北京宣武区上学期高三数学文科期末质量检测试卷

北京市宣武区2005-2006年上学期高三数学文科期末质量检测试卷2006.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合U = 1，2，3，4，5，6，7，A = 3，4，5，B = 1，3，6，则A(UB)等于（A）A4，5 B2，4，5，7 C1，6 D32函数f (x ) =的定义域是（ B ）Ax| x1 Bx| x1 Cx| x1 Dx| x13若指数函数y = ax的反函数的图象经过点 (2，1)，则a等于（ A ）A B2 C3 D104在正项等比数列an中，a1、a99是方程x210x + 16 = 0的两个根，则a40a50a60的值为（ B ）A32 B64 C64 D2565若把一个函数的图象按= (，2)平移后得到函数y = cosx的图象，则原图象的函数解析式是（ D ）Ay = cos (x +)2 By = cos (x)2Cy = cos (x +) + 2 Dy = cos (x) + 26如图，四面体PDEF中，M是棱EF的中点，PD、PE、PF两两垂直，必有（ C ）DPFMEADM平面PEFBPM平面DEFC平面PDE平面PEFD平面PDE平面DEF7若二项式 (x)n的展开式的第5项是常数项，则正整数n的值为（ B ）A7 B8 C9 D1084本不同的书全部分给3个同学，每人至少一本，则不同的分法有（ C ）A12种 B24种 C36种 D48种 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.9某学校有初中生1080人，高中生900人，教师120人，现对该学校的师生进行样本容量为n的分层抽样，已知抽取的高中生为60人，则样本容量n为 .（140）10已知平面向量= (0，1)，= (x，y)，若，则实数y = .（0）xy0262211函数f (x ) = A sin (x +)（A0，0，|的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为 .（f (x ) = 2sinx）12在等差数列an中，已知a11 = 10，那么它的前21项的和S21 = .（210）13已知m、n是直线，、是平面，给出下列命题： ，= m，mn，则n或n； 若，= m，= n，则mn； 如果直线m与平面内的一条直线平行，那么m； 若= m，nm，且n，n，则n且n. 所有正确命题的序号是 .（）14在密码学中，你直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，有一种密码，将英文的26个字母a、b、c，z（不论大小写）依次对应1，2，3，26，这26个自然数，见表格：abcdefghijklmnopqrstuvwxyz1234567891011121314151617181920212223242526现给出一个变换公式：=，可将英文的明文（明码）转换成密码，按上述规定，若将英文的明文译成的密码是shxc，那么原来的明文是 .（love）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本小题满分12分）已知cos2=，(，).（I）求sin的值；（II）求sin (+)sin2的值.解：（I） cos2=， 12sin2=， sin2=.(，)， sin=.（II） sin=且(，)， cos=， sin2= 2sincos= 2() =. sin (+)sin2= sincos+ cossinsin2=+ ()()=.16（本小题满分13分）PDCQMNBA已知四棱锥PABCD，底面是边长为1的正方形，侧棱PA底面ABCD且PA = 1，M、N分别为AD、BC的中点，MQPD于Q.（I）求证：AB平面MNQ；（II）求证：平面PMN平面PAD；（III）求二面角PMNQ的余弦值.解：（I）证明： ABCD为正方形且M、N分别为AD、BC的中点， ABMN.又 MN平面MNQ，AB平面MNQ， AB平面MNQ.（II）证明： ABCD为正方形且M、N分别为AD、BC的中点， MNAD. PA平面ABCD，MN平面ABCD， MNAP. 又 ADAP = A， MN平面PAD，又 MN平面PMN， 平面PMN平面PAD.（III）由（II）有MN平面PAD，PM平面PAD，MQ平面PAD， MNPM，MNMQ， PMQ为二面角PMNQ的平面角. PA = AD = 1， PDA =.在RtMQD中，MQ =MD =，在RtPAM中，PM =.在RtPMQ中，cosPMQ =. 二面角PMNQ的余弦值为.17（本小题满分13分）在甲、乙两个队的乒乓球比赛中，乒乓球的规则是“五局三胜制”，现有甲、乙两队每局获胜的概率分别为和.（I）前两局乙队以2：0领先，求最后甲、乙两队各自获胜的概率；（II）乙队以3：2获胜的概率.解：（I）在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜，所以甲队获胜的概率为P1 = ()8 =.（方法1）在乙队以2：0领先的前提下，若乙队获胜则乙队可能以3：0；3：1；3：2的比分赢得比赛，所以乙队获胜的概率为：P2 =+ ()2=.（方法2）“甲队获胜”与“乙队获胜”为对立事件，所以乙队获胜的概率为：P2 = 1=.（II）若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队取胜，前四局乙队输两局赢两局，所以乙队以3：2获胜的概率为：P3 =()2()2=.18（本小题满分13分）已知函数f (x ) = x2 (ax + b )（a，bR）在x = 2时有极值，其图象在点 (1，f (1 )处的切线与直线3x + y = 0平行.（I）求a、b的值；（II）求函数f (x )的单调区间.解：（I）f (x ) = x2 (ax + b ) = ax3 + bx2，(x ) = 3ax2 + 2bx， 函数f (x )在x = 2时有极值， (2 ) = 0，即 12a + 4b = 0， 函数f (x )的图象在点(1，f (1 )处的切线与直线3x + y = 0平行. (1 ) =3，即3a + 2b =3，由解得，a = 1，b =3.（II）(x ) = 3x26x = 3x (x2)，令3x (x2)0，解得：x0或x2，令3x (x2)0，解得：0x2. 函数f (x )的单调递增区间为(，0)和(2，+)，单调递减区间为(0，2).19（本小题满分14分）设数列an满足a1 = 2，an +1 = 3an2，n = 1，2，3，.（I）求证：数列an1是等比数列；（II）求an的通项公式；（III）求an的前n项和Sn.解：（I）证明： an +1 = 3an2，且a1 = 2， an +11 = 3 (an1)，且an1， = 3，数列an1是等比数列.（II）数列an1是等比数列， an1 = (a11)qn1 = (21)3n1 = 3n1， an = 3n1 + 1. an的通项公式an = 3n1 + 1.（III）Sn = a1 + a2 + a3 + + an= (30 + 1) + (3 + 1) + (32 + 1) + + (3n1 + 1)= (30 + 3 + 32 + + 3n1 ) + n=+ n =3n + n.20（本小题满分14分）已知函数f (x) = x | xa |（aR）.（I）判断f (x )的奇偶性；（II）解关于x的不等式：f (x )2a2；（III）写出f (x )的单调区间.解：（I）函数f (x )的定义域是R，当a = 0时，f (x ) =x | x| =x | x | =f (x )， f (x )是奇函数.当a0时， f (a ) = 0，f (a ) = 2a | a |， f (a )f (a )且f (a )f (a )， f (x )既不是奇函数，也不是偶函数.（II） x | xa |2a2， 原不等式等价于 或 由得，无解；由得，即， 当a = 0时，x0； 当a0时，由，得x2a.当a0时，由，得xa.综上，当a0时，f (x )2a2的解集为x| x2a；当a0时，f (x )2a2的解集为x| x