【解析版】四川省内江市2012-2013学年高二（下）期末数学试卷（理科）.doc

2012-2013学年四川省内江市高二（下）期末数学试卷（理科）一选择题：本大共10小题，每小题5分，共50分；在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置1（5分）抛物线y=x2焦点坐标是（）A（，0）B（，0）C（0，）D（0，）考点：抛物线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：将抛物线的方程标准化，即可求得其焦点坐标解答：解：抛物线y=x2，其标准方程为：x2=y，焦点F的坐标为F（0，）故选C点评：本题考查抛物线的简单性质，将抛物线的方程标准化是关键，属于基础题2（5分）点M的极坐标是，则M的直角坐标为（）ABCD考点：点的极坐标和直角坐标的互化专题：计算题分析：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，可求出点的直角坐标解答：解：x=cos=2cos =1，y=sin=2sin =，将极坐标（2，）化为直角坐标是（1，）故选D点评：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，同时考查了三角函数求值，属于基础题3（5分）已知向量=（2，3，5）与向量=（3，k，）平行，则实数k为（）ABCD考点：共线向量与共面向量专题：计算题分析：根据两个向量平行，写出向量平行的向量形式的充要条件（），建立等式关系，解之即可求出所求解答：解：设则（3，k，）=（2，3，5）=，k=故选：B点评：本题主要考查了向量平行的向量形式的充要条件（），是解题的关键，属于基础题4（5分）设椭圆的两个焦点为F1，F2，若双曲线C上的动点到F1，F2的距离之差的绝对值是8，则双曲线的方程是（）ABCD考点：双曲线的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据焦点坐标求得c，进而根据|PF1|PF2|=8求得a，最后根据a和c求得b，则双曲线的方程可得解答：解：依题意可知双曲线的c=5，根据双曲线定义及|PF1|PF2|=8可知2a=8，a=4，b=3双曲线的方程为 故选D点评：本题主要考查了双曲线的标准方程解题的关键是熟练掌握和应用标准方程中a，b和c的关系5（5分）（2010泸州二模）曲线与曲线（k9）的（）A焦距相等B长、短轴相等C离心率相等D准线相同考点：圆锥曲线的共同特征专题：计算题；分类讨论分析：先利用椭圆的性质可分别求得两个曲线的长，短轴的长、焦距、离心率和准线方程，进而比较可推断出答案解答：解：对于曲线，a=5b=3，c=4，离心率e=，准线方程为x=，曲线，c=4，a=，b=，e=，准线方程为x=当k0时，两个曲线的焦距相等长、短轴、离心率和准线方程均不相同，当k=0时两个曲线的方程相同，则焦距、长、短轴、离心率和准线方程均相同，综合可知，两个曲线的焦距一定相等故选A点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，椭圆的简单性质考查了学生对椭圆基础知识的掌握6（5分）已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线l与平面的位置关系是（）Al平面Bl平面或l平面Cl平面Dl平面考点：空间点、线、面的位置；空间中直线与平面之间的位置关系专题：空间向量及应用分析：首先利用数量积判断与的关系，然后利用平面的法向量和平面是垂直的关系，可以判断直线与平面的位置关系解答：解：因为=（2，3，1）（4，0，8）=24+30+18=0，所以所以，所以直线l平面或l平面故选B点评：本题的考点是空间向量的应用，先通过计算数量积，确定方向向量和法向量之间的关系，是解决本题的关键7（5分）（2012鹰潭一模）如图，已知F1，F2是椭圆（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为（）ABCD考点：椭圆的简单性质专题：计算题分析：连接OQ，PF1，先利用三角形中位线定理证明OQPF1，OQ=PF1，而OQ即为圆的半径b，从而得焦半径PF1=2b，再利用椭圆的定义，得PF2=2a2b，最后利用直线与圆相切的几何性质，证明PF1PF2，从而在三角形中利用勾股定理得到a、b、c间的等式，进而计算离心率即可解答：解：如图：连接OQ，PF1，点Q为线段PF2的中点，OQPF1，OQ=PF1，PF1=2OQ=2b，由椭圆定义，PF1+PF2=2a，PF2=2a2b线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，OQPF2，PF1PF2，且|F1F2|=2c，（2b）2+（2a2b）2=（2c）2即3b=2a，5a2=9c2，e=故选 B点评：本题主要考查了椭圆的定义及其运用，直线与圆的位置关系，椭圆的几何性质及其离心率的求法，属基础题8（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成600角，则此时B、D的距离是 （）A2或B2或C2D1或考点：点、线、面间的距离计算专题：计算题；转化思想分析：先利用向量的加法将向量 转化成 ，等式两边进行平方，求出向量 的模即可解答：解：ACD=90，=0同理 =0AB和CD成60角，=60或120，=3+211cos=|=2或 ，即B、D间的距离为2或 故选B点评：本小题主要考查异面直线所成的角，以及数量积表示两个向量的夹角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题9（5分）已知向量=（x，y），=（cos，sin），其中x，y，R，若|，则成立的一个必要而不充分条件是（）A33B11C3或3D1或1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积的运算专题：计算题分析：易得=4，=1，进而可得的范围，又可得集合|2，或2是要选的答案对应集合的真子集，结合选项可得解答：解：由题意可得=4=4，故=4，=1，故=cos=4cos4，4，故可得24，解得2，或2所以集合|2，或2是要选的答案对应集合的真子集，综合选项可得只有D符合题意，故选D点评：本题考查充要条件的判断，从集合的包含关系入手是解决问题的关键，属基础题10（5分）一只小球放入一长方体容器内，且恰与共点的三个面接触，若该球面上一点到这三个面的距离分别为4，5，5，则这只小球的半径是（）A2或11B8或11C5或8D3或8考点：点、线、面间的距离计算专题：空间位置关系与距离分析：建立空间直角坐标系ABCDA1B1C1D1为正方体，点A1、C1、D为切点，点D1为球心P点为球面上一点，假设PM=PN=5，PQ=4不妨设P（x，y，4），由题意可得：解出即可解答：解：如图所示，建立空间直角坐标系ABCDA1B1C1D1为正方体，点A1、C1、D为切点，点D1为球心P点为球面上一点，假设PM=PN=5，PQ=4不妨设P（x，y，4），由题意可得：化为R214R+33=0，解得R=3或11故选A点评：熟练掌握球的性质和建立坐标系得出关系式是解题的关键二填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请吧答案填在答题卡上11（5分）向量与的夹角的余弦值为考点：用空间向量求直线间的夹角、距离专题：空间向量及应用分析：利用向量夹角公式即可得出解答：解：，=，=故答案为点评：熟练掌握向量夹角公式是解题的关键12（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=2，DD1=2，则AC1与面BDD1所成角的大小是考点：用空间向量求直线间的夹角、距离专题：空间角分析：通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量与斜向量的夹角公式即可得出解答：解：如图所示， 建立空间直角坐标系，由长方体可得，DD1AC由底面ABCD为矩形，AB=BC=2，四边形ABCD为正方形，ACBD，而BDDD1=D，AC平面BDD1B1可取作为平面BDD1B1的法向量又=设AC1与面BDD1所成角为=由图形可知：为锐角，故答案为点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量与斜向量的夹角公式求线面角的方法是解题的关键13（5分）设抛物线y2=4x的一条弦AB以点P（1，1）为中点，则弦AB的长为考点：抛物线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设出A，B坐标，分别代入抛物线方程，两式相减整理，利用中点的纵坐标求得直线AB的斜率，从而得出直线AB的方程，最后联立方程组求解即可解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2）代入抛物线方程得y12=4x1，y22=4x2，整理得k=2，故AB的方程为：y1=2（x1），即y=2x1，代入抛物线y2=4x的方程得：4x28x+1=0，则x1+x2=2，x1x2=，则|AB|=故答案为：点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系涉及曲线弦的中点和斜率时，一般可采用点差法，设出交点的坐标代入曲线方程，相减后整理出直线斜率与中点坐标的关系14（5分）P（x，y）是曲线（为参数）上任意一点，则（x5）2+（y+4）2的最大值为36考点：两点间的距离公式；两角和与差的正弦函数专题：计算题；直线与圆分析：将曲线消去参数，得以（2，0）为圆心，半径为1的圆结合坐标系内两点间的距离公式，得到（x5）2+（y+4）2表示动点P与Q（5，4）之间距离的平方，由此根据圆的性质即可得到（x5）2+（y+4）2的最大值解答：解：曲线（为参数），消去参数得（x2）2+y2=1点P在以（2，0）为圆心，半径为1的圆上运动设Q（5，4），可得|PQ|=（x5）2+（y+4）2表示动点P与Q（5，4）之间距离的平方，|PQ|最大值=+1=5+1=6|PQ|2最大值=36，即得（x5）2+（y+4）2的最大值为36故答案为：36点评：本题给出圆上的动点P，求点P到Q（5，4）之间距离的最大值，着重考查了曲线方程的化简、圆的性质和两点间的距离公式等知识，属于基础题15（5分）先阅读第（1）题的解法，再解决第（2）题：（1）已知向量，求x2+y2的最小值解：由得，当时取等号，所以x2+y2的最小值为（2）已知实数x，y，z满足2x+3y+z=1，则x2+y2+z2的最小值为考点：平面向量数量积的运算；基本不等式专题：计算题分析：构造向量=（2，3，1），=（x，y，z），类比（1）的解法可得解答：解：由题意，构造向量=（2，3，1），=（x，y，z），显然有=2x+3y+z=1，由得1，解得x2+y2+z2，当时取等号故答案为：点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及类比的方法，属中档题三解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、推演步骤16（12分）设p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0；q：实数x满足0，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：不等式的解法及应用分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围解答：解：由p是q的必要不充分条件，转化成它的逆否命题q是p的必要不充分条件，即p 是q的充分不必要条件，也就是p推出q且q不能推出p（4分）化简条件p得，A=x|3axa，a0，化简条件q得，B=x|x4或x2（8分）由AB，得或解得a4或a0（12分）点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意等价转化思想的运用17（12分）已知定点F（0，1）和定直线l：y=1，过定点F与定直线l相切的动圆的圆心为点C（1）求动圆的圆心C的轨迹W的方程；（2）设点P是W上的一动点，求PF的中点M的轨迹方程考点：轨迹方程；圆的标准方程专题：直线与圆分析：（1）设圆心C（x，y），利用条件过定点F与定直线l相切的动圆建立方程，可求轨迹方程（2）设中点M（x，y），利用与P，F的关系，通过代入法建立方程，从而可求M的轨迹方程解答：解：（1）设C（x，y），因为圆C定点F与定直线l相切，所以|CF|=|x+1|，即圆心C到定点和直线y=1的距离相等轨迹抛物线的定义可知，C的轨迹是以F为焦点，y=1为准线的抛物线，设抛物线方程为x2=2py，其中，所以p=2，即抛物线方程为x2=4y（2）设PF的中点M（x，y），P（x1，y1），则由中点坐标公式可得，代入抛物线方程x2=4y，得（2x）2=4（2y1），即x2=2y1，所以PF的中点M的轨迹方程为x2=2y1点评：本题的考点是轨迹方程的求法，通过抛物线的定义可确定轨迹方程，利用代入法求动点轨迹也是一种基本的方法，要求熟练掌握18（12分）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若AB=1，AD=2，AA1=3，BAD=90，BAA1=DAA1=60（1）求AC1的长；（2）求异面直线AC1与A1B所成角的余弦值考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；点、线、面间的距离计算专题：空间角分析：（1）根据=，两边平方，利用向量的数量积公式，即可得到结论；（2）确定的数量积与模长，利用向量的夹角公式，即可求得异面直线AC1与A1B所成角的余弦值解答：解：（1）=，AB=1，AD=2，AA1=3，BAD=90，BAA1=DAA1=60=1+4+9+212cos90+213cos60+223cos60=23=；（2），=，（）=139=11=1+93=7，cos=异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为点评：本题考查空间角，考查向量知识的运用，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题19（12分）中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3：7（）求椭圆和双曲线的方程；（）若P为双曲线与椭圆的交点，求cosF1PF2考点：椭圆的标准方程；双曲线的标准方程专题：计算题分析：（）根据半焦距c=，设椭圆长半轴为a，由离心率之比求出a，进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长，写出椭圆和双曲线的标准方程（）由椭圆、双曲线的定义求出PF1与PF2的长，三角形F1PF2中，利用余弦定理求出 cosF1PF2 的值解答：解：（）由题意知，半焦距c=，设椭圆长半轴为a，则双曲线实半轴 a4，离心率之比为=，a=7，椭圆的短半轴等于=6，双曲线虚半轴的长为=2，椭圆和双曲线的方程分别为：和 （）由椭圆的定义得：PF1 +PF2=2a=14，由双曲线的定义得：PF1PF2=6，PF1与PF2中，一个是10，另一个是 4，不妨令PF1=10，PF2=4，又F1F2=2，三角形F1PF2中，利用余弦定理得：=100+1680cosF1PF2，cosF1PF2=点评：本题考查椭圆、双曲线标的定义应用和标准方程的求法，以及利用余弦定理解三角形20（13分）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，BAC=30，BMAC交AC于点M，EA平面ABC，FCEA，AC=4，EA=3，FC=1（1）证明：EMBF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值；（3）当时，求点P到平面ABE的距离考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）根据线面垂直得到线与线垂直，根据直径所对的圆周角是直角，得到两个三角形是等腰直角三角形，利用线面垂直的判定定理得到结果；（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CHBG，连接FH，做出FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角；（3）建立空间直角坐标系，求出平面ABE的法向量，的坐标，利用距离公式可得结论解答：（1）证明：EA平面ABC，BM平面ABC，EABM又BMAC，EAAC=A，BM平面ACFE，而EM平面ACFE，BMEMAC是圆O的直径，ABC=90又BAC=30，AC=4，AB=2，BC=2，AM=3，CM=1EA平面ABC，FCEA，=FC平面ABCEAM与FCM都是等腰直角三角形EMA=FMC=45EMF=90，即EMMFMFBM=M，EM平面MBF而BF平面MBF，EMBF（2）解：延长EF交AC于G，连BG，过C作CHBG，连接FH由（1）知FC平面ABC，BG平面ABC，FCBG而FCCH=C，BG平面FCHFH平面FCH，FHBG，FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角在RtABC中，BAC=30，AC=4，BM=ABsin30=由=，得GC=2BG=2又GCHGBM，=，则CH=1FCH是等腰直角三角形，FHC=45平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为（3）解：以A为坐标原点，垂直于AC的直线，AC，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设P（0，y0，z0），E（0，0，3），F（0，4，1）=（0，4，2）=（0，y0，z03）=6，P（O，），=（0，）BCAB，BCAE，ABAE=ABC平面ABE平面ABE的一个法向量为=（，1，0）点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系