 点评 本题考查数列的应用 考查求数列的通项 解题的关键是确定数列递推式 从而确定数列的通项 12 2012 江门一模 某学校每星期一供应 1000 名学生 A B 两种菜 调查表明 凡在这星期一选 A 种菜的 下 星期一会有 20 改选 B 种菜 而选 B 种菜的 下星期一会有 30 改选 A 种菜 设第 n 个星期一选 A B 两种菜分 别有 an bn名学生 1 若 a1 500 求 a2 a3 2 求 an 并说明随着时间推移 选 A 种菜的学生将稳定在 600 名附近 考点 数列的应用 1704323 专题 等差数列与等比数列 分析 1 根据 凡是在这星期一选 A 菜的 下星期一会有 20 改选 B 而选 B 菜的 下星期一则有 30 改选 A 直接建立等式关系 2 根据题意可得 an an 1 1 20 bn 1 30 可转换成 an 600 是以 a1 600 为首项 为公比的等比数 列 可求出 an 根据数列的解析式可求推出选 A 种菜的学生将稳定在 600 名附近 解答 解 1 a2 500 1 20 1000 500 30 550 2 分 a3 550 1 20 1000 550 30 575 4 分 2 n N n 1 an an 1 1 20 bn 1 30 5 分 an 1 1 20 1000 an 1 30 7 分 所以 an 600 an 1 600 9 分 an 600 是以 a1 600 为首项 为公比的等比数列 10 分 an 600 a1 600 11 分 即 an 600 a1 600 12 分 随着时间推移 即 n 越来越大时 趋于 0 13 分 所以 a1 600 趋于 0 an趋于 600 并稳定在 600 附近 14 分 点评 本题主要考查了数列知识在生产实际中的应用 解题时要认真审题 理清题设中的数量关系 合理地运用 数列知识进行求解 属于中档题 13 2012 怀化二模 2010 年 中国浙江吉利控股集团有限公司以 18 亿美元收购沃尔沃汽车公司 并计划投资 20 亿美元来发展该品牌 据专家预测 从 2010 年起 沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加 10000 辆 2010 年 的销售量为 20000 辆 销售利润按照每年每辆比上一年减少 10 2010 年销售利润为 2 万美元 辆 计算 求 1 第 n 年的销售利润为多少 2 到 2014 年年底 中国浙江吉利控股集团有限公司能否通过沃尔沃汽车实现盈利 即销售利润超过总投资 0 95 0 59 考点 数列的应用 1704323 专题 应用题 分析 1 根据沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加 10000 辆 可知汽车的销售量构成了首项为 20000 公差 为 10000 的等差数列 沃尔沃汽车销售利润按照每年比上一年减少 10 可知每辆汽车的销售利润构成了 首项为 2 公比为 1 10 的等比数列 故可求第 n 年的销售利润 2 求出中国浙江吉利控股集团有限公司利润总和 与总投资比较 即可得出结论 解答 解 1 沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加 10000 辆 因此汽车的销售量构成了首项为 20000 公 差为 10000 的等差数列 an 10000 10000n 沃尔沃汽车销售利润按照每年比上一年减少 10 因此每辆汽车的销售利润构成了首项为 2 公比为 1 10 的等比数列 bn 2 0 9n 1 第 n 年的销售利润为 cn an bn 10000 10000n 2 0 9n 1 2 记到 2014 年年底 中国浙江吉利控股集团有限公司利润总和为 S 万美元 则 S 20000 2 30000 2 0 9 40000 2 0 92 50000 2 0 93 60000 2 0 94 31 2 亿美元 即到 2014 年底 盈利总额为 31 2 亿美元 而投资 38 亿美元 故不能实现盈利 点评 本题考查数列模型的构建 考查利用数学知识解决实际问题 解题的构建是确定数列模型 14 2011 上海模拟 为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用 将癌细胞注入一只小白鼠体 内进行实验 经检测 癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表 已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过 108时小 白鼠将会死亡 注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的 98 天数 t1234567 癌细胞个数 N1248163264 1 要使小白鼠在实验中不死亡 第一次最迟应在第几天注射该种药物 精确到 1 天 2 若在第 10 天 第 20 天 第 30 天 给小白鼠注射这种药物 问第 38 天小白鼠是否仍然存活 请说明理 由 考点 数列的应用 1704323 专题 综合题 分析 1 根据表格可得癌细胞个数 成等比数列增长 首项为 1 公比为 2 其通项为 at 2t 1 要使小白鼠在 实验中不死亡 可建立不等式 2t 1 108 即可求得结论 2 设第 n 次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为 an 可得 an 210n 1 1 98 n 从而可知第 3 次 注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数 由此可得结论 解答 解 1 根据表格可得癌细胞个数 成等比数列增长 首项为 1 公比为 2 其通项为 at 2t 1 要使小白鼠在实验中不死亡 则 2t 1 108 即 t 1 8log210 解得 t 27 58 第一次最迟应在 27 天注射该种药物