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八年级上册 13 4课题学习最短路径问题 如图所示 从A地到B地有三条路可供选择 你会选择哪条路距离最短 你的理由是什么 两点之间线段最短 如图 要在燃气管道L上修建一个泵站 分别向A B两镇供气 泵站修在管道的什么地方 可使所用的输气管线最短 P 所以泵站建在点P可使输气管线最短 问题1相传 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 从图中的A地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到B地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 探索新知 精通数学 物理学的海伦稍加思索 利用轴对称的知识回答了这个问题 这个问题后来被称为 将军饮马问题 你能将这个问题抽象为数学问题吗 探索新知 追问1这是一个实际问题 你打算首先做什么 将A B两地抽象为两个点 将河l抽象为一条直线 探索新知 1 从A地出发 到河边l饮马 然后到B地 2 在河边饮马的地点有无穷多处 把这些地点与A B连接起来的两条线段的长度之和 就是从A地到饮马地点 再回到B地的路程之和 探索新知 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思 并把它抽象为数学问题吗 追问1对于问题2 如何将点B 移 到l的另一侧B 处 满足直线l上的任意一点C 都保持CB与CB 的长度相等 探索新知 问题2如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 追问2你能利用轴对称的有关知识 找到上问中符合条件的点B 吗 探索新知 问题2如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 作法 1 作点B关于直线l的对称点B 2 连接AB 与直线l相交于点C 则点C即为所求 探索新知 问题2如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 探索新知 问题3你能用所学的知识证明AC BC最短吗 证明 如图 在直线l上任取一点C 与点C不重合 连接AC BC B C 由轴对称的性质知 BC B C BC B C AC BC AC B C AB AC BC AC B C 探索新知 问题3你能用所学的知识证明AC BC最短吗 探索新知 问题3你能用所学的知识证明AC BC最短吗 证明 在 AB C 中 AB AC B C AC BC AC BC 即AC BC最短 若直线l上任意一点 与点C不重合 与A B两点的距离和都大于AC BC 就说明AC BC最小 探索新知 追问1证明AC BC最短时 为什么要在直线l上任取一点C 与点C不重合 证明AC BC AC BC 这里的 C 的作用是什么 探索新知 追问2回顾前面的探究过程 我们是通过怎样的过程 借助什么解决问题的 运用新知 练习如图 一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客 然后将游客送往河岸BC上 再返回P处 请画出旅游船的最短路径 运用新知 基本思路 由于两点之间线段最短 所以首先可连接PQ 线段PQ为旅游船最短