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例析离散型随机变量的期望和方差 焦景会 055350 河北隆尧一中求解离散型随机变量的期望和方差问题关键是写出随机变量的分布列，然后利用性质和公式即可。特殊的离散型随机变量的期望和方差，如二项分布，几何分布等直接利用公式便可求得。审清题意，尤为重要。离散型随机变量的期望和方差的有关概念、性质、公式。期望 若离散型随机变量 的概率分布为：p则 的数学期望（或平均数，均值，期望）为：，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，有以下性质：（1）；（2）；（3）；（4）若 相互独立（即两随机变量取什么值互不发生影响），那么，其中，第（2）、（3）两性质合在一起称期望的线性性质。方差 若离散型随机变量 的所有可取的值为 ，且取这些值的概率分别为 ，那么 叫的方差。的算术平方根 叫随机变量的标准差，记作。随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的标准。方差有以下性质：a,b为常数，则, .常见离散型随机变量的期望和方差：(1) 若 , 则.(2) 若 ,则 ;(3) 若, 则 。难点例析例1、袋中有5个大小相同的球，其中含1个红球，4个白球。现从中任取一球，直到取到红球为止，分别依据下列条件，求取球次数的期望和方差。（1）每次取的白球不再放回去；（2）每次取出的白球放回去。解：作为取球次数，在（1）情况下，可取值1，2，3，4，5；在（2）情况下，由于将取出的白球放回再取，所以的取值为1，2，3，针对n=k来说，由题意知, 前k-1次全是取到的白球，第k次取到红球。在（1）中，,概率分布列为：12345p得 ； 在（2）中，概率分布列 123np得 ，由数列知识可得 ，点评 在（2）中， ，即得 ，。例2、某运动员投蓝命中率P=0.6 ，（1）求一次投蓝时命中次数的期望与方差。（2）求重复5次投篮时，命中次数的期望与方差。（分析） （1）投篮1次有两个结果：命中与不中，命中次数服从两点分布。（2） 重复5次投篮可认为时5次独立重复实验，命中次数服从二项分布。解：（1）投篮1次，命中次数分布列：01p0.40.6则;.（2）由题意，重复5次投篮，命中次数，故.点评 认清随机变量服从哪类分布，便可简捷求得期望和方差。例3、某地举行射击比赛，规定每位射手射击10次，每次一发，记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中得-1分，并且凡参赛的射手均另加5分。已知某射手击中目标的概率为0.6。求该射手在比赛中得分的数学期望与方差。分析 该选手击中目标次数服从二项分布，他的得分 解：用表示该选手击中目标次数，用 表示他的得分。，。点评 本题关键是将分数表示为击中次数的函数。例4、一袋中有3个白球，3个红球，5个黑球，从袋中随机取出3球。假定取出1个白球得1分，取得1红球扣1分，取得1黑球既不得分也不扣分，求所得分数的概率分布及期望与方差。解：用表示分数，。表示3黑或红、白、黑各1个，故 ；表示1白2黑或2白1红，故；表示
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