高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨第二节平面与圆柱面的截线课堂导学案.docx

第二节 平面与圆柱面的截线课堂导学三点剖析一、椭圆的度量性质【例1】已知平面与一圆柱的母线成60角,那么该平面与圆柱截口图形的离心率是( )A. B.1 C. D.解析：平面与圆柱截口图形为椭圆,其离心率e=cos60=.答案:D温馨提示 椭圆是圆柱与平面的截口,因此,椭圆的度量性质与底面半径、截面及母线夹角密切相关.二、探讨椭圆的性质【例2】如图3-2-2,已知球O1、O2分别切平面于点F1、F2.G1G2=2a,Q1Q2=2b,G1G2与Q1Q2垂直平分,求证:F1F2=.图3-2-2证明：过G1作G1HBG2,H为垂足,则四边形ABHG1是矩形.G1H=AB.Q1、Q2分别是P1、P2的平行射影,P1Q1P2Q2.P1Q1Q2P2是平行四边形.Q1Q2=P1P2,即Q1Q2等于底面直径.G1H=AB=Q1Q2=2b.又由切线长定理,G1A=G1F1=G2F2,G2F1=G2B,G2F1-G2F2=G2B-G1A.又G1A=BH,G2F1-G2F2=G2B-BH.F1F2=G2H.在RtG1G2H中,G2H=.温馨提示 探究圆柱体的斜截口椭圆的性质,要仔细考查Dandlin双球与圆柱及其截平面的关系,综合应用切线长定理、三角形的相似与全等、解直角三角形,以及平行射影的性质等等.三、数形结合椭圆的解析性质【例3】已知圆柱底面半径为,平面与圆柱母线夹角为60,在平面上以G1G2所在直线为横轴,以G1G2中点为原点,建立平面直角坐标系,求平面与圆柱截口椭圆的方程.解：过G1作G1HBC于H.圆柱底面半径为,AB=.四边形ABHG1是矩形,AB=G1H=.在RtG1G2H中,G1G2=4.又椭圆短轴长等于底面圆的直径,椭圆的标准方程为=1.图3-2-4各个击破类题演练1已知圆柱的底面半径为r,平面与圆柱母线的夹角为60,则它们截口椭圆的焦距是( )A. B. C. D.3r解析:如图3-2-1,过G2作G2HAD,H为垂足,则G2H=2r.图3-2-1在RtG1G2H中,G1G2=2r2=4r,长轴2a=G1G2=4r,短轴2b=2r.焦距2c=2.答案:A类题演练2如图3-2-3,设两焦点的距离F1F2=2c,两端点距离G1G2=2a,截面与圆柱母线的二面角为.求证:P到F1的距离与到l1的距离之比等于,即e=cos=.图3-2-3证明:过G1作G1HBC于H,则G1A=BH.由切线长定量得G2F1=G2B, G1A=G1F1=G2F2,G2F1-G2F2=G2B-BH.G2H=F1F2=2c.在PQK1和G2G1H中,QPK1=G1G2H=,QK1P=G1HG2=90,PQK1G2G1H.=cos=e.又由内切线长定理得PK1=PF1,=cos=e.类题演练3在例3题设下,截面与、交线各为l1、l2,如图3-2-4,求l1、l2的方程.解析:设P是椭圆的顶点.过P作PQl1于Q.过P作平面的垂线,垂足为K1,连结K1Q.OP=,OF1=,PF1=2.由切线长定理,PK1=PF1.在RtPK1Q中,PQ=4.又OE=PQ,OE=4.l1的方