222椭圆的简单几何性质教案

222椭圆的简单几何性质教案 椭圆的简单几何性质高二数学学唐唐亚芹芹邹城一中三案一体椭圆的简单几何性质教案案【教学目标】1.知识目标 (1)使学生掌握椭圆的性质，能根据性质正确地作出椭圆草图；掌握椭圆中a、b、c的几何意义及相互关系； (2)通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，逐步领会解析法（坐标法）的思想。 (3)能利用椭圆的性质解决实际问题。 2.能力目标培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。 3.德育目标 (1)通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学。 (2)培养学生既能独立思考，又能积极与他人合作交流的意识和勇于探索创新的精神。 【教学重点】椭圆性质的探索过程及性质的运用。 【教学难点】利用曲线方程研究椭圆性质的方法及离心率的概念。 【教学方法】发现探究式【教学组织方式】学生独立思考、合作交流、师生共同探究相结合。 【教学过程】一创设情境教师xx.9.25，是我国航天史上一个非常重要的日子，“神舟七号”载人飞船成功发射，实现了几代中国人遨游太空的梦想,这是我们中华民族的骄傲。 我们知道，飞船绕地运行了十四圈，在变轨前的四圈中，是沿着以地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行的。 如果告诉你飞船飞离地球表面最近和最远的距离，即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离，如何确定飞船运行的轨道方程？要想解决这一实际问题，就有必要对椭圆做深入的研究，这节课我们就一起探求椭圆的性质。 （引出课题）教师前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能说说椭圆的标准方程（学生回答）。 二探索研究1.范围教师同学们继续观察椭圆，如果分别过A 1、A2作y轴的平行线，过B 1、B2作x轴的平行线（课件展示），同学们能发现什么？学生能答出椭圆围在一个矩形内。 教师补充完整椭圆位于四条直线x=a,y=b所围成的矩形里，说明椭圆是有范围的。 教师下面我们想办法再用方程22ax+22by=1(ab0)来证明这一结论的正确性。 启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中x、y的取值范围。 从方程的结构特点出发，师生共同分析，给出证明过程。 由22ax+22by=1，利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得，x2a2且y2b2,则有xa,yb,所以-axa,-byb。 2对称性的发现与证明教师椭圆的图形给人们以视觉上的美感（课件展示椭圆），如果我们沿焦点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？（学生动手折纸，课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的椭圆拿来。 ）学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。 教师除了轴对称性外，还可能有什么对称性呢？稍作提示容易发现中心对称性。 教师这仅仅是由观察、猜想得到的结果，怎样用方程证明它的对称性？师生讨论后，需要建立坐标系，确定椭圆的标准方程。 不妨建立焦点在x轴上的椭圆的标准坐标系，它的方程就是22ax+22by=1。 教师这节课就以焦点在x轴上的椭圆的标准方程为例来研究椭圆的性质。 教师这样建立的坐标系对称轴恰好重合于坐标轴，我们先证椭圆关于y轴对称。 为了证明对称性，先作如下铺垫（一起回顾）教师在第一册学过，曲线关于y轴对称是指什么呢？学生曲线上的每一点关于y轴的对称点仍在曲线上。 教师要证曲线上每一点关于y轴的对称点仍在曲线上，只要证明-学生曲线上任意一点关于y轴的对称点仍在曲线上。 教师同学们阅读教材中椭圆对称性的证明过程，仔细体会并思考“为什么把x换成-x时，方程不变，则椭圆关于y轴对称”。 请一位学生讲解椭圆对称性的证明过程，以此来训练学生表述的逻辑性、完整性和推理的严谨性。 教师对学生的证明进行评价。 教师用类似的方法可以证明椭圆关于x轴对称,关于原点对称。 课件展示对称性并总结方程22ax+22by=1表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，原点是其对称中心.从而椭圆有两条互相垂直的对称轴,有一个对称中心(简称中心).3.顶点的发现与确定教师我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。 教师提问你认为椭圆上哪几个点比较特殊？由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。 教师启发学生与一元二次函数的图像（抛物线）的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义。 教师能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？由学生自主探究,求出四个顶点坐标。 即令x=0,得y=b，因此B1(0,-b),B2(0,b)，令y=0，得x=a，因此A1(-a,0),A2(a,0)。 结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距，点明方程中a、b和c的几何意义和数量关系。 4离心率教师我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样吗？同学们能回答出不一样，有的圆一些，有的扁一些。 请同学们思考椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢？课件动画演示此时学生展开讨论，可能有的说与a、c有关，也可能说与a、b有关等等。 通过观察演示实验，化抽象为具体，引导学生思考。 教师引导学生从演示实验观察到由于椭圆位于直线x=a,y=b围成的矩形里，矩形的变化对椭圆形状的影响。 矩形越狭长，椭圆越扁；矩形越接近于正方形，椭圆越接近于圆；当矩形变为正方形时，即a=b时,椭圆变为圆。 即当比值ab越小，椭圆越扁；比值ab越大，椭圆越接近于圆。 由于ab=ac a22?=222ac a?=2)(1ac?，所以当ac越大时，ab越小，椭圆越扁；当ac越小时，ab越大，椭圆越接近于圆。 把比值e=ac叫椭圆的离心率，分析出离心率的范围0e1。 结论椭圆离心率e越大，它就越扁；离心率e越接近于0，它就越接近于圆。 所以说离心率是描述椭圆圆扁程度的量。 由上面的分析可以看到，比值ab、ac的大小都能反映椭圆的圆扁程度，为什么定义ac是椭圆的离心率呢？因为a、c这两个量是椭圆定义中固有的，是决定椭圆形状最关键的要素，随着今后的学习可以看到ac还有更重要的几何意义。 三典例精析例1求椭圆400251622=+y x的长轴长、短轴长、离心率和顶点，并画出它的草图。 本题采用讲练结合的方式。 前一部分由学生口述求解过程，后一部分由教师介绍画椭圆草图的方法（考虑到画草图对学生来说比较实用）。 例2.求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2); (2)长轴的长等于20,离心率等于0.6.此题是由性质来求椭圆的标准方程，一是让学生进一步熟悉性质；二是让学生体会数形结合及分类讨论的思想方法。 例3.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分过对对称的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F上，片门位于另一个焦点2F上，由椭圆一个焦点1F发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F已知12BC F F，12.8F Bcm=，124.5FFcm=建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程此题是椭圆性质的应用。 首先建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22221x ya b+=，算出,a bc的值；此题应注意两点注意建立直角坐标系的两个原则；关于,abc的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定四课堂练习1已知F 1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是()A.33B.23C.22D.322如图，A、B、C分别为椭圆x2a2y2b21(ab0)的顶点与焦点，若ABC90，则该椭圆的离心率为()A.152B122C.21D.223F 1、F2是椭圆x2a2y291的两焦点，P为椭圆的一个顶点，若PF1F2是等边三角形，则a2_.4设椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为e12，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)与圆x2y22的位置关系是_(填“在圆内”、“在圆上”或“在圆外”)五小结1.知识小结 （1）学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 （2）研究了椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系2.数学思想方法 （1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。 （2）分类讨论的数学思想。 六作业:课本习题2.2A组 3、 4、5七.板书设计:2.2.2七.板书设计:2.2.2椭圆的简单几何性质1.椭椭圆的简单几何性质质22.典典型例题题例例11.例例22.例例33.强调:课堂练习参考答案1.【解析】设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，令xc得y2b4a2，|AB|2b2a，由题意得2c322b2a，即3a410a2c23c40，a23c2，eca33.【答案】A2【解析】由已知得a2(a2b2)(ac)2，即c2aca20，e2e10，1e0，