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第十六讲 一笔画游戏(一)同学们,你能一笔写个“日”字吗?能一笔写个“田”字吗?能一笔写个“吕”字吗?当然,你可以不按照笔画顺序,当要保证笔不离开纸,而且每个笔画都不重复。这就是我们这一讲所要研究的一笔画问题。例1:下列这些图形,哪些能一笔画成?哪些不能一笔画成? (1) (2) (3) (4)分析与解:图(1)能一笔画成,可以从图中任意一点开始画图,画到同一点结束。经过尝试后,可以发现图(2)不能一笔画成。图(3)的两个正方形不是连通的,也不能一笔画成。图(4)也可以一笔画成,而且从任意一点开始画都行。通过观察,我们发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。由一点出发有双数条线,这个点叫做偶点。相应的,由一点出发有单数条线,这个点就叫奇点。比如下面的这些图中就告诉我们怎样确定偶点和奇点。图中,从A点出发有2条线,从B点出发有3条线,从C点出发有4条线,从D点出发有5条线,这样我们就可以确定A点和C点是偶点,B点和D点是奇点。像例1的图(1)和图(4)中,每一个点都是偶点,都可以一笔画,而且可以从任意一点画起。而图(2)有4个奇点,2个偶点,不能一笔画成。那么,一个图形能否一笔画成与这个图形的奇点、偶点的个数有什么关系呢?我们继续来研究。例2:下面各图能否一笔画成。 (1) (2) (3) 分析与解:图(1)从任意一点出发都可以一笔画成,因为它的每一点都是与两条线相连的偶点。图(2)经过反复试验,也可以找到画法:由ABCADC。图中A、C为奇点,B、D为偶点,就是图中有2个奇点,2个偶点,要想一笔画成,要从奇点出发,回到奇点。经过尝试,图(3)无法一笔画成,而图中有4个奇点,5个偶点。这样我们可以发现,一个图形能否一笔画成的秘密是:(1)如果一个图形中全是偶点,从任意一点出发都可以一笔画成;(2)如果图形中只有2个奇点,也可以一笔画成,必须从一个奇点出发,到另一个奇点结束;(3)如果图形中超过两个奇点,图形就不能一笔画成。例3:下面的图形,哪些能一笔画?哪些不能一笔画?分析与解:图(1)中有2个奇点,2个偶点(你会数吗?)可以一笔画成,必须从A开始到B结束,或者从B开始到A结束。图(2)有10个奇点(你会数吗?),多于2个奇点,不能一笔画成。图(3)有4个奇点,1个偶点,也不能一笔画成。小结:判断一个图形能否一笔画成,主要是看图中有多少个奇点,超过2个奇点的就不能一笔画成;只有2个奇点的,由1个奇点开始到另一个奇点结束,也能一笔画成;全是偶点的,都能一笔画成,从任意一个偶点开始都行。练习与思考1下面的图形可以一笔画成吗?如果可以,请你用一笔画成。2判断下列图形能否一笔画成,并说明理由。32008年将在中国召开奥运会,你能一笔画成奥运会的五环图案吗?4下图是商场的平面图,顾客可以从六个门进出商场(六个字母标的地方),怎样才能不重复地走遍商场的每条通道?5一只蚂蚁由A点出发,到达B点,必须不重复地经过每一条线,你能想出好办法吗?6一张纸上画有如下图所示的图,你能否用剪刀一次连续剪下图中的三个正方形和两个三角形?附参考答案:1、能、能、能、能、能、不能 2、能、能、能、不能、能、能 3、能4、由于C点和F点是奇点,要从C门进,通过其他各门之后再从F门出来 5、能 6、先找到奇点E和H,从E点开始剪,EIFGIH第十六讲 一笔画游戏(二)张爱玲例1:下面图形能不能一笔画成?如果能,应该怎样画?分析与解:图中共有9个点,都是偶点,一定可以一笔画成。任何一个都可以作为起点,最后仍以这点作为终点。图2是画法之一。例2:判断下图能否一笔画成,如果不能,你能用什么方法把它改成一笔画?分析与解:图中共有4个奇点,(A、B、C、D都是奇点)因此,无法一笔画成。要想改为一笔画,关键在于减少奇点的个数(奇点的个数减少到0或2),方法有两种:(1)去边。将多余的两个奇点间的边去掉,可以去掉连接奇点B、C的边BC(如图1);也可以去掉连接AD两点的边(如图2);或把AD、BC两边全部去掉(如图3)。(2)添边。在多余的两个奇点之间添上一条边。可以在奇点A、C之间添上边AC,如图4;也可以在奇点B、D之间添上边BD,如图5;或在A、C和B、D之间分别添边AC和BD,如图6。例3:下图是某地区所有街道的平面图。甲、乙两人同时分别从A、B出发,以相同的速度走遍所有的街道,最后到达C。问两人谁最先到达C? 分析与解:题中两人必须走遍所有的街道,最后到达C,而且两人的速度相同,因此谁走的路程少,谁便可以先到达C。仔细观察,可以发现图中有两个奇点A和C,根据判断能否一笔画的图形,可以知道:甲从A点出发,能不重复地走遍所有的街道,最后到达C;而B点是偶点,从B点出发的乙就不能走遍所有的街道。因此,甲走的路程正好等于所有街道路程的总和,而乙走的路程一定比这个总和多,这样甲先到达C。小结:我们不仅要掌握判断一个图形能否一笔画的方法,而且要能够运用这个方法,去改变原来不能一笔画的图形,使它能一笔画。像例3这种最短路线问题,其实是一笔画问题的变形,我们不仅要能识别它,还要能灵活地解决这样的问题。练习与思考1下列图形能一笔画成吗?试一试,画一画。2下列图形至少用几笔画出?3请你将下列图形改成能一笔画成的图形。4下面图形能否一笔画成?如果不能,至少需几笔?5一只蚂蚁由A点出发,到达B点,必须不重复的经过每一条线,你能想出好办法吗?6一辆清洁车清扫街道,每段街道长1千米,清洁车由A点出发,走遍所有的街道,再回到A点,怎样走路程最短,全程多少米
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