高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2.2最大值最小值问题导学案.docx

4.2.2最大值、最小值问题学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.知识点函数的最大(小)值与导数如图为yf(x)，xa，b的图像.思考1观察a，b上函数yf(x)的图像，试找出它的极大值、极小值.答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).思考2结合图像判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3).思考3函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？答案不一定，也可能是区间端点的函数值.梳理(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.(2)求函数yf(x)在闭区间a，b上的最值的步骤：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.类型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值例1求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x2，3；(2)f(x)xsin x，x0，2.解(1)因为f(x)2x312x，所以f(x)6x2126(x)(x)，令f(x)0，解得x或x.因为f(2)8，f(3)18，f()8，f()8；所以当x时，f(x)取得最小值8；当x3时，f(x)取得最大值18.(2)f(x)cos x，令f(x)0，又x0，2，解得x或x.因为f(0)0，f(2)，f()，f().所以当x0时，f(x)有最小值0；当x2时，f(x)有最大值.反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.跟踪训练1求函数f(x)ex(3x2)，x2，5的最值.解f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1).在区间2，5上，f(x)ex(x3)(x1)0，函数f(x)在区间2，5上是减少的，当x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；当x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.命题角度2含参数的函数求最值例2已知a是实数，函数f(x)x2(xa).(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)在区间0，2上的最大值.解(1)f(x)3x22ax.因为f(1)32a3，所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为3xy20.(2)令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0，2上是增加的，从而f(x)maxf(2)84a.当2，即a3时，f(x)在0，2上是减少的，从而f(x)maxf(0)0.当02，即0a0，则令f(x)0，解得x.由x0，1，则只考虑x的情况.当01，即0a1时，当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，)(，1)f(x)0f(x)2a故f(x)maxf()2a；当1，即a1时，f(x)0，函数f(x)在0，1上是增加的，当x1时，f(x)有最大值f(1)3a1.综上，当a0，x0时，f(x)有最大值0；当0a0，求f(x)的最小值为2时m的值.解因为f(x)(x0)，所以当x(0，m)时，f(x)0，f(x)在(m，)上是增加的，所以当xm时，f(x)取得极小值，也是最小值，即极小值为2.即f(m)ln m2，所以me.反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.跟踪训练3设f(x)x3x22ax.当0a2时，f(x)在1，4上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值.解f(x)x2x2a，令f(x)0，得两根x1，x2.当x(，x1)，(x2，)时，f(x)0，所以f(x)在(，x1)，(x2，)上是减少的，在(x1，x2)上是增加的.当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1，4上的最大值为f(x2).又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)，所以f(x)在1，4上的最小值为f(4)8a，故a1，x22，从而f(x)在1，4上的最大值为f(2).类型三与最值有关的恒成立问题例4已知函数f(x)(x1)ln xx1.若xf(x)x2ax1恒成立，求a的取值范围.解f(x)ln x1ln x，xf(x)xln x1，而xf(x)x2ax1(x0)等价于ln xxa.令g(x)ln xx，则g(x)1.当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0，x1是g(x)的最大值点，g(x)g(1)1.综上可知，a的取值范围是.反思与感悟“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.一般地，可采用分离参数法.f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.跟踪训练4已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数.若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围.解由题意，知f(1)3c.因此bc3c，从而b3.所以对f(x)求导，得f(x)4ax3ln xax412x3x3(4aln xa12).由题意，知f(1)0，即a120，得a12.所以f(x)48x3ln x(x0)，令f(x)0，得x1.当0x1时，f(x)0，此时f(x)为减函数；当x1时，f(x)0，此时f(x)为增函数.所以f(x)在x1处取得极小值f(1)3c，并且此极小值也是最小值.所以要使f(x)2c2(x0)恒成立，只需3c2c2即可.整理，得2c2c30，解得c或c1.所以c的取值范围是(，1.1.函数f(x)x24x7，在x3，5上的最大值和最小值分别是()A.f(2)，f(3) B.f(3)，f(5)C.f(2)，f(5) D.f(5)，f(3)答案B解析f(x)2x4，当x3，5时，f(x)0，故f(x)在3，5上是减少的，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5).2.函数f(x)x33x(|x|1)()A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值答案D解析f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1，1)时，f(x)0，又x(0，1)，0aC.m D.m答案A解析f(x)2x36x2，令f(x)0，得x0或x3，验证可知x3是函数的最小值点，故f(x)minf(3)3m，由f(x)90恒成立，得f(x)9恒成立，即3m9，m.5.设函数f(x)2x39x212x8c，若对任意的x0，3，都有f(x)0；当x(1，2)时，f(x)0.当x1时，f(x)取极大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，当x0，3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0，3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c9.故c的取值范围为(，1)(9，).1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值.2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.40分钟课时作业一、选择题1.函数yxsin x，x，的最大值是()A.1 B.1C. D.1答案C解析y1cos x0，故yxsin x在，上是增加的，所以当x时，ymax.2.已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()A.f(a)g(a) B.f(b)g(b)C.f(a)g(b) D.f(b)g(a)答案A解析令F(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)0，F(x)在a，b上单调递减，F(x)maxF(a)f(a)g(a).3.已知函数yx22x3在区间a，2上的最大值为，则a等于()A. B.C. D.或答案C解析当a1时，最大值为4，不符合题意.当1a1对x(1，)恒成立，则实数a的取值范围是()A.(，1) B.(，1C.(1，) D.1，)答案D解析f(x)1，即axln x1，a，令g(x)，则g(x)，x(1，)，g(x)0，则g(x)g(1)1，a1.5.函数f(x)x3mx21在2，1上的最大值就是f(x)的极大值，则m的取值范围为()A.(6，3) B.6，3C. D.答案D解析f(x)3x22mx3x(x)，令f(x)0，得x10，x2，由题意知m0).y2t.当0t时，y时，y0，可知y在(，)上是增加的.故当t时，|MN|有最小值.二、填空题8.函数f(x)(x2，2)的最大值是_，最小值是_.答案22解析f(x)，令f(x)0，得x11，x21.由f(2)，f(1)2，f(1)2，f(2)，得f(x)max2，f(x)min2.9.已知a0，若函数f(x)在1，1上的最大值为2，则实数a的值为_.答案1解析求导得f(x)，令f(x)0，可得x1或xa，又f(1)0，f(a)1，f(1)，若12，则有a1；若2，则也有a1，因此a1.10.已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1，1，则f(m)f(n)的最小值是_.答案13解析f(x)3x22ax，由题意知f(2)0，得a3，f(x)x33x24，令f(x)3x26x3x(x2)0，解得x10，x22(舍去)，f(1)0，f(0)4，f(1)2，f(x)min4，f(x)3x26x3(x1)23，f(x)minf(1)9，f(m)f(n)的最小值是4913.11.函数f(x)ax44ax2b(a0，1x2)的最大值为3，最小值为5，则a_，b_.答案23解析f(x)4ax38ax4ax(x22)，a0，x1，2，当x(1，)时，f(x)0，f(x)minf()b4a5，f(x)maxf(2)b3，由可得a2，b3.三、解答题12.已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最大值和最小值.解(1)f(x)3x22ax3，x1，)时f(x)0恒成立，a(x)min3(当且仅当x1时取最小值).a3.(2)由题意知f(3)0，即276a30，a5，f(x)x35x23x，f(x)3x210x3.令f(x)0，得x13，x2(舍去).当1x3时，f(x)0，当3x0，即当x3时，f(x)取极小值f(3)9.又f(1)1，f(5)15，f(x)在1，5上的最小值是9，最大值是15.13.设f(x)ln x，g(x)f(x)f(