第五章特征值和特征向量PPT课件

第五章特征值和特征向量 矩阵的对角化 矩阵的特征值矩阵的特征向量矩阵可对角化的条件 5 1预备知识 一 向量的内积 在空间解析几何中 向量的内积 即数量积或点积 描述了内积与向量的长度及夹角间的关系 内积定义 夹角 向量的长度 内积的坐标表示式 令 称为向量x与y的内积 定义1设有n维向量 1 向量x与y的内积是一个实数 注 2 常用符号 x y x y x y 3 零向量与任一向量的内积为0 当x与y都是列向量时 可以用矩阵乘法表示内积为 例1 已知 1 2 1 1 T 2 3 1 1 T 则 1 2 2 3 1 1 1 1 6 也称点积 数量积 x y xTy yTx 不可省略 性质 其中x y z为n维向量 为实数 1 2 3 4 当且仅当时等号 成立 以上性质显然成立 定义2 称为维向量的长度 或范数 令 设x x1 x2 xn T 显然 x 0 当 x 1时 称x为单位向量 零向量的长度为0 a1 a2 a1 a2 a3 n维向量的长度是二维 三维的推广 在R2中 在R3中 证 向量的长度具有下述性质 1 非负性 2 齐次性 3 三角不等式 为实数 1 显然成立 下面证明 2 和 3 即数乘向量 x的长度 x 等于 与 x 的乘积 2 根据上式可知 设 是非零向量 是一个单位向量 则 这是因为 任一非零向量除以它的长度后 就成了单位向量 这一过程称为将向量单位化 3 所以 由此得 当且仅当x与y线性相关时 等号才成立 对任意n维向量x y Cauchy Schwarz不等式 有 此不等式还可表示为 如果x与y线性相关 不妨设y kx 则有 证 x y 2 设x与y线性无关 tx y 0 tx y tx y 0 即 t2 x x 2t x y y y 0 的判别式一定小于零 即 x y 2 x x y y 0 或 x y 2 x x y y 那么对于任意实数t来说 于是 最后不等式左端是t的一个二次三项式 由于 它对于t的任意实数值来说都是正数 所以它 x kx 2 k2 x x 2 x x y y 定义3当时 定义4当时 称为维向量与的夹角 称向量与正交 或垂直 定义4 则称x与y正交 如果x与y的夹角 为 显然 零向量与任何向量都正交 若一个向量组中任意两个向量都正交 若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量 则称此向量组为 正交规范向量组或标准正交向量组 则称此向量组为正交向量组 定义5 例2 设 1 0 2 T 1 0 1 T 求 与 的夹角 解 1 1 0 0 2 1 1 所以 与 的夹角 的余弦 例3 解 0 设 1 1 1 T 1 0 1 T 求 与 的夹角 例4 Rn中的e1 e2 en是一组两两正交的向量 若i j 显然有ei ej 0 例5 是R4的一个标准正交向量组 可以验证 的非零向量组 证 k1 1 k2 2 kr r 0 i k1 1 k2 2 kr r 但 i i 0 则 1 2 r线性无关 若n维向量 1 2 r是一组两两正交 设有实数k1 k2 kr 使得 因为当i j时 i j 0 所以 所以 1 2 r线性无关 定理1 0 i 0 ki i i 所以ki 0 i 1 2 n 定理3 Rn中任一非零正交向量组中向量的个数 不会超过n 在Rn中 如果 与 1 2 r中每一个向量正交 证 k1 1 k2 2 kr r为 1 2 r的一个线性组合 因为 i 0 i 1 2 r 所以 定理2 则 与 1 2 r任意一个线性组合也正交 求非零向量 使成为正交向量组 已知 设 则 例6 解 即 由 得 从而有基础解系 取 即合所求 二 Schmidt正交化方法 设 是Rn中的两个向量 定义 记 称 为向量 在 上的投影纯量 记 称向量 为向量 在 上的投影向量 Schmidt正交化方法是将一组线性无关的向量 作如下的线性变换 化为一组 与之等价的正交向量组的方法 1 Schmidt正交化 令 可以证明 两两正交 且对任何 2 标准化 单位化 令 则 1 2 r就是一组长度都是1的正交向量组 先正交化 后标准化 次序不可颠倒 注 例7将 正交规范化 先将 1 2 3进行正交化 取 解 再将它们单位化 取 则即为所求 例8已知 1 1 2 2 T 求非零向量 2 3 2 3应满足方程 1Tx 0 它的基础解系为 取 2 1 使 1 2 3成为正交向量组 解 即x1 2x2 2x3 0 将 1 2正交化 3 2 则 2 3就是所求 定义6如果n阶方阵A满足 正交矩阵 即A 1 AT 那么称A为正交矩阵 简称正交阵 正交矩阵具有如下性质 1 若A是正交矩阵 则A 1和AT也是正交矩阵 2 两个正交阵的乘积仍是正交阵 3 正交阵的行列式等于1或 1 4 正交阵的同一行 列 的元素的平方和等于1 5 正交阵的两不同行 列 的对应元素乘积之和等于0 证 1 因为 A A 所以A A 1也是正交阵 2 设A B都是正交阵 则 AB AB 3 设A是正交阵 而 AA 因此 A 2 1 AB B A A BB A AEA AA E 则AA E AA E 1 A A A 2 即 A 1 设A是正交阵 即AA E 其中 i ai1 ai2 ain 4 和5 将A写成行向量的形式 则A的转置A 其中 其中 当i j时 当i j时 这样 性质4 和5 得证 列的情况可以通过A A E加以证明 定理4A为正交矩阵的充要条件是 A的行 列 向量组为正交规范向量组 证 由性质4 5可以直接推出 正交矩阵举例 1 n阶单位矩阵En 2 例9 已知A是正交阵 求x 解 根据定理4 设 则 1 1 1 即 2x 2 02 02 1x 设 设为正交变换 则有 定义7若P为正交矩阵 则线性变换 这说明 正交变换不改变向量的长度 称为正交变换 5 2特征值和特征向量 概念 定义1设A是n阶方阵 如果数 和n维非零 相应的非零列向量x称为 A的对应于特征值 的特征向量 方阵A的特征值 列向量x使关系式 Ax x 1 成立 则称 是 此处 可能是复数 注 也可能是复数 A的元素和x的分量 E A x 0 此为n元齐次线性方程组 A E x 0 A E 0 将 1 改写成 或改写为 它有非零解的充要条件是 2 即 定义 称为A的特征矩阵 其行列式 A E 是 的n次多项式 记为f 显然 A的特征值就是A的特征方程 方程 A E 0 称为A的特征方程 A E 0的根 因此 特征值也称为特征根 称为A的特征多项式 A为n阶方阵 含有未知量 的矩阵A E 方程组 A E x 0的每一个非零解向量 都是与 相应的特征向量 定理1任一n阶矩阵A必有n个复的特征值 证 因为一元n次方程必有n个复数根 包括重根 所以特征方程 A I 0有n个复数根 即A有n个复的特征值 定理2若x是A的关于特征值 0的特征向量 证 若Ax 0 x Ax 0 x 则 0 x 0 x x 0 且又是关于特征值 0的特征向量 则 0 0 0 0 0 0 0 x 0 定理3 证 其中k1 k2为任意常数 且k1 k2 0 k1 k2 也是 A E x 0解 设 和 均是A的特征值 的特征向量 则 线性组合k1 k2 也是A的特征值 的特征向量 根据定义 均为齐次线性方程组 A E x 0的解 由齐次线性方程组的解的性质 已知 试确定参数a b 由特征值和特征向量的定义可知 及特征向量 所对应的特征值 例1 是 的一个特征向量 解 即 于是 所以 故 特征值和特征向量的求法 1 求出阶方阵的特征多项式 求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤 2 求出特征方程的全部根 3 把每个特征值代入线性方程组 即是的特征值 求出基础解系 基础解系的线性组合 零向量除外 就是A 对应于的全部特征向量 A E x 0 例2求矩阵的特征值和特征向量 解 A的特征多项式为 所以A的特征值为 当时 对应的特征向量应满足 于是 的对应的全部特征向量为 容易求得方程组的一个基础解系为 当时 为常数 解得基础解系 于是 的对应的全部特征向量为 特征值和特征向量的性质 设A是n阶方阵 则A与AT有相同的特征值 特征向量未必相同 定理4 证 因为 A E T AT E 所以 AT E T AT E A E T A E 即A与AT有相同的特征多项式 从而有相同 的特征值 定理5设 是方阵A的特征值 k m是正整数 则 1 c 是cA的特征值 c是任意常数 2 当A可逆时 1是A 1的特征值 3 k是Ak的特征值 4 是 的特征值 证 1 所以c Ax c x 2 因为Ax x 且A可逆 x A 1x 所以A 1 Ax A 1 x 即 A 1x 即 cA x c x 因为Ax x A 1x 3 因为Ax x 两端同时左乘A 得 A2x A x Ax 2x 两端再同时左乘A 得 A3x A 2x 2 Ax 3x 依此类推 得 Amx mx 4 可由 1 3 推出 定理6设阶方阵的个特征值为 1 角元之和 称为矩阵A的迹 2 n阶方阵A可逆的充要条件是它的 则 推论 任一特征值都不等于零 是A的主对 其中 记作tr A 定义 的迹 矩阵的迹有如下的性质 1 tr A B trA trB 3 tr AT tr A 2 tr kA ktr A n阶方阵A的主对角线上元素之和称为矩阵A 记为 tr A 即 tr A a11 a22 ann 4 tr AB tr BA 5 tr ABC tr CAB tr BCA A B C均为n阶方阵 定理6的证明 把矩阵A的特征多项式 E A 记为fA 将这个行列式展开 得到一个关于 的n次多项式 其最高次项 n出现在主对角元的乘积 a11 a22 ann 中 主对角线上的元素 行列式的展开式中其余的项至多含有n 2个 因此 a11 a22 ann 中 fA n a11 a22 ann n 1 1 这里没有写出的项的次数至多是n 2 在 1 式中 令 0 得到fA 0 1 n A fA 是 a11 a22 ann 因此 fA 中次数大于n 2的项只出现在乘积 和一个至多是 的一个n 2次多项式之和 也就是说 A的特征多项式fA E A 的常数项 等于 1 n A 所以 设 1 2 n是矩阵A的全部特征根 fA 1 2 n n 1 n n 1 1 n 1 2 n 因此 有 1 2 n a11 ann 1 2 n A 那么 定理7设是方阵的个特征值 依次是与之对应的特征向量 如果各不相等 则 线性无关 证明参见教材 注 方阵A的同一特征根的特征向量未必线性相关 例3三阶方阵A的三个特征值分别为 求 故A可逆 而 所以 解 所以 A 的特征值为 则 A 的特征值为 若A的特征值为 于是 设有四阶方阵A满足条件 3E A 0 AA 2E 例4 由 3E A 0 有 A 3 E 0 解 又 AA 2E 24 E 16 所以 AA A A A 2 16 A 4 A 的一个特征值 A 0 其中E是四阶单位阵 求方阵A的伴随阵 3 因为 A 0 所以 A 4 得A的一个特征值 设A的属于 3的特征向量为 则 A 1 又 所以 A A 1 即 A A 故 A 的一个特征值为 A 4 A A A 1 例5 设方阵A满足AA E A 0 其中A 是A的转置 证明 设 为A的实特征向量 其所对应的特征值为 2 1 0 A A 2 因为 为实特征向量 所以 0 2 0 1 A 则 A A A A 由AA E 2 特征值的绝对值等于1 E为单位阵 试证A的实特征向量所对应的 例6 设矩阵A满足A2 3A 2E 0 证明A的特征值只能 证 设 为A的特征值 2 3 2 所以 2 3 2 0 故 1或2 则A 于是 取值 或2 为其对应的特征向量 0 0 A2 3A 2E A2 3A 2 因为 0 应用 发展与环保问题 为了定量分析工业发展与环境污染的关系 某地区提出如下增长模型 和为第个周期后的污染损耗和工业产值 即 或 由此模型及当前的水平 可以预测若干 发展周期后的水平 下面利用矩阵特征值和特征向量的有关性质 A的特征多项式为 所以 A的特征值为 来计算A的幂 为此 先计算A的特征值 对于特征值 解齐次线性方程组 的一个特征向量 对于特征值 解齐次线性方程组 的一个特征向量 可得的属于 可得的属于 如果当前的水平恰好等于 则时 即 它表明 经过n个发展周期后 工业产值已达 到一个相当高的水平 但其中一半被 污染损耗 2n 所抵消 造成资源的严重浪费 如果当前的水平 则不能直接 应用上述方法分析 于是 此时由于 特别地 当时 污染损耗为 由上面的分析可以看出 工业产值为 损耗已超过了产值 经济将出现负增长 尽管的特征向量没有实际意义 的线性组合 从而在分析过程中 仍具有重要作用 5 3相似矩阵 概念与性质 定义1设A B都是n阶方阵 若有可逆矩阵P 对进行运算称为对进行相似变换 可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵 使 则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似 相似矩阵有下列基本性质 1 反身性 2 对称性 3 传递性 A与A相似 若A与B相似 则B与A也相似 若A与B相似 B与C相似 则A与C相似 A B C为n阶方阵 根据定义可直接推出上述性质 若A与B相似 则 1 A与B有相同的特征多项式和特征值 2 3 4 Am与Bm也相似 其中m为正整数 5 相似矩阵或都可逆或都不可逆 定理1 当它们可逆时 它们的逆矩阵也相似 证明参见教材 定理2 证 若P 1AP B 0是A与B的某个特征值 若x是A关于 0的特征向量 P 1x是B的关于 0的特征向量 根据已知 Ax 0 x 即P 1x是B的关于 0的特征向量 B P 1x P 1 0 x 两边同时左乘P 1 PBP 1x 0 x 则 A PBP 1 所以 即 又因为P 1AP B 得到 0 P 1x 定理3 证 若n阶方阵A与对角阵 由定理1 相似阵有相同的特征值 则 1 2 n是A的n个特征值 相似 也是A的特征值 因此 1 2 n既是 的特征值 矩阵可对角化的条件 使P 1AP 为对角阵 若方阵A相似于一个对角矩阵 定义 则称A可以对角化 使为对角阵 把方阵A对角化 即存在可逆阵P 即求相似变换阵P 如果n阶方阵A有n个互不相等的特征值 是A有n个线性无关的特征向量 则A与对角矩阵相似 定理4 n阶方阵A相似于n阶对角矩阵的充要条件 推论 证明参见教材 从定理的证明过程中 我们可以看出把一个 1 先求出A的全部特征根 3 如果对每一个特征根 来说 相应的齐次线性 2 对每一个特征根 求出齐次线性方程组 A E X 0的基础解系 数 则A可以对角化 否则不能对角化 方程组的基础解系所含解向量的个数等于 的重 矩阵对角化的具体步骤 4 以这些解向量为列 作一个n阶矩阵P 则 P 1AP为对角形矩阵 例1 求可逆矩阵P 使P 1AP为对角矩阵 A 解 A的特征多项式为 E A 2 2 4 1 当 1 4时 代入齐次线性方程组 特征根为 1 4 2 3 2 E A x 0 即 基础解系为 2 当 2 3 2时 代入齐次线性方程组 即 基础解系为 E A x 0 A有3个线性无关的特征向量 因此A可以对角化 取 则P 1AP 例2 的特征值为 1 2 3 3 12 求x值 已知矩阵A 解 根据 1 2 3 a11 a22 a33 于是3 3 12 7 7 x 得x 4 并问矩阵A是否可以对角化 对于 1 2 3 解齐次线性方程组 3E A X 0 即 得特征向量 对于 3 12 解齐次线性方程组 12E A X 0 即 得特征向量 因此 1 2 3线性无关 故矩阵A可对角化 例3 相似 求x y值 设方阵A 解 1 2 x 16 x 8 1 32 0 由对角阵的对角元素与原方阵特征值的关系 与对角阵 由 E A 0 有 可知 5 4均为方程 的解 于是 将 4代入方程 得 25 x 4 16 x 4 72 0 又 1 2 3 a11 a22 a33 即1 4 1 5 y 4 x 4 y 5 例4已知矩阵 1 求与 2 求一个可逆矩阵 使 3 求 解 1 因A与B相似 故 即 将代入有 2 的特征值为 1 2 2 将代入有 解齐次线性方程组 可分别求得A的特征值对应的特征向量 于是所求可逆矩阵 使 3 由于 于是 所以 设A 使P 1AP 再求An 求 An 例5 解 先求P 容易求出A的特征值为1 1 0 P P 1 n P nP 1 5 4实对称矩阵的相似矩阵 定义 设A B是两个n阶实矩阵 如果存在一个 对于正交阵P 正交阵P 使得P 1AP B 则称A与B正交相似 因此 此时有P AP B 有P 1 P 实对称矩阵特征值的性质 实对称矩阵A的特征值均为实数 定理1 证 设 是A的特征值 并设x x1 x2 xn T 0 是 的特征向量 1 式两边取共轭 则 Ax x 1 根据共轭复数的性质 有 因为A是实对称矩阵 2 有 2 式两边取转置 则 上式两边同时右乘x 所以 即 但 x 0 所以 因此 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交 定理2 证 设 1 2是实对称阵A的两个不同特征值 1 2分别是 1 2特征向量 则 由 得 上式两边同时右乘 2 有 因此有 因为 所以 即 即 1 2正交 注 普通方阵A的属于不同特征值的特征向量 线性无关 设 是n阶实对称矩阵A的r重特征值 定理3 特征值 恰有r个线性无关的特征向量 则矩阵A E的秩为n r 从而对应 证明略 实对称矩阵的相似理论 定理4任意实对称矩阵A都与对角矩阵相似 定理5 设A为n阶实对称矩阵 则存在正交矩 阵P 使P 1AP 其中 是以A的n个特征值 为对角元素的对角矩阵 以上两个定理的证明参见教材 实对称矩阵对角化方法 n阶实对称矩阵A对角化的具体步骤 2 求出A的属于各特征值的特征向量 将属于 3 将所求的正交向量组单位化 4 用已标准正交化的特征向量作为列向量 得到正交阵P 同一特征值的特征向量用施密特方法正交化 1 求出A的所有特征值 例1设 求一个正交矩阵P 使为对角矩阵 A的特征方程为 解 当时 解方程组得 基础解系 单位化后得 当时 解方程组 故的特征值为 得基础解系 这两个向量已是正交 故只须将其单位化 得 于是求得正交矩阵 使 此时须先将正交化 值得注意的是 对于的二重特征值 上面求得的碰巧是正交的 故不必正交化 只要单位化即可 但如果求得的基础解系为 取 再单位化 得 于是又得正交矩阵 使 这也说明 定理5中的正交矩阵P是不唯一的 设6 3 3为实对称阵A的特征值 属于3 例2 1 求属于6的特征向量 2 求矩阵A 的特征向量为 解 设属于6的特征向量为 由定理知 属于实对称阵的不同特征值的特征向量正交 所以有 1 0 1 0 1 2 1 0 于是有 即 基础解系为 可以验证 已正交 将它们单位化 则所求正交阵为 例3 A的特征方程为 得A的特征值 1 1 2 2 3 5 求正交阵T 使T 1AT为对角阵 为实对称矩阵 设 解 将 1 1代入方程 A E X 0 得一属于 1 1的特征向量 将 2 2代入方程 A E X 0 得一属于 2 2的特征向量 将 3 5代入方程 A E X 0 得一属于 3 5的特征向量 已两两正交 分别属于三个不同的特征值 所以 因为 再把 单位化 取正交阵 于是有T 1AT 一关于特征值和特征向量的重要公式和结论 第五章小结 设A是n阶方阵 如果数 和n维非零列向量x使关系式 Ax x成立 则称 是A的特征值 非零列向量x称为A的对应于特征值 的特征向量 可能是复数 A的元素和x的分量也可能是复数 注 A必须是方阵 一 概念 1 是A的特征值 A E 0 A E 不可逆 2 x是 的特征向量 x是方程组 A E x 0的非零解 4 若 是A的关于特征值 的特征向量 则k k 0 也是A的关于 的特征向量 3 若 是A的关于特征值 的特征向量 则A 与 线性相关 5 若 都是A的特征值 的特征向量 则k1 k2 也是 的特征向量 其中k1 k2为任意常数 且k1 k2 0 二 重要公式和结论 1 任一n阶矩阵A必有n个复的特征值 但特征矩阵和特征向量不一定相同 2 A与AT有相同特征多项式 特征方程 特征值 3 设 1 2 n是n阶方阵A aij 的特征值 则 推论 A可逆的充要条件是A的特征值均不为0 4 设 是A的k重特征值 则k n R A E 6 设 1 2 n是A的一组特征向量 如果其中属于同一 5 设 1 2 m是方阵A的m个特征值 且互不相等 p1 p2 pm依次是与之对应的特征向量 则 注 方阵A的同一特征根的特征向量未必线性相关 p1 p2 pm线性无关 特征值的特征向量构成的部分都线性无关 则 1 2 n也线性无关 7 设 1 2是方阵A的两个特征值 且 1 2 分别是 1 2的特征向量 p1 p2 则p1 p2不是A的特征向量 8 设 是方阵A的特征值 k是常数 m是正整数 则kA A2 Am aA bE f A A 1 A 分别有特征值 为k 2 m a b f 1 设x是A的对应于特征值 的特征向量 则x也是kA A2 Am aA bE f A A 1 A 对应于特征值 k 2 m a b f 1 的特征向量 9 设f x 是多项式 A是n阶方阵 是A的特征值 若A满足f A 0 则 满足f 0 注 若数c满足f c 0 则c不是A的特征值 从而 A cE 0 即A cE可逆 但是 当数c满足f c 0时 不能确定c是A的特征值 从而不能确定A cE是否可逆 三 一些特殊矩阵的特征值和特征向量 1 n阶对角矩阵 3 n阶单位矩阵E的特征值都是1 4 n阶零矩阵的特征值是0 2 n阶数量矩阵aE的特征值都是a 且任意n维非零列向量都是它的特征向量 的特征值是 1 2 n 5 设n阶方阵A n 1 的秩r A 1 则A的n个特征值为 证 因为r A 1 所以 A 0 即0是A的一个特征值 其重数 又因为A的n个特征值之和为tr A 所以 A的n个特征值为 因此 当tr A 0时 A的n个特征值均为0 其重数n n r A n 1 此时A不可以对角化 当tr A 0时 特征值0的重数为n 1 此时A可以对角化 其重数 n r A 如果方阵A满足 即A 1 AT 那么A称为正交矩阵 简称正交阵 三关于正交矩阵的重要公式和结论 AAT E 注 通常用定义判断一个矩阵是否为正交矩阵 1 若A是正交矩阵 则A 1和AT也是正交矩阵 2 两个正交阵的乘积仍是正交阵 3 正交阵的行列式等于1或 1 4 正交阵的同一行 列 的元素的平方和等于1 5 正交阵的两不同行 列 的对应元素乘积之和等于0 重要公式和结论 6 A为正交矩阵的充要条件是 A的行 列 向量组为正交规范向量组 设A B都是n阶方阵 若有可逆矩阵P 使 则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似 四关于相似矩阵和对角化的重要公式和结论 相似矩阵有下列基本性质 反身性 对称性 传递性 若方阵A相似于一个对角矩阵 则称A可以对角化 若有正交阵P 使 则称A与B正交相似 此时有PTAP B 1 2 3 4 若A与B相似 则 1 A与B有相同的特征多项式和特征值 2 3 4 Am与Bm也相似 其中m为正整数 5 相似矩阵或都可逆或都不可逆 当它们可逆时 它们的逆矩阵也相似 6 AT与BT也相似 A有n个互不相等的特征值 A有n个线性无关的特征向量 判断一个n阶方阵A是否可以对角化的常用方法 1 A可以对角化 2 A可以对角化 对于A的每个特征根 其重数k n R A E 3 A可以对角化 五关于实对称矩阵的重要公式和结论 1 特征值均为实数 2 属于不同特征值的特征向量相互正交 3 对每个特征值 其重数k n R A E 4 实对称矩阵都可以对角化 且可以正交对角化 六 典型例题 例1设 1 求A的特征值 2 利用 1 的结果求E A 1的特征值 E是三阶单位阵 解 1 故矩阵A的特征值为 1 1 5 2 设矩阵A对应于特征值 的特征向量为x 则 Ax x 于是 可得矩阵E A 1的特征值为2 2 故知1 1是矩阵E A 1的特征值 将 1 1 5代入1 1 注 1 在计算 E A 时 尽量不要直接展开得一个 分解出一次因式 2 在计算 E A 时 如果各行 或列 之和都相等 例如在例1中 计算 E A 时 直接展开得 分解因式时可能会遇到困难 通常把相等的部分提出来 或把某个不含 的元素化为零 三次多项式 通常是在计算 E A 的过程中 直接 例2 把 E A 的各列加到第一列 得 解 求矩阵 的实特征值及对应的特征向量 有唯一实特征值 1 解得x1 x2 x3 基础解系为 1 1 1 T 故对应于 1的全部特征向量为k 1 1 1 T k为非零常数 对应 1 由 1 E A x 0得 例3 选择题 1 设 2是非奇异矩阵A的特征值 则矩阵有一特征值等于 2 若n阶矩阵A的任意一行中n个元素的和都是a 则A的一个特征值为 A a B a C 0 A a 1 4 设A为n阶可逆矩阵 1 2是A的特征值 A 1 2时 1 2一定成比例 B 1 2时 1 2一定不成比例 C 1 2时 1 2一定成比例 D 1 2时 1 2一定不成比例 1 2是A的分别对应于 1 2的特征向量 则 3 设A为n阶可逆矩阵 是A的一个特征值 则A的伴随矩阵A 的特征值之一是 A 1 A n B 1 A C A D A n 解 1 2 B A2有一特征值22 A 有一特征值等于 有一特征值 所以 把 E A 的各列加到第一列 可提出公因子 a 所以 A的一个特征值为a 3 B 4 D 当 1 2为重根时 可能有多于一个的线性无关的特征 向量 也可能只有一个线性无关的特征向量 所以 A B均不成立 当 1 2时 1 2属于不同的特征根 因此线性无关 即 1 2一定不成比例 设 1 2是n阶矩阵A的不同特征值 1 2是A的分别属于 1 2的特征向量 例4 证明 1 2不是A的特征向量 证 用反证法 若 1 2为A的属于某特征值 的特征向量 则由定义有 A 1 2 1 2 根据已知 从而有 A 1 1 1 A 2 2 2 得 A 1 2 A 1 A 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 即 1 1 2 2 0 因为 1 2属于不同的特征值 所以 1 2线性无关 故 1 2不是A的特征向量 于是