2018-2019学年苏州市实验中学教育集团高一下学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年江苏省苏州市实验中学教育集团高一下学期期中数学试题一、单选题1若直线，则直线间的位置关系是( )A平行B异面或平行C相交D异面【答案】B【解析】利用空间中线线，线面的位置关系判断即可.【详解】解：若直线，则直线间的位置关系是平行或异面，故选：B.【点睛】本题考查空间中线线的位置关系，是基础题.2已知直线的倾斜角为30，则实数的值为( )ABCD【答案】A【解析】求出直线的斜率，列方程可得实数的值.【详解】解：由已知得直线的斜率为，则，得，故选：A.【点睛】本题考查直线斜率和倾斜角的关系，是基础题.3在中，若，则角B的大小为（ ）ABCD【答案】B【解析】由,利用正弦定理可得:,即，从而可得结果.【详解】,由正弦定理可得:,.,.故选B.【点睛】本题主要考查了正弦定理，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.4已知是直线，是平面，下列命题中正确的选项是( )A若，则B若平行于，则平行内所有直线C若，则D，则【答案】A【解析】利用空间中线线，线面，面面的关系逐一判断.【详解】解：A. 若，则和内的所有直线垂直，有，正确；B. 若平行于，则和内直线可能平行，也可能异面，错误；C. 若，没有强调和相交，故不能得出，错误；D. ，则，也有可能，错误，故选：A.【点睛】本题考查空间中线线，线面，面面的关系的简单判断，是基础题.5已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数等于( )A1BC2或1D-2或1【答案】C【解析】求出直线在两坐标轴上的截距，列方程求解即可.【详解】解：当，即时，在两坐标轴上的截距均为零，符合题意；当时，由直线可得直线过点，则，得，故实数或，故选：C.【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点问题，是基础题.6如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列不正确的是（ ）A平面平面B平面平面C平面平面D平面平面【答案】B【解析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果.【详解】平面平面，A正确，C、D显然正确.故选B.【点睛】这个题目考查了面面垂直的判定，先得到线面垂直，即一条线垂直于面内的两条相交直线则线面垂直，进而得到面面垂直.7在圆内接四边形中，则四边形面积为( )ABCD【答案】C【解析】利用余弦定理求出的关系，结合圆内接四边形的对角和为，求出的值，利用三角形的面积的和，求出四边形的面积即可.【详解】解：如图：由余弦定理在中：，又在中：，解得，.故选：C.【点睛】本题主要考查了余弦定理，以及三角形的面积公式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题.8直线过定点与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的取值范围是( )AB或C或D【答案】D【解析】直线的斜率不存在，显然不成立，设直线的方程为，联立两直线方程，解方程组，由两直线的交点在第一象限，解得的范围，由此能求出直线的倾斜角的取值范围.【详解】如图，设直线与轴，轴分别交于点，则，当直线从直线逆时针旋转到直线时，直线过定点与直线的交点位于第一象限，不包括直线，直线，又，所以直线斜率的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，注意运用数形结合的思想，考查运算能力，是基础题.9如图，四棱锥的底面为平行四边形，则三棱锥与四棱锥的体积比值为( )ABCD【答案】D【解析】设四棱锥的体积为，根据条件有，而，进而可得结果.【详解】解：设四棱锥的体积为，因为，所以，又因为底面为平行四边形，所以，所以，故选：D.【点睛】本题考查了棱锥的体积的转化计算，属于基础题.10在中，30则使有两解的的范围是( )ABCD【答案】D【解析】根据题意画出图形，由题意得到三角形有两解的条件为，即可确定出的范围.【详解】解：结合图形可知，三角形有两解的条件为，则使有两解的的范围是，故选：D.【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，画出正确的图形是解本题的关键.11若点关于直线的对称点在轴上，则的值是( )A或-2B或2C5或-5D4或-4【答案】A【解析】点关于直线的对称点在轴上，可设对称点为.可得，解出即可得出.【详解】解：点关于直线的对称点在轴上，可设对称点为.则，消去化为：.解得：或.故选：A.【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.12我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作数书九章中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隔，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边.若，则面积S的最大值为ABCD【答案】C【解析】将已知等式进行化简并利用正弦定理可得c=a，代入“三斜求积”公式即可计算得解【详解】，则sinC（sinBcosC+cosBsinC）sin（B+C）sinA，由正弦定理得ca，b2，ABC的面积 ，当即a2时，ABC的面积S有最大值为故选：C【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查二次函数求最值问题，考查转化思想，属于中档题二、填空题13已知两条直线若，则 【答案】2【解析】试题分析：由可知系数满足【考点】直线平行的判定14圆柱的一个底面积为4，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是_.【答案】【解析】通过圆柱的底面积，求出底面半径，进而求出圆柱的高，然后求圆柱的侧面积.【详解】解：圆柱的底面积为4，所以底面半径为：，底面周长为：，侧面展开图为一个正方形，所以圆柱的高为：，所以圆柱的侧面积为：，故答案为：.【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，正确认识圆柱的侧面展开图与几何体的关系，是解题的突破口，基础题.15在中，的角平分线，则_.【答案】【解析】利用正弦定理求出，进而可求出，然后利用等腰三角形的性质求出即可.【详解】解：由题意以及正弦定理可知：，则，可得，则，三角形是等腰三角形，.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力，属于基础题.16已知钝角三边长满足，其最大角不超过120，则最小角的余弦值的取值范围为_.【答案】【解析】设三边长为，根据最大角不超过120，我们可以表示出最大角的余弦值，然后根据余弦函数的单调性，进而解答.【详解】解：设三边长为，已知三角形为钝角三角形，设最大角为，最小角为则，解得：，则，则，故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是余弦定理，及等差数列的性质，其中根据已知条件表示出大角的余弦值，然后根据余弦函数的单调性，求出的取值范围是解答本题的关键.三、解答题17在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为，求:(1)边上的中线所在的直线方程;(2)若边上的高为，求点到直线的距离.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由已知点的坐标直接写出直线的两点式方程，化为一般式即可；（2）先求得所在直线的斜率，得到所在直线当斜率，代入直线的点斜式方程可得直线的方程，再利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】解：解：（1），则线段的中点为， 边上的中线所在的直线方程为，整理得：；（2）由已知得，则，又，边上的高所在直线的方程为，即，所以点到直线的距离为.【点睛】本题考查直线方程的两点式与点斜式，以及点到直线的距离，是基础题.18如图四边形是正方形，平面，平面，(1)求证:平面平面;(2)若点为线段中点.证明:平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）平面AMD内的直线MA，AD，分别平行平面BPC内的直线PB，BC，即可证明平面平面；（2）连接AC，设ACBDF，连接EF，分别证明MEPB，MEBD，即可证明平面PBD.【详解】证明：（1）因为PB平面ABCD，MA平面ABCD，所以PBMA.因PB平面BPC，MA不在平面BPC内，所以MA平面BPC，同理DA平面BPC，因为MA平面AMD，AD平面AMD，MAADA，所以平面AMD平面BPC；（2）连接AC，设ACBDF，连接EF.因ABCD为正方形，所以F为BD中点.因为E为PD中点，所以.因为，所以，所以AFEM为平行四边形.所以MEAF.因为PB平面ABCD，AF平面ABCD，所以PBAF，所以MEPB，因为ABCD为正方形，所以ACBD，所以MEBD，所以ME平面BDP.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题.19在中，已知，.(1)求的长;(2)求的值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由已知及余弦定理即可解得的值；（2）由正弦定理可得：的值，又由余弦定理可求的值，利用二倍角的正弦函数公式即可得解的值.【详解】解：（1）在中.已知，.由余弦定理可得：；（2）由正弦定理可得：，又，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，考查了计算能力，属于中档题.20如图，在四棱锥中，平面平面，BC/平面PAD，,求证：（1）平面；（2）平面平面【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由BC/平面PAD可得BC/AD，根据线面平行的判定定理可得平面；（2）过P作PH AB于H,由条件可得平面，从而可证得BC PH，又BC PB,故有BC 平面PAB，所以平面PBC 平面PAB .试题解析：(1)因为BC/平面PAD, 而BC平面ABCD,平面ABCD平面PAD = AD, 所以BC/AD ， 又因为AD 平面PBC,BC平面PBC,所以平面 (2)过P作PH AB于H,因为平面 平面,且平面 平面=AB, 所以平面 因为BC 平面ABCD,所以BC PH. 因为 ,所以BC PB, 而,于是点H与B不重合,即PB PH = H. 因为PB,PH 平面PAB,所以BC 平面PAB 因为BC 平面PBC,故平面PBC 平面AB.点睛：（1）直线与平面平行的主要判定方法定义法判定定理：证明这条直线与平面内的一条直线平行；面与面平行的性质：当两平面平行时，则一个平面内的直线与另一个平面平行（2）两平面垂直的判定主要方法定义法：两个平面所成的二面角是直角；面面垂直的判定定理：证一个平面经过另一平面的垂线21如图为某公园的绿化示意图，准备在道路的一侧进行绿化，线段长为，设.(1)为了类化公园周围的环境，现要在四边形内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大;(2)为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段，和组成，若，则当为何值时，栈道的总长最长，并求的最大值.【答案】(1) 当时，郁金香种植面积最大；(2) 时，的最大值为3【解析】(1)求出,整理可得,利用正弦函数的性质可求得最值；(2)利用余弦定理求得，相加可求出，进而可求其最值.【详解】解：(1)由图可得：，则，此时，可得，则当时，郁金香种植面积最大；(2)由余弦定理，令，则，即时，的最大值为3.【点睛】本题考查余弦定理的应用及三角函数的最值问题，是中档题.22设直线的方程为.(1)求证:不论为何值，直线必过一定点;(2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，当而积最小时，求的周长;(3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程.【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3) ，【解析】(1)将原式变形为，由可得直线必过一定点；(2)由题可得，则，求出最值，并找到最