2412_垂直于弦的直径(1)(人教版九年级数学上)

24 1 2垂直于弦的直径 人教版九年级上册 沁园中学九年级数学组 问题 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你想求出赵州桥主桥拱的半径吗 探究1 沿着圆的任意一条直径对折 重复做几次 你发现了什么 由此你能得到什么结论 圆是轴对称图形 它有多少条对称轴 它的对称轴是什么 圆的对称轴是任意一条直径所在的直线 它有无数条对称轴 如图 AB是 O的一条弦 直径CD AB 垂足为E 通过对折 你能发现图中有哪些相等的线段和弧 为什么 O A B C D E 线段 AE BE 探究2 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 题设 结论 1 过圆心 2 垂直于弦 1 平分弦 2 平分弦所对的优弧 3 平分弦所对的劣弧 猜想 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 CD AB CD是直径 AE BE O A B C D E 几何语言 下列图形是否满足垂径定理的条件 是 不是 是 不是 垂径定理的几个基本图形 CD过圆心 CD AB于E AE BE 已知 直径CD 弦AB 除直径 且AM BM求证 1 CD AB 2 推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 探究3 巩固 1 如图 AB是 O的直径 CD为弦 CD AB于E 则下列结论中不成立的是 A COE DOE B CE DE C OE AE c 2 如图 OE AB于E 若 O的半径为10cm OE 6cm 则AB cm O A B E 解 连接OA OE AB AB 2AE 16cm 3 如图 在 O中 弦AB的长为8cm 圆心O到AB的距离为3cm 求 O的半径 O A B E 解 过点O作OE AB于E 连接OA 即 O的半径为5cm 4 如图 CD是 O的直径 弦AB CD于E CE 1 AB 10 求直径CD的长 解 连接OA CD是直径 OE AB AE 1 2AB 5 设OA x 则OE x 1 由勾股定理得 x2 52 x 1 2 解得 x 13 OA 13 CD 2OA 26 即直径CD的长为26 例1 已知 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D两点 求证 AC BD 证明 过O作OE AB 垂足为E 则AE BE CE DE AE CE BE DE 所以 AC BD E 证明 做直径MN AB AB CD MN CD AM BMCM DM AM CM BM DM AC BD 你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗 37 4m 7 2m A B O C D 关于弦的问题 常常需要过圆心作弦的垂线段 这是一条非常重要的辅助线 圆心到弦的距离 半径 弦构成直角三角形 便将问题转化为直角三角形的问题 解 如图 用AB表示主桥拱 设AB所在的圆的圆心为O 半径为r 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D 与AB交于点C 则D是AB的中点 C是AB的中点 CD就是拱高 AB 37 4m CD 7 2m AD 1 2AB 18 7m OD OC CD r 7 2 解得r 27 9 m 即主桥拱半径约为27 9m 课堂小结 1 本节课我们主要学习了圆的轴对称性和垂径定理 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 2 有关弦的问题 常常需要过圆心作弦的垂线段 这是一条非常重要的辅助线 圆心到弦的距离