2019高考数学二轮复习专题三数列与不等式第4讲不等式学案.doc

第4讲不等式考情考向分析1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、线性规划、绝对值不等式的应用问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主.2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围.3.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数或数列问题时常利用不等式进行求解，难度较大热点一基本不等式利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x0，y0，xyp(定值)，当xy时，xy有最小值2(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x0，y0，xys(定值)，当xy时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)例1(1)(2018浙江省金丽衢十二校联考)设ab0，当取得最小值c时，函数f(x)|xa|xb|xc|的最小值为()a3 b2 c5 d4答案a解析2b(ab)24，当且仅当a2b2时，上面不等式中两个等号同时成立，所以的最小值为4，此时a2，b1，c4，则f(x)|x1|x2|x4|所以当x2时，函数f(x)取得最小值f(2)523，故选a.(2)(2018诸暨市高考适应性考试)已知a，b为正实数，且(ab)(a2b)ab9，则3a4b的最小值为_ 答案61解析由(ab)(a2b)ab9，得ab，则3a4b2(ab)a2b(a2b1)12161，当且仅当a2b10时，等号成立，所以3a4b的最小值为61.思维升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误跟踪演练1(1)设x0，y0，若xlg 2，lg，ylg 2成等差数列，则的最小值为()a8 b9 c12 d16答案d解析xlg 2，lg，ylg 2成等差数列， 2lglg 2，xy1，1010210616，当且仅当x，y时取等号，故的最小值为16，故选d.(2) 已知点e，f分别在正方形abcd的边bc，cd上运动，且(，)，设|ce|x，|cf|y，若|，则xy的最大值为()a2 b4 c2 d4答案c解析|2，|，又|2, x2y24，(xy)2x2y22xy2(x2y2)8，当且仅当xy时取等号， xy2，即xy的最大值为2，故选c.热点二简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决例2(1)(2018浙江)若x，y满足约束条件则zx3y的最小值是_，最大值是_答案28解析由，画出可行域如图阴影部分所示(含边界)由解得a(4，2)，由解得b(2,2)，将目标函数yx平移可知，当目标函数的图象经过a(4，2)时，zmin43(2)2；当目标函数的图象经过b(2,2)时，zmax2328. (2)(2018浙江省重点中学联考)若实数x，y满足则x2y2的取值范围是()a. b.c. d.答案d解析在平面直角坐标系内作出满足约束条件的平面区域，如图所示的阴影部分，其中不含边界线段np，设zx2y2，求zx2y2的取值范围，即求图中阴影部分内的点到原点的距离的平方的取值范围由图可知，作ohmn于点h，由n(0,1)，m，得oh，zmin.又op2223213，但点p不在图中阴影部分内，zx2y2取不到13，x2y2的取值范围是，故选d.思维升华(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得跟踪演练2(1)(2018浙江省名校协作体联考)若不等式组表示的平面区域经过四个象限，则实数的取值范围是()a(，2 b1,1c1,2) d(1，)答案d解析在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示直线xy220恒过定点(2，2)，由图易得不等式组表示的平面区域为阴影部分在直线xy220下方的部分，当1时，不等式组表示的平面区域经过四个象限；当1时，不等式组表示的平面区域不经过第二象限；当0时，不等式组表示的平面区域不经过第一和第二象限；当0)表示的平面区域为，p(x，y)为上的点，当2xy的最大值为8时，的面积为()a12 b8 c4 d6答案d解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(0,0)，(m，m)，(m,2m)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图(图略)易得当目标函数z2xy经过平面区域内的点(m,2m)时，z2xy取得最大值，所以2m2m8，解得m2，则此时平面区域的面积为2(42)6，故选d.热点三绝对值不等式及其应用1绝对值不等式的解法(1)|axb|c(c0)caxbc；|axb|c(c0)axbc或axbc.(2)含绝对值的不等式的几种解法：公式法；零点分区间法；几何意义法；图象法2绝对值三角不等式(1)|ab|a|b|，当且仅当ab0时等号成立(2)|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立例3(1)(2018宁波期末)若函数f(x)在x|1|x|4，xr上的最大值为m，最小值为m，则mm等于()a. b2 c. d.答案c解析因为f(x)0，当x1时，等号成立，所以m0.又因为f(x)|，当x0时等号成立设t|x|，g(t)(1t4)，则g(t)令g(t)0，得t，所以函数g(x)在1，上单调递减，在(，4上单调递增，且g(1)2，g(4)，所以g(t)在1,4上的最大值为，所以当x4时，f(x)取得最大值m，所以mm，故选c.(2)已知mr，要使函数f(x)|x24x92m|2m在区间0,4上的最大值是9，则m的取值范围是_答案解析不等式即为|x24x92m|2m9，x0,4，等价于|x24x92m|92m，x0,4，2m9x24x92m92m，x0,4，4m18x24x0，x0,4，结合函数的定义域可得(x24x)min4，据此可得4m184，m，即m的取值范围是.思维升华(1)利用绝对值三角不等式求最值要注意等号成立的条件(2)绝对值不等式在某一区间上的最值可以进行分类讨论，也可以直接分析区间端点的取值，结合最值取到的条件灵活确定跟踪演练3(1)对任意x，yr，|x1|x|y1|y1|的最小值为()a1 b2 c3 d4答案c解析|x1|x|y1|y1|(x1)x|(y1)(y1)|3，当且仅当0x1，1y1时等号成立(2)(2018杭州质检)设函数f(x)(xr)满足|f(x)x2|，|f(x)1x2|，则f(1)_.答案解析由题意得|f(1)12|，|f(1)112|，由得f(1)，由得f(1)，所以f(1).真题体验1(2016上海)设xr，则不等式|x3|1的解集为_答案(2,4)解析由1x31，得2x4，故解集为(2,4)2(2017浙江改编)若x，y满足约束条件则zx2y的取值范围是_答案4，)解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示由题意可知，当直线yx过点a(2,1)时，z取得最小值，即zmin2214.所以zx2y的取值范围是4，)3(2016浙江改编)已知实数a，b，c，则下列正确的是_(填序号)若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c2100；若|a2bc|a2bc|1，则a2b2c2100；若|abc2|abc2|1，则a2b2c2100；若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c20，则的最小值为_答案4解析a，br，ab0，4ab24，当且仅当即时取得等号故的最小值为4.押题预测1已知x，y为正实数，且xy5，则xy的最大值是()a3 b.c4 d.押题依据基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合答案c解析由xy5，得5xy，x0，y0，5xyxy，当且仅当xy时取等号(xy)25(xy)40，解得1xy4，xy的最大值是4.2在r上定义运算：adbc，若不等式1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为()a b c. d.押题依据不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式答案d解析由定义知，不等式1等价于x2x(a2a2)1，x2x1a2a对任意实数x恒成立x2x12，a2a，解得a，则实数a的最大值为.3设变量x，y满足约束条件则目标函数z4xy的最小值为()a6 b6c7 d8押题依据线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点答案c解析由x，y满足的约束条件画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，当直线z4xy过点c(1,3)时，z取得最小值且最小值为437，故选c.4若不等式x22x对任意a，b(0，)恒成立，则实数x的取值范围是()a(4,2)b(，4)(2，)c(，2)(0，)d(2,0)押题依据“恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点答案a解析不等式x22x对任意a，b(0，)恒成立，等价于不等式x22x0时取等号)，所以x22x8，解得4xb0，且ab1，则下列不等式成立的是()aalog2(ab) b.log2(ab)acalog2(ab) dlog2(ab)ab0，ab1，log2(ab)log2(2)1.a12a，令f(a)a12a，又b，ab0，a，解得a1.f(a)a22aa12aln 2a22a(1aln 2)0，f(a)在(1，)上单调递减f(a)f(1)，即ablog2(ab)，log2(ab)b0，ab1，取a2，b，此时a4，log2(ab)log2511.3，log2(ab)0的解集为，q：a0的解集为，得a0且1，解得a0的解集为”是“a”的充分不必要条件，故选a.3(2018绍兴市柯桥区质检)若x，y满足约束条件则z2xy的取值范围是()a4,0 b4，1c1,0 d0,1答案a解析作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，平移直线y2xz，当其过点b(1,2)，c(2,0)时，目标函数z分别取到最大值0和最小值4，故选a.4(2018诸暨模拟)已知a，br，|asin2 |1，|bcos2|1，则()aab的取值范围是1,3bab的取值范围是3,1cab的取值范围是1,3dab的取值范围是3,1答案c解析由|asin2|1，|bcos2|1，得1asin21，1bcos21，则1bcos21，所以2asin2(bcos2)2，即2ab12，所以1ab3，故选c.5已知正项等比数列an的公比为3，若aman9a，则的最小值等于()a1 b. c. d.答案c解析正项等比数列an的公比为3，且aman9a，a23m2a23n2a3mn49a，mn6，(mn)，当且仅当m2n4时取等号故选c.6(2018浙江省名校新高考研究联盟联考)若关于x的不等式|xt22|xt22t1|3t无解，则实数t的取值范围是()at1 b0t1ct1 d1t5答案c解析|xt22|xt22t1|(xt22)(xt22t1)|2t1|，则由关于x的不等式|xt22|xt22t1|0)，则xy的最小值为()a5 b9 c4 d10答案b解析由xy8，得xy8，则(xy8)(xy)(xy)5529，当且仅当，即y2x0时，等号成立，令txy，所以(t8)t9，解得t1或t9，因为xy0，所以xy9，所以xy的最小值为9，故选b.8若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x4y5axbyc3x4y5，则()aabc的最小值为2babc的最小值为4cabc的最大值为4dabc的最大值为6答案a解析由题意可得5(a3)x(b4)yc5恒成立，所以a3，b4，5c5，则2abc12，即abc的最小值是2，最大值是12，a正确，c错误；6abc4，则abc的最小值是6，最大值是4，b错误，d错误，故选a.9若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_答案2,4解析|xa|x1|a1|，则只需要|a1|3，解得2a4.10已知x0，y0，且xy1，则x2y2的取值范围是_答案解析方法一由xy1，得y1x.又x0，y0，所以0x1，x2y2x2(1x)22x22x122.由0x1，得02，即x2y21.所以x2y2.方法二x2y2(xy)22xy，已知x0，y0，xy1，所以x2y212xy.因为1xy2，所以0xy，所以12xy1，即x2y2.方法三依题意，x2y2可视为原点与线段xy10(x0，y0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x2y2)min2，(x2y2)maxoa2ob21，故x2y2.11(2018台州市联考)若实数x，y满足x24y24xy4x2y232，则x2y的最小值为_，(x2y)2xy的最大值为_答案416解析因为x24y24xy4x2y232，所以(x2y)24x2y232，则(x2y)232，4x2y4，即x2y的最小值为4.由(x2y)24x2y232，不妨设则(x2y)2xy4(sin cos )16sin()，其中tan ，所以当sin()1时，(x2y)2xy取得最大值16.12(2018浙江省衢州二中模拟)已知实数x，y满足x1，y0，且x4y11，则的最大值为_答案9解析由x4y11得10(x1)4y，则210(x1)4y1010109，当且仅当，即2yx10时，等号成立，令t，则有t210t9，解得1t9，所以的最大值为9.b组能力提高13(2018台州市联考)设实数x，y满足条件若z2x2y2，则()az的最小值为 bz的最小值为3cz的最大值为33 dz的最大值为6答案a解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，由图易得当目标函数z2x2y2与平面区域内的边界xy10(x0)相切时，z2x2y2取得最小值，联立消去y化简得2x2x3z0，因为曲线z2x2y2与xy10(x0)相切，所以关于x的一元二次方程2x2x3z0有两个相等的正实数根，则(1)242(3z)0，解得z，满足题意，即目标函数z2x2y2的最小值为，由于不等式组所表示的平面区域右侧为开放区域，所以目标函数无最大值，故选a.14(2018浙江省杭州第二中学等五校联考)已知abc的三边长分别为a，b，c，有以下四个命题：以，为边长的三角形一定存在；以2a,2b,2c为边长的三角形一定存在；以a3，b3，c3为边长的三角形一定存在；以|ab|c，|bc|a，|ca|b为边长的三角形一定存在其中正确命题的个数为()a1 b2 c3 d4答案b解析由题意不妨设abc，则bca.对于，()2()2bc2a0，所以以，为边长的三角形一定存在，正确；对于，令a5