（陕西专用）2019版中考数学一练通 第二部分 重点题型突破 专项二 解答题专项 十一 几何综合探究题课件

专项二解答题专项 十一 几何综合探究题 针对陕西中考第25题 中考解读 中考解读 几何综合探究题为陕西中考解答题的必考题 题位为第25题 分值为12分 题目综合性强 多涉及类比的思想 设问方式多样 要求学生逐步突破 涉及的图形有等腰三角形 直角三角形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 圆 涉及的图形变换为平移变换 对称变换 旋转变换 涉及的知识点有全等和相似的性质和判定 勾股定理 一元二次方程 二次函数的最值 圆的有关性质等 主要考查的类型有 1 探究线段长度的最值问题 2 探究图形面积的最值问题 3 探究图形面积的分割问题 4 探究符合条件的点的问题 解答题专项 类型1探究线段长度的极值和定值问题核心素养及解题思想和方法1 核心素养 数学抽象 数学建模 数学运算 直观想象 2 数学思想方法 数形结合思想 分类讨论思想 转化思想 3 常用解题方法 代数法和几何法 解答题专项 一 单动点问题常见模型一 利用三角形的三边关系解决最值问题 问题情境 1 如图 直线l表示河岸 河两岸有a b两村 现在要在河岸边建一座水塔以解决两村的用水问题 那么水塔修在何处 它到a b两村的距离和最短 2 如图 直线l表示河岸 河岸同侧有a b两村 现在要在河岸边建一座水塔以解决两村的用水问题 那么水塔修在何处 它到a b两村的距离差最长 通解通法 知识必备 1 三角形的两边之和大于第三边 2 三角形的两边之差小于第三边 解答题专项 问题解决 三角形的两边之和大于第三边 1 找点 如图 连接ab交直线l于点p 点p即为所求 2 说理 如图 在直线上另取一点p 在 ap b中 ap p b ab 当a p b三点共线时 ap pb ab 此时ap pb最短 反思 此模型实际上是线段公理的证明和有效说理 三角形的两边之差小于第三边 1 找点 如图 延长ab交直线l于点p 则 pa pb 最大 2 说理 如图 在直线l上找一点p 连接p b p a 在 ap b中 p a p b ab 当a b p三点共线时 pa pb ab 故此时 pa pb 最大 解答题专项 常见模型二 垂线段最短 问题情境 1 如图 p为线段bc上一动点 当点p运动到何处时 ap最短 通解通法 知识必备 垂线段最短 问题解决 垂线段最短 1 找点 如图 过点a作ap bc交bc于点p 点p即为所求 2 说理 垂线段最短 解答题专项 二 双动点问题常见模型三 轴对称的性质 垂线段最短 问题情境 1 如图 在直线l1和l2上分别找两点b c 使 abc的周长最小 2 如图 在 abc中 ab 2 bac 45 ad平分 bac m n分别为ad ab上的两个动点 怎样确定点m n能使bm mn的值最小 通解通法 知识必备 1 轴对称的性质 2 垂线段最短 解答题专项 问题解决 轴对称的性质 1 找点 如图 分别找出点a关于直线l1和l2的对称点a1和a2 连接a1a2分别交直线l1和l2于点b c 此时 abc的周长最小 2 说理 由对称性可知 ab a1b ac a2c 故 abc的周长为ab ac bc a1b a2c bc a1a2 根据 两点之间 线段最短 可知 此时 abc的周长最小 垂线段最短 1 找点 如图 找出点b关于ad的对称点b 过点b 作b n ab分别交ad于点m 交ab于点n m n即为所求 2 说理 ad平分 bac 点b关于ad的对称点b 在线段ac上 b m bm 又 b n ab于点n bm mn b m mn b n 由垂线段最短可知 此时bm mn的值最小 解答题专项 常见模型四 平移 将军饮马 问题情境 1 如图11 在直线l上找出两个动点p q p q两动点之间的距离为定值 使ap pq bq的值最小 通解通法 知识必备 1 平移的性质 2 轴对称的性质 问题解决 1 找点 如图12 将点a沿过点a且与直线l平行的直线平移pq长度得到定点a 作定点a 关于直线l的对称点a 连接a b 交直线l于点q 将点q沿直线l向左平移pq长度 得到点p 连接ap 则ap pq bq的值最小 2 说理 请自己完成证明过程 解答题专项 常见模型五 动点定值模型 平行定位 法 问题情境 1 如图13 在 abc中 bc a m是bc上一动点 连接am 取am的中点p 随着点m从点b运动到点c 求动点p的路径长 通解通法 知识必备 1 三角形中位线 2 平行线间的距离处处相等 问题解决 1 如图14 过点p作直线ef bc分别交ab ac于点e f 点p运动的轨迹在线段ef上 解答题专项 2 说理 由动点m找动点p的运动轨迹 过点p 点a分别作bc的垂线交bc于点g h 如图 则pg ah p为am的中点 pg ah 又 ah为bc边上的高线 点p到bc的距离为定值 在 abc中 ef bc a 故动点p的路径长为a 夹角定位 法 又称 旋转 直线型 理论依据 平面内 过定点并且与定直线的夹角为定值的点在直线上运动 如图15 已知直线l与定点a 若直线ba与直线l的夹角 确定 则动点b始终在直线ab上 如图16 在 abc中 ab ac bac 90 点p为bc上一动点 ap ad pad 90 线段bc长为定值 在点p从点b向点c运动的过程中 动点d运动的路线是什么 长度等于多少 解答题专项 问题解决 易证 abp acd 故动点d的运动轨迹是一条线段 该线段所在直线垂直于bc 且点d运动的路线的长度为bc长 此类问题分三步进行思考 1 找准主动点 从动点以及绕哪一定点运动 2 由旋转不变性可知 主动点的轨迹和从动点的轨迹相同 位置不同 分析从动点 主动点与定点之间的数量关系 比值 从而由一个动点确定另一个动点的运动轨迹的长度 3 整体捆绑 画出图形 解决问题 解答题专项 例1 2018 陕西中考 问题提出 1 如图 在 abc中 a 120 ab ac 5 则 abc的外接圆的半径r的值为 问题探究 2 如图 o的半径为13 弦ab 24 m是ab的中点 p是 o上一动点 求pm的最大值 问题解决 3 如图 ab ac 是某新区的三条规划路 其中ab 6km ac 3km bac 60 所对的圆心角为60 新区管委会想在路边建物资总站点p 在ab ac路边分别建物资分站点e f 也就是 分别在 线段ab和ac上选取点p e f 由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按p e f p的路径进行运输 因此要在各物资站点之间规划道路pe ef和fp 为了快捷 环保和节约成本 要使线段pe ef fp之和最短 试求pe ef fp的最小值 各物资站点与所在道路之间的距离 路宽均忽略不计 解答题专项 解答题专项 解答题专项 类型2探究图形面积的最值问题核心素养及解题思想和方法1 核心素养 数学抽象 数学建模 数学运算 直观想象 2 数学思想方法 数形结合思想 分类讨论思想 转化思想 3 常用解题方法 代数法和几何法 常见模型一 问题情境 1 如图 在 abc中 bc a a 那么 abc的面积和周长是否有最值 通解通法 知识必备 1 三角形的面积公式 2 同弧所对的圆周角相等 问题解决 如图 bc确定 bc边所对的角确定 故点a在 abc的外接圆的上 因为bc为定值 所以当bc边上的高最大时 abc的面积最大 而当点a在的中点a 时 abc为等腰三角形 bc为底边 此时bc边上的高最大 则 abc的面积最大 解答题专项 如图 延长ba到点c 使ac ac 连接c c 取bc的中点o 以o为圆心 ob长为半径作 o 延长bo交 o于点d 连接dc 则 d c b c c d四点共圆 因为bd为直径 所以当点a在点o时 abc为等腰三角形 bc为底边 此时 abc的周长最大 结论 定边对定角 等腰时面积最大 周长最大 常见模型二 问题情境 如图 在 abc中 bac 45 高ad 4 则线段bc的最小值为多少 abc的面积的最小值是多少 通解通法 知识必备 1 三角形的面积公式 2 同弧所对的圆周角相等 3 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍 4 垂径定理 解答题专项 问题解决 如图 作 abc的外接圆 o 连接oa ob oc 过点o作oe bc交bc于点e 设bc 2x 则在rt boe中 be oe x ob oa x oa oe ad 即x x 4 解得x 4 1 即bcmin 8 1 高ad为定值 abc的面积的最小值为16 1 此时ab ac abc为等腰三角形 此时 易证 abc的周长也最小 结论 定角夹定高 等腰时面积最小 周长最小 常见模型三 问题情境 如图 在 abc中 ab c bc a b 高ad h 求s abc的定值和最值 通解通法 知识必备 解直角三角形及锐角三角函数 问题解决 如图 在rt abd中 h csin 所以s abc ah acsin 所以s abc的定值为acsin 最大值为ac 注 sin 1 当sin 1时 90 解答题专项 常见模型四 问题情境 如图 在四边形abcd中 对角线ac m bd n aob 求四边形abcd的面积的最大值 通解通法 知识必备 1 解直角三角形 2 斜大于直 问题解决 如图 分别过点a c作af bd cg bd 垂足分别为f g 则s四边形abcd s abd s bcd 在rt aof和rt cog中 af oa sin cg oc sin s四边形abcd bd af bd cg n af cg oa oc nsin mnsin 四边形abcd的面积的最大值为mn 解答题专项 注 sin 1 当sin 1时 90 面积定值或最值问题常见其他考点 面积与图形变换 旋转 平移 对称 位似 相结合 面积与函数相结合等等 知识必备 1 相似三角形的相似比等于对应高的比 解答题专项 例2 2016 陕西中考 问题提出 1 如图 已知 abc 请画出 abc关于直线ac对称的三角形 问题探究 2 如图 在矩形abcd中 ab 4 ad 6 ae 4 af 2 是否在边bc cd上分别存在点g h 使四边形efgh的周长最小 若存在 求出它的周长的最小值 若不存在 请说明理由 问题解决 3 如图 有一矩形板材abcd ab 3m ad 6m 现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形efgh部件 使 efg 90 ef fg m ehg 45 经研究 只有当点e f g分别在边ad ab bc上 且af bf 并满足点h在矩形abcd内部或边上时 才有可能裁出符合要求的部件 试问 能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形efgh部件 若能 求出裁得的四边形efgh部件的面积 若不能 请说明理由 解答题专项 解答题专项 解答题专项 解答题专项 类型3探究图形面积的分割问题核心素养及解题思想和方法1 核心素养 数学抽象 数学建模 数学运算 直观想象 2 数学思想 数形结合思想 分类讨论思想 转化思想 3 解题方法 代数法和几何法 一 过定点的三角形面积等分线常见模型一1 如图 在 abc中 过点a作一条直线 将三角形的面积平分 通法通解 1 理论依据 等底同高的三角形的面积相等 2 作法 如图 找出bc边的中点d 过ad作一条直线即可平分 abc的面积 解答题专项 常见模型二三角形等积变换 又称 蝴蝶型 如图 已知 abc 求作 dbc 使s abc s dbc 理论依据 同底等高的三角形的面积相等 作法 如图 过点a作线段bc的平行线l 直线l上 点a除外 的任何一点满足题目要求 易证s bod s aoc 模型拓展中线 蝴蝶型1如图 在 abc中 d为bc上一点 过点d作一条直线 把 abc的面积平分 解答题专项 通法通解 1 理论依据 等底同高的三角形的面积相等 同底等高的三角形的面积相等 2 作法 找出边bc上的中线ae 连接ad 过点e作ef ad 连接df df即为所求 3 说理 运用转化思想 找出bc的中点e 则s abe s ace 由ef ad 得s def s aef 故s fdc s ace 即直线df即为所求 模型拓展中线 蝴蝶型2如图 在四边形abcd中 过点a作一条直线 把四边形abcd的面积平分 1 理论依据 同上例 2 作法 连接ac 过点d作de ac交bc的延长线于点e 连接ae 作 abe的边be上的中线af 直线af即为所求 结论 三角形的中线将三角形的面积平分 对于多边形来说 经过特定点的一条直线将面积平分等问题往往是 中线 蝴蝶型 的应用 它是平面图形面积平分的有效方法之一 解答题专项 二 中心对称图形的面积等分线如图 在平行四边形abcd中 对角线ac bd相交于点o 过点o作一条直线 将四边形abcd的面积平分 通法通解 1 理论依据 中心对称图形的性质 全等三角形的面积相等 2 作法 过点o任作一条直线 即可将其面积平分 3 说理 易证s aoe s cof s doe s bof s aob s doc 故ef平分平行四边形的面积 结论 平行四边形是中心对称图形 对称中心是两条对角线的交点 过对角线交点的任何一条直线 都可以将平行四边形的面积平分 矩形 菱形 正方形等特殊的平行四边形 同样可以采用此法将其面积平分 模型拓展组合图形面积平分 解答题专项 通法通解 1 理论依据 中心对称图形的性质 2 作法 对于组合图形 只要我们把它分割成两个常见基本图形 如图 可分割成两个平行四边形 分别找出每个图形的对称中心 然后过两个对称中心作直线 该直线即可将组合图形的面积平分 三 轴对称图形的面积等分线常见模型三如图 正五边形的对称轴将正五边形的面积平分 通法通解 1 理论依据 轴对称图形的性质 2 作法 根据图形的特点 画出它的对称轴 轴对称图形的对称轴是它的面积平分线 解答题专项 模型特例 等分积周线轴对称图形 它的对称轴既平分它的面积又平分它的周长 中心对称图形 过对称中心的任何一条直线既平分它的面积又平分它的周长 这样的线叫做这个图形的等分积周线 以三角形为例 一般三角形 是否有等分积周线 如图 作 abc的bc边上的中线ad 由模型一可知 ad平分 abc的面积 又 ab ac bd dc abd与 acd的周长不相等 过定点不存在这样的线 解答题专项 分类讨论思想 如图 假设存在这样一条直线ef 与边bc ab分别交于e f两点 并且平分 abc的周长 作fg bc ah bc 设 abc的面积为s ab c bc a ac b 则周长c a b c ef平分 abc的周长 bf be ah 设be x 则bf 易证 bgf bha 则 即 fg 当s bfe s abc时 建立方程 即 若有解 则ef为等分积周线 若无解 则ab ac上不存在等分积周线 同理在ab ac ac bc边上分别寻找满足条件的直线 其他两种情况 请同学们自己完成求解过程 解答题专项 例3 2017 陕西中考 问题提出 1 如图 abc是等边三角形 ab 12 若点o是 abc的内心 则oa的长为 问题探究 2 如图 在矩形abcd中 ab 12 ad 18 如果p是ad边上一点 且ap 3 那么bc边上是否存在一点q 使得线段pq将矩形abcd的面积平分 若存在 求出pq的长 若不存在 请说明理由 问题解决 3 某城市街角有一草坪 草坪是由 abm草地和弦ab与其所对的劣弧围成的草地组成 如图 管理员王师傅在m处的水管上安装了一喷灌龙头 以后 他想只用喷灌龙头 解答题专项 来给这块草坪浇水 并且在用喷灌龙头浇水时 既要能确保草坪的每个角落都能浇上水 又能节约用水 于是 他让喷灌龙头的转角正好等于 amb 即每次喷灌时喷灌龙头由ma转到mb 再转回 这样往复喷灌 同时 再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了 如图 已测出ab 24m mb 10m amb的面积为96m2 过弦ab的中点d作de ab交于点e 又测得de 8m 请你根据以上提供的信息 帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时 才能实现他的想法 为什么 结果保留根号或精确到0 01m 解答题专项 解答题专项 解答题专项 类型4探究符合条件的点的问题核心素养及解题思想和方法1 核心素养 数学抽象 数学建模 数学运算 直观想象 2 数学思想方法 数形结合思想 分类讨论思想 转化思想 3 解题方法 代数法和几何法 一 图形中符合条件的点的问题常见模型一1 满足最大张角 视野 的点的问题 米勒张角 1471年 德国数学家米勒向诺德尔教授提出了一个有趣问题 在地球表面的什么部位 一根垂直的悬杆最长 即在什么部位 视角最大 最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中的第一个极值问题 因为德国数学家米勒曾提出这个问题 所以最大视角问题又称为 米勒问题 更一般的米勒问题如下 如图 已知点a b是 mon的边on上的两个定点 在om边上求作一点p 使得 apb最大 解答题专项 通法通解 1 知识必备 射影定理 圆的切线判定 圆中同弧所对圆内角 圆周角 圆外角的关系 2 找点 如图 以ob的长为直径作圆 过点a作on的垂线交前圆于点d 连接od 以点o 为圆心 以o b的长为半径画弧 om于点p 连接pa pb 则点p就是所要求作的点 3 说理 以p a b为三点作圆 连接bd 则 odb 90 又 da ob 易证 oad odb od2 oa ob 又 od op op2 oa ob 得 又 poa bop opa obp opa pbo op为 o 的切线 p为切点 根据同弧所对圆周角大于圆外角 故 apb最大 反思 最大视角问题在近几年中考中频频亮相 常常以解析几何 平面几何和实际应用为背景进行考查 若能从题设中挖掘出其中的米勒问题模型 并能直接运用米勒定理解题 这将会突破思维瓶颈 大大减少运算量 降低思维难度 缩短解题长度 从而使问题顺利解决 否则 这类问题会成为学生的一道难题甚至一筹莫展 即使求得结果也费时费力 在此 我们继续强化数学建模思想在压轴题中的运用 解答题专项 常见模型二2 图中符合条件的定角问题在矩形abcd中 以ab为一边 ab a ad a 在其他三边上是否存在点p 使 apb 45 若存在 请找出点p 若不存在 请说明理由 通法通解 1 知识必备 圆中圆心角与圆周角的关系 2 找点 如图 以ab为斜边作等腰直角三角形abo 使 aob 90 过点a以点o为圆心 以oa的长为半径画弧 分别交ad dc bc于点p 连接pa pb 则点p就是所要求作的点 3 说理 分类讨论 ab a ad bc a 故以点o为圆心 oa 或ob 为半径的圆与ad bc必有交点 当a ad 时 与bc边有两个交点p 当ad 时 与dc边有一个交点 当ad 时 与dc没有交点 解答题专项 反思 数无形时难直观 形缺数时难入微 根据条件运用基本知识点借助 隐圆 找点 再通过相关数据准确地判断满足条件的点的个数 达