甘肃省河西五市部分高中高三数学第一次联考试题 理.doc

1 20162016 年年 1 1 月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考 数学试卷数学试卷 理科理科 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试用时 120 分 钟 考试结束后 将试题纸和答题卡一并交回 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每个小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 已知集合 则 lg 1 0 axx 13 bxx ab a b c d 1 3 1 2 1 3 1 2 2 复数满足 则 z1 3 i zi z a b c d 1 i1 i 1 i 1 i 3 设 向量且 则 xr 1 1 2 axb ab ab a b c d 5102 510 4 已知有解 则下列选项中是假命 2 10pmr xmx 2 000 210qxn xx 题的为 a b c d pq pq pq pq 5 函数的图象大致是 cosx y ln x a b c d 6 设是一个正整数 的展开式中第四项的系数为 记函数与的图k1 k x k 1 16 2 yx ykx 象所围成的阴影部分为 任取 则点恰好落在阴影区域内s 0 4 x 0 16 y xy s 的概率是 a b c d 2 3 1 3 2 5 1 6 2 7 正项等比数列 中的 是函数 的极值点 则 n a 1 a 4031 a 32 1 463 3 f xxxx 2016 6 loga a b c d 1 122 8 一个几何体的三视图如上图所示 则这个几何体的体积为 a b 3 6 8 3 92 6 c d 3 2 6 8 3 6 6 9 阅读如下图所示程序框图 运行相应的程序 则程序运行后输出的结果为 a b c d 791011 10 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点 点为该抛物线的焦点 点在抛物a 2 1 4 yx fp 线上且满足 当取最小值时 点恰好在以 为焦点的双曲线上 则 pfm pa mpaf 该双曲线的离心率为 a b c d 51 2 21 2 21 51 11 体积为的球放置在棱长为 4 的正方体上 且与上表面相切 4 3 o 1111 abcdabc d 1111 abc d 切点为该表面的中心 则四棱锥的外接球的半径为 oabcd a b c d 10 3 33 10 2 23 6 12 已知函数 3 03 cos 39 3 log xx f x xx 若存在实数 1 x 2 x 3 x 4 x 当 1234 xxxx 时 满足 1234 f xf xf xf x 则的取值范围是 1234 x x x x a 29 7 4 b 135 21 4 c 27 30 d 135 27 4 第 卷 非选择题 共 90 分 3 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题第 21 题为必考题 每个试题考生都必修作 答 第 22 题第 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知倾斜角为的直线 与直线垂直 则的值为 l230 xy 2015 cos 2 2 14 若实数 且 则当的最小值为 函数 0 0 ab 12 1 ab 2 8 ab m 的零点个数为 1 mx f xelnx 15 已知不等式组所表示的区域为 是区域内的点 点 则 0 0 2 xy xy x d m x yd 12 a 的最大值为 zoa om 16 方程的根称为函数的不动点 若函数有唯一不动点 且 f xx f x 5 x f x a x 则 1 1613x 1 1 1 n n x f x nn 2016 x 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知中 a b c分别是角a b c的对边 且是关于的一元二次方程abc 22 b cx 的两根 22 0 xabc xm 求角a的大小 若 设 的周长为 求的最大值 3a b abc y yf 18 本小题满分 12 分 在一次考试中 5 名同学的数学 物理成绩如下表所示 根据表中数据 求物理分对数学分的回归直线方程 yx 要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选出 2 名参加一项活动 以表示选中的同学x 中 物理成绩高于 90 分的人数 求随机变量的分布列及数学期望x x e 附 回归方程 其中为样本平均数 ybxa 1 2 1 y n ii i n i i xxy b xx a ybx x y 4 19 本小题满分 12 分 在三棱柱中 111 abcabc 1 2abbccaaa 侧棱平面 且 分别是棱 的中点 1 aa abcde 11 ab 1 aa 点在棱上 且 fab 1 4 afab 求证 平面 ef 1 bdc 求二面角的余弦值 1 ebcd 20 本小题满分 12 分 已知椭圆 的一个焦点为 左右顶点分别为 m 22 2 1 0 3 xy a a 1 0 f ab 经过点的直线 与椭圆交于 两点 flmcd 求椭圆方程 当直线 的倾斜角为时 求线段的长 l45 cd 记与的面积分别为和 求的最大值 abd abc 1 s 2 s 12 ss 21 本小题满分 12 分 已知函数 其中 为自然对数的底数 2 sin2 x f xexaxae ar 2 71828e 当时 讨论函数的单调性 0a f x 当时 求证 对任意的 1 1 2 a 0 x 0f x 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 做答时请 写清题号 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 内接于直径为的圆 过点作圆abc bcoao 的切线交的延长线于点 的平分线分别cbmbac 交圆和于点 若 obcde 5 15 2 mamb 求证 5 2 acab 求 的值 aede 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为 为参数 在直角坐标系中 以点为极点 4 31 xta yt tox yo 学生 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 数学 分 x 8991939597 物理 分 y 8789899293 第第 19 题图题图 第第 22 题图题图 5 x 轴的非负半轴为极轴 以相同的长度单位建立极坐标系 设圆的方程为m 2 6 sin8 求圆的直角坐标方程 m 若直线l截圆所得弦长为 求实数的值 m3a 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知不等式的解集为 2 2 18xx a 求集合 a 若 不等式 恒成立 求实数的取值范围 a ba 0 x 4 abxm x m 20162016 年年 1 1 月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试 数学试卷数学试卷 理科理科 参考答案参考答案 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 只有一项是符合题目要求的 题号题号 1 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212 答案答案 d da ab bb bc cd db ba ab bc cb bd d 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 1313 1414 1515 1616 4 5 122016 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1 17 7 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 解 在解 在 abcabc中 依题意有 中 依题意有 2 2 分分 222 bcabc 又 又 6 6 分分 222 1 cos 22 bca a bc 0 a 3 a 解 由解 由及正弦定理得 及正弦定理得 3 3 aa 2 sinsinsin bca bca 8 8 分分 22 2sin2sin2sin2sin 2sin 33 bbccb 故故 即即1010 分分 2 32sin2sin 3 yabc 2 3 sin 3 6 y 由由得 得 当当 即 即时 时 1212 分分 2 0 3 5 666 62 3 max 3 3y 1 18 8 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 解答 解答 2 2 分分 1 8991 939597 93 5 x 1 8789899293 90 5 y 5 222222 1 0 2 4 40 i i xx 4 2 5 1 y 30 ii i xxy 30 0 75 40 b 20 5aybx 故物理分故物理分对数学分对数学分的回归直线方程是的回归直线方程是 6 6 分分yx 0 7520 25yx 随机变量随机变量的所有可能取值为的所有可能取值为 0 1 3 0 1 3 7 7x 分分 9 9 分分 2 2 2 4 1 p x0 6 c c 11 22 2 4 2 p x1 3 c c c 2 2 2 4 1 p x2 6 c c 故故的分布列为 的分布列为 x 1212 121 x 0121 636 e 分分 x012 p 1 6 2 3 1 6 1 19 9 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 解答 解答 证明证明 证法一证法一 设 设o o为为abab的中点 连结的中点 连结a a1 1o o afaf abab o o为为abab的中点 的中点 f f为为aoao的中点 的中点 1 4 又又e e为为aaaa1 1的中点 的中点 efef a a1 1o o 又又 d d为为a a1 1b b1 1的中点 的中点 o o为为abab的中点 的中点 a a1 1d d obob 又又a a1 1d d obob 四边形四边形a a1 1dbodbo为平行四边形 为平行四边形 a a1 1o o bdbd 又 又efef a a1 1o o efef bdbd 又又efef 平面平面dbcdbc1 1 bdbd 平面平面dbcdbc1 1 efef 平面平面dbcdbc1 1 6 6 分分 证法二证法二 建立如图所示的坐标系 建立如图所示的坐标系 坐标系建立仅为参考坐标系建立仅为参考 abab bcbc caca aaaa1 1 2 2 d d e e分别为分别为a a1 1b b1 1 aaaa1 1的中点 的中点 afaf abab 1 4 e e 1 1 0 0 1 1 f f 0 0 0 0 b b 1 1 0 0 0 0 d d 0 0 0 0 2 2 c c1 1 0 0 2 2 1 2 3 设平面设平面dbcdbc1 1的法向量为的法向量为n n x x y y z z 0 0 1 1 1 1 0 0 2 2 1 1 2 2 ef 1 2 bd 1 bc 3 n n x x 2 2z z 0 0 n n x x y y 2 2z z 0 0 bd 1 bc 3 令令z z 1 1 则 则y y 0 0 x x 2 2 n n 2 2 0 0 1 1 n n 2 0 0 1 1 0 2 0 0 1 1 0 n n ef 1 2 ef 又又efef 平面平面bdcbdc1 1 efef 平面平面bdcbdc1 1 6 6 分分 解 设平面解 设平面ebcebc1 1的法向量为的法向量为m m x x y y z z 2 2 0 0 1 1 1 1 2 2 m m 2 2x x z z 0 0 n n x x y y 2 2z z 0 0 be 1 bc 3be 1 bc 3 令令x x 1 1 则 则z z 2 2 y y m m 1 1 2 2 cos cos 33 二面角e bc1 d的余弦值为 1 2 3 02 110 52 25 m n mn 10 5 1212 分分 2 20 0 本本小小题题满满分分 1 12 2 分分 解答 解答 i i 因为 因为为椭圆的焦点为椭圆的焦点 所以所以又又 1 0 f 1 c 2 3 b 所以所以所以椭圆方程为所以椭圆方程为 3 3 分分 2 4 a 22 1 43 xy 因为直线的倾斜角为 因为直线的倾斜角为 所以直线的斜率为所以直线的斜率为 1 1 所以直线方程为所以直线方程为 和椭圆方和椭圆方45 1yx x y o z 第 19 题解图 2 o 第 19 题解图 1 程联立得到程联立得到 消掉消掉 得到得到 5 5 22 1 43 1 xy yx y 2 7880 xx 分分 所以所以 1212 88 288 77 xxx x 所以所以 6 6 分分 2 12 24 1 7 cdkxx 当直线 当直线 无斜率时无斜率时 直线方程为直线方程为 l1x 此时此时 面积相等 面积相等 7 7 33 1 1 22 dc abdabc 12 0ss 分分 当直线当直线 斜率存在 显然斜率存在 显然 时 时 设直线方程为设直线方程为 l0k 1 0 yk xk 设设 1122 c x yd xy 和椭圆方程联立得到和椭圆方程联立得到 消掉消掉得得 22 1 43 1 xy yk x y 2222 34 84120kxk xk 显然显然 方程有根 且 方程有根 且 8 8 分分0 22 1212 22 8412 3434 kk xxx x kk 此时此时 122121 2 2 ssyyyy 21 2 1 1 k xk x 1010 分分 21 2 12 2 2 34 k k xxk k 因为因为 上式上式 时等号成立 时等号成立 0k 121212 3 3 32 12 4 24 k k k k 3 2 k 所以所以的最大值为的最大值为 1212 分分 12 ss 3 另解 设直线 另解 设直线 的方程为 的方程为 则 则l1 myx rm 由由 得 得 1 34 1 22 yx myx 09643 22 myym 设设 则 则 8 8 分分 11 y xc 22 y xd 43 6 2 21 m m yy0 43 9 2 21 m yy 所以 所以 21 2 1 yabs 12 2 1 yabs 1010 分分 211221 4 2 1 2 1 yyyyabss 43 12 2 m m 当当时 时 0m 21 ss3 432 12 43 12 2 2 m m m m rm 由由 得 得 当 当时 时 43 2 m 3 32 m0 m30 21 ss 从而 当从而 当时 时 取得最大值取得最大值 1212 分分 3 32 m 21 ss 3 2 21 1 本本小小题题满满分分 1 12 2 分分 解答 解答 当当时 时 0a sin x f xexe xr 2 2 分分 sincos 2sin 4 xx fxexxeexe 当时 时 在在是单调递减的函数是单调递减的函数 4 4 xr 2sin 2 4 x 0fx f xr 分分 设设 2 sin2g xxaxae 0 x 令 令 则则 cos2g xxax cos2h xg xxax 0 x sin2h xxa 当当时 时 有 有 在在上是减函数 即上是减函数 即在在 1 1 2 a 0 x 0h x h x 0 g x 上是减函数上是减函数 0 6 6 分分 又又 存在唯一的存在唯一的 使得 使得 0 10 g 2 2 2 0 422 a g g x 0 0 4 x 所以当所以当时 时 在区间在区间单调递增 单调递增 000 cos2 0g xxax 00 0 xx 0g x g x 0 0 x 当当时 时 在区间在区间单调递减单调递减 因此在区间因此在区间 00 xx 0g x g x 0 x 0 8 8 分分 2 max000 sin2g xg xxaxae 因为因为 所以 所以 将其代入上式得 将其代入上式得 00 cos2 0 xax 00 1 cos 2 xx a max g x 22 0000 111 sincos2sinsin2 444 xxaexxae aaa 令令 则 则 即有 即有 00 sin 0 4 tx x 2 0 2 t p t 2 11 2 44 ttae aa 2 0 2 t 因为因为的对称轴的对称轴 所以函数 所以函数在区间在区间上是增函数 且上是增函数 且 p t20ta p t 2 0 2 1 1 2 a 所以所以 即任意 即任意 221215 20 22828 p tpaee a 1 1 2 a 0 x 所以 所以 因此任意 因此任意 1212 分分 0g x 0 x f xe g x 0 x 0f x 2222 本本小小题题满满分分 1 10 0 分分 解答解答 因为因为是圆是圆的切线 所以的切线 所以 且且是公共角 是公共角 amom