各高三数学期末考试压轴题汇编人教

用心 爱心 专心 116 号编辑 1 2005 20062005 2006 年各省市高三数学期末考试压轴题汇编年各省市高三数学期末考试压轴题汇编 1 设 a 0 为奇函数 且 xf cx bxax 1 2 min 数列 an 与 bn 满足 如下关系 a1 2 xf22 2 1 nn n aaf a 1 1 n n n a a b 1 求f x 的解析表达式 2 证明 当n N 时 有bn n 3 1 2 设的图象上任意两点 且 x x xfyxByxA 1 log 2 1 22211 是函数 已知点 M 的横坐标为 2 1 OBOAOM 2 1 I 求证 M 点的纵坐标为定值 若 1 1 2 n i nn SnNn n i fS求且其中 已知为数列的前 n 项和 n nn n TNn n SS n a 2 1 1 1 1 3 2 1 其中 n a 若都成立 试求的取值范围 NnST nn 对一切 1 1 3 数列的各项均为正值 对任意 n a1 1 a Nn 1 41 2 1 nnn aaa 都成立 1 log2 nn ab 求数列 的通项公式 n a n b 当且时 证明对任意都有成7 k Nk Nn 2 31111 121 nknnn bbbb 立 用心 爱心 专心 116 号编辑 2 4 在直角坐标平面上 O 为原点 M 为动点 过点 M 作 MM1 5 OMOMON 5 52 y 轴于 M1 过 N 作 NN1 轴于点 N1 x 记点 T 的轨迹为曲线 C 点NNMMOT 11 A 5 0 B 1 0 过点 A 作直线 交曲线 C 于l 两个不同的点 P Q 点 Q 在 A 与 P 之间 求曲线 C 的方程 证明不存在直线 使得 lBQBP 过点 P 作轴的平行线与曲线 C 的另一交点为 S 若 证yAQtAP 明 BQtSB 5 已知定义在R上的函数f x a b c d R 的图象关于原dcxbxax42 23 点对称 且x 1 时 f x 取极小值 5 2 求f x 的解析式 当x 1 1 时 图象旧否存在两点 使得此两面三刀点处的切线互相垂直 试 证明你的结论 若 1 1 时 求证 f f n S 1 C 2 x 5 4 6 已知二次函数经过点 0 10 其导数 当 yf x fxx 25xnn 1 时 是整数的个数记为 nN f x an 1 求数列的通项公式 an 2 令 求数列的前 n 项 项和 b aa n nn 4 1 ab nn nnN 3 Sn BA N1 M1 51 N M y x O 用心 爱心 专心 116 号编辑 3 7 设函数 y f x 的定义域为 0 且对任意的正实数 x y 均有 f xy f x f y 恒成 立 已知 f 2 1 且当 x 1 时 f x 0 1 求 f 1 f 的值 2 1 2 试判断 y f x 在 0 上的单调性 并加以证明 3 一个各项均为正数的数列 an 满足 f Sn f an f an 1 1 n N 其中 Sn是数列 an 的前 n 项和 求数列 an 的通项公式 4 在 3 的条件下 是否存在正数 M 使 2n a1 a2 an M 2a1 1 2a212 n 1 2an 1 对于一切 n N 均成立 若存在 求出 M 的范围 若不存在 请说明理由 8 设函数 f x a N 又存在非零自然数 m 使得 f m m f m 2 2 ax x 0 为奇函数 且 xf cx bxax 1 2 min 数列 an 与 bn 满足 如下关系 a1 2 xf22 2 1 nn n aaf a 1 1 n n n a a b 1 求f x 的解析表达式 2 证明 当n N 时 有bn n 3 1 用心 爱心 专心 116 号编辑 5 13 已知函数f x 定义域为 1 1 2 148 23 x bxaxx 若a b 0 求f x 的最小值 若对任意x 1 1 不等式 6 f x 5 均成立 求实数a b的值 2 6 x x 14 已知二次函数经过点 0 10 其导数 当 yf x fxx 25xnn 1 时 是整数的个数记为 1 求数列的通项公式 2 令nN f x an an 求数列的前 n 项 项和 b aa n nn 4 1 ab nn nnN 3 Sn 15 设函数 y f x 的定义域为 0 且对任意的正实数 x y 均有 f xy f x f y 恒成立 已知 f 2 1 且当 x 1 时 f x 0 1 求 f 1 f 的值 2 试判断 y f x 在 0 上的单调性 并加以证明 2 1 3 一个各项均为正数的数列 an 满足 f Sn f an f an 1 1 n N 其中 Sn是数列 an 的前 n 项和 求数列 an 的通项公式 4 在 3 的条件下 是否存在正数 M 使 2n a1 a2 an M 2a1 1 2a2 1 2an 1 对于一切 n N 均成立 12 n 若存在 求出 M 的范围 若不存在 请说明理由 用心 爱心 专心 116 号编辑 6 16 对于函数 若存在 使 成立 则称为 的 滞点 已 x fRx0 00 x x f 0 x x f 知函数 f x 2x2 x 2 I 试问有无 滞点 若有 求之 否则说明理由 x f II 已知数列的各项均为负数 且满足 求数列的通项公式 n a1 a 1 fS4 n n n a III 已知 求的前项和 n nn 2ab n b n T 17 a11 a12 a18 a21 a22 a28 64 个正数排成 8 行 8 列 如下所示 a81 a82 a88 在符合中 i表示该数所在的行数 j表示该数所在的列数 已知每一 81 81 jiaij 行中的数依次都成等差数列 而每一列中的数依次都成等比数列 每列公比 q 都相等 且 2 1 11 a1 24 a 4 1 32 a 若 求和的值 4 1 21 a 12 a 13 a 记第 n 行各项之和为 An 1 n 8 数列 an bn cn 满足 联 n n A a 36 m 为非零常数 且 求的取 2 1nnn mbamb n n n a b c 100 2 7 2 1 cc 721 ccc 值范围 对 中的 记 设 求数列中最大项的 n a 200 n n dnN a 21 NndddB nn n B 项数 用心 爱心 专心 116 号编辑 7 18 已知 c 0 n n n R 的最小值为 1 若动点P同时满 c 0 OF OG FG 足下列三个条件 其中 0 c a PE a c PFOFPE Rtt c a OE 0 2 动点 P 的轨迹 C 经过点 B 0 1 1 求 c 值 2 求曲线 C 的方程 3 方向向量为的直线l与曲线C交于不同两点M N 若 0 1 0 kka 求 k 的取值范围 BNBM 19 已知函数 0 1 ln2 fx x b axxf 1 若函数在其定义域内为单调函数 求的取值范围 xfa 2 若函数的图象在处的切线的斜率为 0 且 已 xf1 x1 1 1 2 1 n na fa n n 知 求证 4 1 a22 nan 20 F1 F2为双曲线的左右焦点 O 为坐标原点 P 在双曲线的左支上 点 M 在右 22 22 1 xy ab 准线上 且满足 0 1 FOPM 1 1 OFOM OP OFOM 1 求此双曲线的离心率 2 若过点 N 的双曲线 C 的虚轴端点分别为 B1 B2 B1在 y 轴正半轴上 点23 A B 在双曲线上 且 求双曲线 C 和直线 AB 的方程 22 B AB B 11 0B A B B 用心 爱心 专心 116 号编辑 8 21 对于定义域为 D 的函数 若同时满足下列条件 xfy 在 D 内单调递增或单调递减 xf 存在区间 使在 上的值域为 那么把ba D xfba ba 叫闭函数 xfy Dx 1 求闭函数符合条件 的区间 3 xy ba 2 判断函数是否为闭函数 并说明理由 0 1 4 3 x x xxf 3 若是闭函数 求实数的取值范围 2 xkyk 22 已知函数 f x 在 0 1 上的最小值为 aax 24 4 2 1 1 求 f x 的解析式 2 证明 f 1 f 2 f n n n N N 2 1 1 2 1 n 用心 爱心 专心 116 号编辑 9 23 已知二次函 cbxaxxf 2 1 若任意x1 x2 R 且 都有 求证 关于x的方程 21 xx 21 xfxf 有两个不相等的实数根且必有一个根属于 2 1 21 xfxfxf 21 x x 2 若关于x的方程在 的根为m 且成等差 2 1 21 xfxfxf 21 x x 21 2 1 xmx 数列 设函数f x 的图象的对称轴方程为 求证 0 xx 2 0 mx 1 解 由 f x 是奇函数 得 b c 0 3 分 由 f x min 得 a 2 故 f x 6 分 22 x x12 2 2 2 1 nn n aaf a n n n n n a a a a a 2 1 2 12 2 2 8 分 12 12 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 nn nn n n n n n n n aa aa a a a a a a b 2 1 1 n n a a 2 n b 而b1 n b 2 1 n b 4 2 n b 1 2 1 n b 3 1 10 分 n b 1 2 3 1 n 当 n 1 时 b1 命题成立 12 分 3 1 当 n 2 时 2 1 1 1 1 1 1 n 1 1 2 1 1 1 n nnn CCC 1 1 n C 即 bn 14 分 1 2 3 1 n n 3 1 n 3 1 注 不讨论 n 1 的情况扣 2 分 2 本小题满分 14 分 I 证明 M 是 AB 的中点 设 M 点的坐标为 x y 2 1 OBOAOM 2 1 1 1 1 2 1 2 1 21 12212121 yyy xxxxxxxxx 而 或则得由 用心 爱心 专心 116 号编辑 10 2 1 01 2 1 log1 2 1 11 log1 2 1 1 log 1 log1 2 1 1 log 2 1 1 log 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 21 x x x x x x x x x x x x x x x x xfxf M 点的纵坐标为定值 4 分 2 1 II 解 由 I 知 1 1 212121 yyxfxfxx 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 n f n n f n n f n f n n f n fS n f n n f n n fS n n f n f n fS n n n 相加得 8 分 个1 111 n 9 分 2 2 1 Nnn n Sn III 2 1 1 1 4 2 1 4 1 1 1 2 1 nnnnSS an nn n 时当 nn aaaaT 321 2 1 3 1 4 3 2 2 1 1 1 5 1 4 1 4 1 3 1 4 3 2 n nn 11 分 2 2 n n 用心 爱心 专心 116 号编辑 11 2 1 44 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 44 4 2 4 2 2 2 2 1 22 1 n n n n n n n nn n n n n n n ST nn 成立时当且仅当 得由 因此 14 分 2 1 2 1 的取值范围是即 3 14 分 数列的各项均为正值 对任意 n a1 1 a Nn 1 41 2 1 nnn aaa 都成立 1 log2 nn ab 1 求数列 的通项公式 n a n b 2 当且时 证明对任意都有成立 7 k Nk Nn 2 31111 121 nknnn bbbb 1 解 由得 1 41 2 1 nnn aaa 2 分0 12 12 11 nnnn aaaa 数列的各项为正值 n a012 1 nn aa 3 分12 1 nn aa 4 分 1 21 1 nn aa 又021 1 a 数列为等比数列 6 分 1 n a 即为数列的通项公式 7 分 nn n aa22 1 1 1 1 12 n n a n a 8 分nb n n 112 log2 2 设 1 1 2 1 1 111111 121 nknnnbbbb S nknnn 1 10 分 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 11 2 nnknknnknnkn S 当时 0 0 yxxyyx2 xyyx 1 2 11 4 11 yx yx 当且仅当时等号成立 12 分 yxyx 411 yx 上述 1 式中 全为正 所以7 k0 n1 2 1 nknn 13 分 1 1 4 1 4 32 4 21 4 1 4 2 nkn kn nnknknnknnkn S 14 分 得证 2 3 17 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 kk k n k k S 用心 爱心 专心 116 号编辑 12 4 14 分 在直角坐标平面上 O 为原点 M 为动点 过点5 OMOMON 5 52 M 作 MM1 轴于 M1 过 N 作 NN1 轴于点 N1 记点 T 的轨迹为曲线yxNNMMOT 11 C 点 A 5 0 B 1 0 过点 A 作直线 交曲线 C 于两个不同的点 P Q 点 Q 在 A 与 P 之l 间 1 求曲线 C 的方程 2 证明不存在直线 使得 lBQBP 3 过点 P 作轴的平行线与曲线 C 的另一交点为 S 若 证yAQtAP 明 BQtSB 1 解 设点 T 的坐标为 点 M 的坐标为 则 M1的坐标为 yx yx 0 y 点 N 的坐标为 1 分 5 52 5 52 yxOMON 5 52 5 52 yx N1的坐标为 2 分 0 5 52 x 5 52 0 0 11 yNNxMM 由有 NNMMOT 11 5 52 0 0 yxyx 由此得 3 分 5 52 yy xx yyxx 2 5 由有5 OM5 22 yx 即 即为所求的方程 曲线 C 为椭圆 4 分5 2 5 22 yx1 45 22 yx 2 证 点 A 5 0 在曲线 C 即椭圆的外部 当直线 的斜率不存在时 直线 与椭圆 C 无ll 交点 所以直线 斜率存在 并设为 直线 的方程为 5 分lkl 5 xky 由方程组 得 6 分 5 1 45 22 xky yx 02012550 45 2222 kxkxk 依题意 得 7 分0 8016 20 2 k 5 5 5 5 k 当时 设交点 PQ 的中点为 R 则 5 5 5 5 k 2211 yxQyxP 00 yx 45 50 2 2 21 k k xx 45 25 2 2 2 21 0 k kxx x BA N1 M1 51 N M y x O 用心 爱心 专心 116 号编辑 13 8 分 45 20 5 45 25 5 22 2 00 k k k k kxky 又BR BQBP l 1 BR kk 9 分420201 204 20 45 25 1 45 20 22 2 2 2 2 2 kk k k k k k k kkk BR 但不可能成立 所以不存在直线 使得 10 分42020 22 kklBQBP 3 证明 由题有 S 11 yx 5 5 2211 yxAQyxAP 则有方程组 11 分 4 1 45 3 1 45 2 1 5 5 2 2 2 2 2 1 2 1 21 21 yx yx tyy xtx 由 1 得 5 5 5 21 xtx 将 2 5 代入 3 有205 5 5 4 2 2 22 2 ytxt 整理并将 4 5 代入得 0 1 5 1 2 1 2 2 2 ttxtt 易知 解得 12 分1 t t t x 23 2 因 故 0 1 11 yxSB 1 11 yxSB 1 22 yxBQ 0 0 0 6 46 4 0 62 4 0 1 5 5 1 1 1 1 1 222 21212211 t t t xtxtxt tyyxtxyxtyxBQtSB 14 分BQtSB 5 解 函数 f x 的图象关于原点对称 f 0 0 即 4d 0 d 0 又 f 1 f 1 即 a 2b c a 2b c b 0 f x cx f x 3a c 3 ax 2 x x 1 时 f x 取极小值 5 2 3a c 0 且 a c 5 2 解得 a c 5 1 5 3 f x 4xx 5 3 5 1 3 当 x 1 1 时 图象上不存在这样的两点使得结论成立 假设图象上存在两点 A B 使得过此两点处的切线互相垂直 1 x 1 y 2 x 2 y 用心 爱心 专心 116 号编辑 14 则由 f x 1 知两点处的切线斜率分别为 5 3 2 x 1 k 5 3 1 2 1 x 且 1 2 k 1 5 3 2 2 x 11 25 9 2 2 2 1 xx 1 1 1 x 2 x 1 0 1 0 2 1 x 2 2 x 1 1 0 此与 矛盾 故假设不成立 8 分 文 12 分 2 1 x 2 2 x 理科 证明 f x 1 令 f x 0 得 x 1 5 3 2 x x 1 或 x 1 时 f x 0 x 1 1 时 f x 0 f x 在 1 1 上是减函数 且 x f 1 x f 1 max f 5 2 min f 5 2 在 1 1 上 f x 于是 1 1 时 5 2 1 x 2 x f f f f 12 分 1 x 2 x 1 x 2 x 5 4 5 2 5 2 6 解 1 设 将点 0 10 代入后 得 c 10f xaxbxc 2 fxaxb 2 已知 所以fxx 25ab 15 所以4 分f xxxx 22 510 5 2 15 4 在 1 2 上的值域为 4 6 所以f x a12 在 2 3 上的值域为 4 所以6 分f x 15 4 a21 当时 在 n n 1 上单调递增 其值域为 n 3f x f nf n 1 所以af nf nn n 124 所以8 分a n n nn n 21 12 243 2 令 则10 分cab nnn cabcab 111222 43 当时 n 3Sccccc nn 1234 用心 爱心 专心 116 号编辑 15 7 33 aabb nn 7 224 2 2 4 24 4 46 4 24 22 n n nn 12 分 7121 1 1 nn n 14 分 nn n n 2 3 1011 1 7 解 1 f 2 1 f 2 f 1 f 1 0 1 分 又 f 1 f 2 f 2 f 且 f 2 1 f 1 2 分 2 1 2 1 2 1 2 设 4 分 1 0 1 2 12 1 2 12 1 2 21 x x fxfxf x x fxfxf x x xx 则 0 0 1 12 1 2 1 2 xfxf x x f x x 即 函数 y f x 在 0 上是增函数 5 分 3 f 2 1 由 f Sn f an f an 1 1 n N 得 f 2Sn f an an 1 函数 y f x 在 0 上是增函数 2Sn an an 1 1 7 分 2 1 0 2 3 2 3 2 2 2 2 81 0 2 1 1111 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 2 111 2 11 Nnnaaaaaaaaa aaaaaaaaa aaSaaSn aaaaa nnnnnnnnn nnnnnnnnn nnnnnn 即 得 有时当 分得由 数列 an 是首项为 1 公差为 1 的等差数列 从而有 an n 10 分 4 an n 故不等式 12 12 12 122 2121 nn n aaanMaaa 可化为 2n 1 2 3 n M 1 3 5 2n 1 12 n 即 12 12 531 2 642 12 12 531 2 642 nn n ng nn n M 令 则是单调递增 12 分 1 1 32 12 22 1 ngngng nn n ng ng 对一切 n N 都成立的 12 12 531 2 642 3 32 1 min nn n Mgng 从而使 正数 M 的范围是 3 32 0 用心 爱心 专心 116 号编辑 16 8 本小题满分 14 分 1 由 得 2 分 mam m m am m 1 2 2 2 2 2 2 1 0 2 1 3 amm mma 由 1 得 m 1 2 a 当 a 2 时 m 2 满足 2 式 当 a 3 时 m 1 不满足 2 式 舍去 得 f x x 1 3 22 2 x x 分 2 由条件得 n n n n n Saa a a a f 4 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 an 1 an 2Sn 3 2 分 令 n 1 得 a1 1 又 an 1 1 an 1 2S n 1 an a n 1 an 1 a n 1 0 由 an a n 1 1 a1 1 得 an 是首项为 1 公差为 1 的等差数列 an 1 n 1 1 n 3 分 3 由 2 知 满足条件的数列不惟一 考虑到 a1 1 由 an a n 1 及 an a n 1 1 和 a1 1 构造数列 1 2 2 2 3 4 n 2 2 分 用数学归纳法证明 该数列满足 3 式 当 n 1 2 3 4 5 时 直接代入可得 3 式成立 假设 n k k 5 时 3 成立 则 n k 1 时 Sk 1 S k a k 1 ak 1 ak a k 1 a k 1 1 ak 1 a k 1 ak 1 1 2 1 2 1 2 1 a k 1 所以 n k 1 时 3 式成立 即该数列满足题设条件 得满足条件的数列不惟一 构造数列也可能是 1 1 1 2 3 4 n 1 2 2 2 2 2 1 n 1 2 n 1 1 2 2 2 3 4 n 等等 9 理 1 a a 22213211 aaa 8 1 32 a a 32213122 aaa 4 1 31 a a a 32223321 aaa 16 1 33 31 1 4 a 16 1 8 1 3332 a 2 由 a可归纳出 a a 4 1 2 1 1 312111 aa 2111 a是公比为 1n 2 1的等比数列 故 a 2 1 1 1 n n 用心 爱心 专心 116 号编辑 17 由 a nmnnn aaaaaaaa 16 1 8 1 4 1 4 1 2 1 3213332312221 可归纳出 的等比数列 故 a即 a 2 1 是公比为 2 1 2 1 11 mn nm 2 1 2 mn nm 3 由 2 知 S 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 nn nn n N N n n 1 2 1 1 2 1 1 2 1 nn 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 22 22 n nnnn 又 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 4 2 1 1 2 1 22 nnnnnn 1 2 n n S 1 22 n n SSS 111 21 3 14 41 41 1 nn 理 10 1 设 C x y 由 知 G 为 2GAGBGO 2GCGO ABC 的重心 G 2 分 3 x 3 y 由 知 M 是 ABC 的外心 M 在 x 轴上 由 知 M 0 3 x 由 得 MCMA 222 1 33 xx xy 化简整理得 x 0 6 分 2 2 1 3 x y 2 F 0 恰为的右焦点2 2 2 1 3 x y 设 PQ 的斜率为 k 0 且 k 则直线 PQ 的方程为 y k x 2 2 2 由 2222 22 2 31 6 2630 330 yk x kxk xk xy 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 x1 x2 x1 x2 8 分 2 2 6 2 31 k k 2 2 63 31 k k 用心 爱心 专心 116 号编辑 18 则 PQ 2 1k 2 1212 4xxx x 2 1k 22 2 22 6 263 4 3131 kk kk 2 2 2 3 1 31 k k RN PQ 把 k 换成得 RN 10 分 1 k 2 2 2 3 1 3 k k S PQ RN 1 2 22 22 6 1 31 3 k kk 2 2 8 2 1 3 10k k 2 2 18 3 10 2 k kS 2 16 2 2 1 k k 8 2S S 2 当 k 1 时取等号 12 分 3 2 又当 k 不存在或 k 0 时 S 2 综上可得 S 2 3 2 Smax 2 Smin 14 分 3 2 11 解 1 由已知 1 分 2 4 2 2 a b aa P 2 分 22 3 2 abxbaxy 所求 所求切线斜率为 3 分 42 22 2 3 2 2 a ab a ba a 切线方程为 0 2 4 2 4 22 bxy a x aa b a y 解得令 所以 函数y f x 过点 P 的切线过点 b 0 4 分 2 因为 所以 ba 2 axxxfy 5 分 3 343 22 a xaxaaxxy 当时 函数上单调递增 在 单调递减 0 a 3 a xfy 在 3 a a 用心 爱心 专心 116 号编辑 19 在上单调递增 a 所以 根据题意有 即 2 1 2 3 2 2 aaf a a f 21 2 27 4 2 23 aa aa 解之得 结合 所以 8 分 2 1 2 27 1 aa或0 a 2 27 1 a 当时 函数单调递增 9 分0 a 3 a xfy在 所以 根据题意有 10 分 2 1 2 aaf 即 整理得 22 2 1 1 aaaa 01564 23 aaa 令 1564 23 aaaag02 2 1 1251212 22 aaaag 所以 不等式无解 13 分01 0 0 gag又单调递增在区间 综上可知 14 分 2 27 1 a 12 解 由 f x 是奇函数 得 b c 0 3 分 由 f x min 得 a 2 故 f x 6 分 22 x x12 2 2 2 1 nn n aaf a n n n n n a a a a a 2 1 2 12 2 2 8 分 12 12 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 nn nn n n n n n n n aa aa a a a a a a b 2 1 1 n n a a 2 n b 而b1 n b 2 1 n b 4 2 n b 1 2 1 n b 3 1 10 分 n b 1 2 3 1 n 当 n 1 时 b1 命题成立 12 分 3 1 当 n 2 时 2 1 1 1 1 1 1 n 1 1 2 1 1 1 n nnn CCC 1 1 n C 用心 爱心 专心 116 号编辑 20 即 bn 14 分 1 2 3 1 n n 3 1 n 3 1 注 不讨论 n 1 的情况扣 2 分 1320 本小题共 12 分 解 当a b 0 时 f x 2 148 3 x x f x 2 分 2 23 2 144816 x xx 记h x 16x3 48x2 14 令h x 0 得x x 或x 4 217 4 217 2 1 若x 或 则f x 0 即f x 在和上为增函数 4 217 1 1 2 1 4 217 1 1 2 1 若x 则f x 0 即f x 在上为减函数 2 1 4 217 2 1 4 217 f 6 为极小值 2 1 又f 1 6 f x 在 1 1 上的最小值为f 1 f 6 2 1 f x 6 当x 1 或时 f x 取到最小值 6 6 分 2 1 6 f x 5 2 6 x x 6 5 2 148 23 x bxaxx 2 6 x x 6 x 2 8x3 ax2 6x 14 6x 16 0 8x3 ax2 b 6 x 2 4 8 分 即 42 6 8 02 6 8 23 23 xbaxx xbaxx 在不等式 中 取x 1 得 2 1 8 a b 6 2 0 1 02 6 2 1 4 1 ba 即a b 0 a b 0 4 1 2 1 亦即 a b 0 1 2 0 2 1 4 1 ba 用心 爱心 专心 116 号编辑 21 在不等式 中 取x 1 得 2 1 8 a b 6 2 4 1 a b 6 2 4 4 1 2 1 即a b 0 0ba 2 1 4 1 亦即a b 0 3 a 0 4 4 1 b 2 1 1 3 得b 0 2 4 得b 0 b 0 将b 0 代入 2 得a 0 将b 0 代入 3 得a 0 a 0 当a 0 b 0 时 6 f x 5 2 6 x x 0 8x3 ax2 b 6 x 2 4 0 8x3 6x 2 4 记g x 8x3 6x 2 0 g x 4 g x 24x2 6 令g x 0 得x 或x 2 1 2 1 若x 或则g x 0 即g x 在和上为增函数 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 若x 则g x 0 即g x 在上为减函数 2 1 2 1 2 1 2 1 g 4 为极大值 g 0 为极小值 2 1 2 1 又g 1 0 g 1 4 g x 在 1 1 上最大值为g g 1 4 2 1 g x 在 1 1 上最小值为g 1 g 0 2 1 知 0 g x 4 对一切x 1 1 成立 综上可知a 0 b 0 是满足题意的唯一一组值 12 分 注 其它正确解法按相应步骤给分 14 解 1 设 将点 0 10 代入后 得 c 10f xaxbxc 2 fxaxb 2 已知 所以fxx 25ab 15 用心 爱心 专心 116 号编辑 22 所以4 分f xxxx 22 510 5 2 15 4 在 1 2 上的值域为 4 6 所以f x a12 在 2 3 上的值域为 4 所以6 分f x 15 4 a21 当时 在 n n 1 上单调递增 其值域为 n 3f x f nf n 1 所以af nf nn n 124 所以8 分a n n nn n 21 12 243 2 令 则10 分cab nnn cabcab 111222 43 当时 n 3Sccccc nn 1234 7 33 aabb nn 7 224 2 2 4 24 4 46 4 24 22 n n nn 12 分 7121 1 1 nn n 14 分 nn n n 2 3 1011 1 15 解 1 f 2 1 f 2 f 1 f 1 0 1 分 又 f 1 f 2 f 2 f 且 f 2 1 f 1 2 分 2 1 2 1 2 1 2 设 4 分 1 0 1 2 12 1 2 12 1 2 21 x x fxfxf x x fxfxf x x xx 则 0 0 1 12 1 2 1 2 xfxf x x f x x 即 函数 y f x 在 0 上是增函数 5 分 3 f 2 1 由 f Sn f an f an 1 1 n N 得 f 2Sn f an an 1 函数 y f x 在 0 上是增函数 2Sn an an 1 1 7 分 2 1 0 2 3 2 3 2 2 2 2 81 0 2 1 1111 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 2 111 2 11 Nnnaaaaaaaaa aaaaaaaaa aaSaaSn aaaaa nnnnnnnnn nnnnnnnnn nnnnnn 即 得 有时当 分得由 用心 爱心 专心 116 号编辑 23 数列 an 是首项为 1 公差为 1 的等差数列 从而有 an n 10 分 4 an n 故不等式 12 12 12 122 2121 nn n aaanMaaa 可化为 2n 1 2 3 n M 1 3 5 2n 1 12 n 即 12 12 531 2 642 12 12 531 2 642 nn n ng nn n M 令 则是单调递增 12 分 1 1 32 12 22 1 ngngng nn n ng ng 对一切 n N 都成立的 12 12 531 2 642 3 32 1 min nn n Mgng 从而使 正数 M 的范围是 14 分 3 32 0 16 解 I 由令 1x 2 x x f 2 xxf 分2 解得 02 2 xx得2 0 xx或 即 f x 存在两个滞点 0 和 2 分4 II 由题得 1 a 1 2 a 1 S4 n 2 n n 2 2 nnn aaS 分5 故 2 111 2 nnn aaS 由 得 22 111 2 nnnnn aaaaa 0 1 11 nnnn aaaa 即是等差数列 且 0 n a 1 1 nn aa n a1 d分9 当 n 1 时 由122 11 2 111 aaaaS得 nan 分11 III n n nT2232221 32 1nn432 n 2n2 1n 232221T2 由 得 1nn32 n 2n2222T 1n1n1n n 2n222n 21 21 2 分14 用心 爱心 专心 116 号编辑 24 17 解 2 1 11 21 a a q2 24 14 q a a 成等差 14131211 aaaa 2 3 1 1312 aa 设第一行公差为 d 1 3 2 1 4 1 2 1 1424 22 1232 qdqaa qdqaa 解出 2 1 d 2 1 q nn n aa 2 1 2 1 1 111 nnn n aa 2 1 8 2 1 4 2 1 11 188 nnn n aa A 2 1 368 2 81 n n a2 81 Nnn 2 1nnn mbamb m bb n n n n 1 22 1 1 而 是等差数列 n n n a b c m cc nn 1 1 n c 故 2 7 71 721 cc ccc 200 22 2 7 2 171 2 7 2 1 2 71 cccccccc 210210 71 cc 235 235 721 ccc 是一个正项递减数列 n n d 2 1 200 1 1 nnn BBd时 1 1 nnn BBd时 中最大项满足 n B 1 1 1n n d d 1 2 1 200 1 2 1 200 1n n 解出 6 643 n 7 643 n 7 即中最大项的项数为 7 项 Nn n B 18 解 1 法一 1 分 0 0 0 nnGcFnnOGccOF 用心 爱心 专心 116 号编辑 25 2 分 2 2 2 2 222 cc nncnFG 当时 3 分 2 c n 1 2 min c c FG2 c 0 c 法二 由可知点 G 在直线 y x 上 nnOG FG 的最小值为点 F 到直线 y x 的距离 即 2 c 0 c 1 2 c 2 由知 又 4 分 0 OFPEOFPE 2 t c a OF c OF 2 a x 直线 又 点 P 在以 F 为焦点 为准线的椭圆上 5 PE a c PF 0 ca1 a c PE PF c a x 2 分 设 P x y 则 6 分 动点 P 的轨迹 C 经过点 B 0 1 且 2 22 x c a a c yxc 2 c 从而 b 1 7 分 曲线 C 的方程为 8 分 3 2 2 12 2 a a a 1 3 2 2 y x 3 设直线 的方程为l 0 kmkxy 由 9 分 0336 31 1 3 222 2 2 mkmxxk y x mkxy 与曲线 C 交于不同两点 即 10l0 33 31 4 6 222 mkkm13 22 km 分 设的中点由则有 BR MNMNyxNyxM 2211 00 yxR BNBM KMN KL K 11 分 由韦达定理有 0 1 k k kBR 2 21 31 6 k km xx MN 的中点 R0坐标为 12 分 又 B 0 1 2 21 31 3 2k kmxx 31 31 3 22 k m k km 13 分 2 311 3 3 31 3 1 31 22 2 2 k m kkmk kkm k km k m KBR 由 联立可得 13 4 31 2 22 k k 431 2 k 即 为 R 上的减函数 1 分 0k1101 2 又kk 3 xxf 3 分 志求闭区间为 1 1 4 分 1 1 b a abf baf 2 5 分 或 在 R 不可能恒为正式963 2 xxxf094336 xf 用心 爱心 专心 116 号编辑 26 恒为负 6 分 1x30 或xxf 7 分 310 xxf 在 R 上不是单调函数 故不是闭函数 8 分 xf xf 3 在 0 上是增函数 9 分 0 02 xxykxy 2 设 0 11 分 ba baybax bfbafa 即方程有两个不相等的正根 12 分 xfx ba 于是 4 1 0 0 01 041 21 21 k kxx xx k 故的取值范围是 14 分 k 4 1 0 k 19 解 1 x x a axxfbabafln2 0 1 xx a axf 2 2 要使函数在定义域内为单调函数 则在内恒大于 0 或恒小于 0 xf 0 0 x f 当在内恒成立 0 2 0 x xfa时 0 当要使恒成立 则 解得时 0 a0 1 11 2 a a ax axf0 1 a a1 a 当要使恒成立 则 解得时 0 a0 1 11 2 a a ax axf0 1 a a1 a 所以的取值范围为或或a1 a1 a0 a 2 根据题意得 2 1 1 1 02 0 1 x xfaaaf得即 于是 2222 1 1 1 121 1 nnnn n afnannana an 用数学归纳法证明如下 当 不等式成立 时 1