4.3.2空间两点间的距离公式

4 3 2空间两点间的距离公式 第四章 4 3空间直角坐标系 学习目标1 了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程 2 会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点空间两点间的距离公式 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 若长方体的长 宽 高分别为a b c 则其对角线AC1的长等于多少 答案 梳理 题型探究 例1如图 正方体ABCD A B C D 的棱长为a AN 2 CN BM 2 MC 求 MN 的长 解答 类型一求空间两点间的距离 解建立如图所示空间直角坐标系 过M作MF垂直BC于F 连接NF 显然MF垂直于平面ABCD 所以MF NF 因为 BM 2 MC 所以 BF 2 FC 又 AN 2 CN 所以NF AB 在平面直角坐标系中 我们学习了很多性质 但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用 如平面直角坐标系中的中点坐标公式 两点间距离公式可类比到三维空间中 而对直线方程及一些判定定理 性质则在三维空间中不适用 反思与感悟 跟踪训练1如图所示 在直三棱柱ABC A1B1C1中 C1C CB CA 2 AC CB D E分别是棱AB B1C1的中点 F是AC的中点 求DE EF的长度 解答 解以点C为坐标原点 CA CB CC1所在直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 C1C CB CA 2 C 0 0 0 A 2 0 0 B 0 2 0 C1 0 0 2 B1 0 2 2 由中点坐标公式 可得D 1 1 0 E 0 1 2 F 1 0 0 例2已知点A 4 5 6 B 5 0 10 在z轴上有一点P 使 PA PB 则点P的坐标为 类型二求空间点的坐标 答案 解析 0 0 6 解得z 6 点P的坐标为 0 0 6 解析设P 0 0 z 由 PA PB 引申探究1 若本例中已知条件不变 问能否在z轴上找一点P 使得 ABP是以AB为底边的等腰三角形 解答 解与例2的结论一样 P 0 0 6 2 若本例中 在z轴上 改为 在y轴上 其他条件不变 结论又如何 解答 解设P 0 y 0 由 PA PB 1 若已知点到定点的距离以及点在特殊位置 则可直接设出该点坐标 利用待定系数法求解点的坐标 2 若已知一点到两个定点的距离之间的关系 以及其他的一些条件 则可以列出关于点的坐标的方程进行求解 反思与感悟 解答 跟踪训练2设点P在x轴上 使它到点P1 0 3 的距离是到点P2 0 1 1 的距离的2倍 求点P的坐标 解因为P在x轴上 所以设P点坐标为 x 0 0 因为 PP1 2 PP2 所以x 1 所以点P的坐标为 1 0 0 或 1 0 0 例3已知正方形ABCD ABEF的边长都是1 且平面ABCD 平面ABEF 点M在AC上移动 点N在BF上移动 若 CM BN 1 求 MN 的长 类型三空间两点间距离公式的应用 解答 解 平面ABCD 平面ABEF 平面ABCD 平面ABEF AB AB BE BE 平面ABCD AB BC BE两两垂直 过点M作MG AB MH BC 垂足分别为G H 连接NG 易证NG AB CM BN a 以B为原点 以BA BE BC所在的直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz 2 当a为何值时 MN 的长最小 解答 距离是几何中的基本度量问题 无论是在几何问题中 还是在实际问题中 都会涉及距离的问题 它的命题方向往往有三个 1 求空间任意两点间的距离 2 判断几何图形的形状 3 利用距离公式求最值 反思与感悟 跟踪训练3如图所示 正方体棱长为1 以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴 建立空间直角坐标系Oxyz 点P在正方体的体对角线AB上 点Q在正方体的棱CD上 当点P为体对角线AB的中点 点Q在棱CD上运动时 求 PQ 的最小值 解答 Q点在CD上 设Q 0 1 z z 0 1 当堂训练 2 3 4 5 1 1 坐标原点到下列各点距离最大的点是A 1 1 1 B 1 2 2 C 2 3 5 D 3 0 4 答案 2 3 4 5 1 2 已知点A x 1 2 和点B 2 3 4 且 AB 则实数x的值是A 3或4B 6或2C 3或 4D 6或 2 答案 解析 解得x 6或x 2 解析由空间两点间的距离公式 2 3 4 5 1 3 已知三角形的三个顶点A 2 1 4 B 3 2 6 C 5 0 2 则过A点的中线长为 答案 解析 解析 BC的中点坐标为 4 1 2 4 如图 在空间直角坐标系中 有一棱长为a的正方体ABCD A B C D A C的中点E与AB的中点F的距离为 答案 解析 解析 A a 0 a C 0 a 0 A a 0 0 B a a 0 2 3 4 5 1 5 已知点A 1 a 5 B 2a 7 2 则 AB 的最小值为 答案 解析 2 3 4 5 1 规律与方法 1 空间两点间的距离公式是