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文档简介

2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷一、填空题：（本大题共8个小题,每小题8分,共64分）1已知数列，满足关系式，且，则的值是 2圆锥曲线的离心率是 3设的定义在上的奇函数，当时，是增函数，且对任意的、，都有，则函数在上的最大值是 4设，均为正整数，则 5已知点在圆：上运动，点在曲线（，）上运动，且的最大值为，则 6已知，是一个三角形的三个内角，如果取得最大值，则 7从各位数字两两不等且和为10的所有四位数中任取两个数，则2017被取到的可能性为 8已知是正整数集合的无穷子集，满足对任何，将中的元素按照由小到大的顺序排列成的数列记为，且已知，则 二、解答题 （本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9设直线：与椭圆：不相交.过直线上的点作椭圆的切线、，切点分别为、，联结.（1）当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点；（2）当时，定点平分线段.10已知函数，数列、满足，.（1）讨论数列的单调性；（2）求证：，.11（1）求使方程 （*）有正整数解的最大正整数.（2）用表示方程（*）的所有正整数解（）构成的集合，当为奇数时，我们称中的每一个元素为方程（*）的一个奇解；当为偶数时，我们称中的每一个元素为方程（*）的一个偶解.证明：方程（*）中所有奇解的个数与偶解的个数相等.2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷参考答案及评分标准1. 2.3. 4. 5.6. 7. 8. 9证明：（1）设、.则椭圆过点、的切线方程分别为，.因为两切线都过点，则有，.这表明、均在直线上，由两点决定一条直线知，式就是直线的方程，其中满足直线的方程.当点在直线上运动时，可理解为取遍一切实数，相应的为代入消去得对一切恒成立，变形可得，对一切恒成立.故有由此解得直线恒过定点.（2）当时，由式知，解得代入，得此时的方程为将此方程与椭圆方程联立，消去得由此可得，此时截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标，即代入式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标，即这就是说，点平分线段.10解：（1），则所以，解得.所以当时，数列单调上升；所以当时，数列，；所以当时，数列单调下降。证明：（2）因为单调上升，计算得，由（1）知所以，（i）当，时，故当时，同理，.故（ii）当，时，由（1）得：.所以，（iii）最后，当，时，我们有，所以11解：（1）因为，所以.当时，为方程（*）的一组正整数解，故所求最大值为.证明：（2），令与之对应，其中，则，且.令.那么是到的双射，所以：（表示集合中所含元素的个数）.，我们用表示中使得成立的最小下标，即：，.因为，所以满足条件的正整数存在且，并记.若，我们断言，否则，因此，于是我们有：，此不可能.所以是唯一确定的元素且.若且时，我们断言.否则，因此.于是我们有：，此不可能.所以是唯一确定的元素且.由此我们证明了：,是到自身的映射且，如果我们能够证明是满射，则也是单射，因而是双射，
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