第十六讲一笔画游戏.doc

第十六讲 一笔画游戏(一)同学们，你能一笔写个“日”字吗？能一笔写个“田”字吗？能一笔写个“吕”字吗？当然，你可以不按照笔画顺序，当要保证笔不离开纸，而且每个笔画都不重复。这就是我们这一讲所要研究的一笔画问题。例1：下列这些图形，哪些能一笔画成？哪些不能一笔画成? (1) (2) (3) (4)分析与解：图（1）能一笔画成，可以从图中任意一点开始画图，画到同一点结束。经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画成。图（3）的两个正方形不是连通的，也不能一笔画成。图（4）也可以一笔画成，而且从任意一点开始画都行。通过观察，我们发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。由一点出发有双数条线，这个点叫做偶点。相应的，由一点出发有单数条线，这个点就叫奇点。比如下面的这些图中就告诉我们怎样确定偶点和奇点。图中，从A点出发有2条线，从B点出发有3条线，从C点出发有4条线，从D点出发有5条线，这样我们就可以确定A点和C点是偶点，B点和D点是奇点。像例1的图（1）和图（4）中，每一个点都是偶点，都可以一笔画，而且可以从任意一点画起。而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。那么，一个图形能否一笔画成与这个图形的奇点、偶点的个数有什么关系呢？我们继续来研究。例2：下面各图能否一笔画成。 （1） （2） （3） 分析与解：图（1）从任意一点出发都可以一笔画成，因为它的每一点都是与两条线相连的偶点。图（2）经过反复试验，也可以找到画法：由ABCADC。图中A、C为奇点，B、D为偶点，就是图中有2个奇点，2个偶点，要想一笔画成，要从奇点出发，回到奇点。经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。这样我们可以发现，一个图形能否一笔画成的秘密是：（1）如果一个图形中全是偶点，从任意一点出发都可以一笔画成；（2）如果图形中只有2个奇点，也可以一笔画成，必须从一个奇点出发，到另一个奇点结束；（3）如果图形中超过两个奇点，图形就不能一笔画成。例3：下面的图形，哪些能一笔画？哪些不能一笔画？分析与解：图（1）中有2个奇点，2个偶点（你会数吗？）可以一笔画成，必须从A开始到B结束，或者从B开始到A结束。图（2）有10个奇点（你会数吗？），多于2个奇点，不能一笔画成。图（3）有4个奇点，1个偶点，也不能一笔画成。小结：判断一个图形能否一笔画成，主要是看图中有多少个奇点，超过2个奇点的就不能一笔画成；只有2个奇点的，由1个奇点开始到另一个奇点结束，也能一笔画成；全是偶点的，都能一笔画成，从任意一个偶点开始都行。练习与思考1下面的图形可以一笔画成吗？如果可以，请你用一笔画成。2判断下列图形能否一笔画成，并说明理由。32008年将在中国召开奥运会，你能一笔画成奥运会的五环图案吗？4下图是商场的平面图，顾客可以从六个门进出商场（六个字母标的地方），怎样才能不重复地走遍商场的每条通道？5一只蚂蚁由A点出发，到达B点，必须不重复地经过每一条线，你能想出好办法吗？6一张纸上画有如下图所示的图，你能否用剪刀一次连续剪下图中的三个正方形和两个三角形？附参考答案：1、能、能、能、能、能、不能 2、能、能、能、不能、能、能 3、能4、由于C点和F点是奇点，要从C门进，通过其他各门之后再从F门出来 5、能 6、先找到奇点E和H，从E点开始剪，EIFGIH第十六讲 一笔画游戏(二)张爱玲例1：下面图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？分析与解：图中共有9个点，都是偶点，一定可以一笔画成。任何一个都可以作为起点，最后仍以这点作为终点。图2是画法之一。例2：判断下图能否一笔画成，如果不能，你能用什么方法把它改成一笔画？分析与解：图中共有4个奇点，（A、B、C、D都是奇点）因此，无法一笔画成。要想改为一笔画，关键在于减少奇点的个数（奇点的个数减少到0或2），方法有两种：（1）去边。将多余的两个奇点间的边去掉，可以去掉连接奇点B、C的边BC（如图1）；也可以去掉连接AD两点的边（如图2）；或把AD、BC两边全部去掉（如图3）。（2）添边。在多余的两个奇点之间添上一条边。可以在奇点A、C之间添上边AC，如图4；也可以在奇点B、D之间添上边BD，如图5；或在A、C和B、D之间分别添边AC和BD，如图6。例3：下图是某地区所有街道的平面图。甲、乙两人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C。问两人谁最先到达C？ 分析与解：题中两人必须走遍所有的街道，最后到达C，而且两人的速度相同，因此谁走的路程少，谁便可以先到达C。仔细观察，可以发现图中有两个奇点A和C，根据判断能否一笔画的图形，可以知道：甲从A点出发，能不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而B点是偶点，从B点出发的乙就不能走遍所有的街道。因此，甲走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙走的路程一定比这个总和多，这样甲先到达C。小结：我们不仅要掌握判断一个图形能否一笔画的方法，而且要能够运用这个方法，去改变原来不能一笔画的图形，使它能一笔画。像例3这种最短路线问题，其实是一笔画问题的变形，我们不仅要能识别它，还要能灵活地解决这样的问题。练习与思考1下列图形能一笔画成吗？试一试，画一画。2下列图形至少用几笔画出？3请你将下列图形改成能一笔画成的图形。4下面图形能否一笔画成？如果不能，至少需几笔？5一只蚂蚁由A点出发，到达B点，必须不重复的经过每一条线，你能想出好办法吗？6一辆清洁车清扫街道，每段街道长1千米，清洁车由A点出发，走遍所有的街道，再回到A点，怎样走路程最短，全程多少米