《高等数学Ⅱ》教学大纲.doc

高等数学教学大纲（Advanced Mathematics ）（总学时：120 ）一、简要说明：本大纲适用于工程管理、化学工程与工艺、食品质量与安全、食品科学与工程。共120 学时，6学分，属必修课程。二、课程的性质、地位和任务高等数学课程是高等学校工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得：（1）一元函数微积分学；（2）常微分方程；（3）无穷级数；（4）向量代数和空间解析几何；（5）多元函数微积分学，等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。三、教学基本要求与方法本门课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次。较高层次的内容必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用。其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。较低层次的内容也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。其中概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。四、授课教材及主要参考书（一）授课教材：普通高等教育“十一五”国家级规划教材高等数学（第六版）（上、下册），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007.6（二）主要参考书（1）高等数学 李德新主编 厦门大学出版社，2007（2）数学分析 陈传璋等编 高等教育出版社，2001（3）数学分析 黄玉民编 南开大学出版社，2000五、学分与学时分配本课程共120学时，6学分。分两个学期授课，安排如下第一学期80学时 第二学期40学时章内 容学时章内 容学时一函数、极限与连续16八空间解析几何与向量代数10二导数与微分12九多元函数的微分法及其应用12三中值定理与导数的应用14十重积分8四不定积分12十二无穷级数10五定积分8六定积分的应用6七微分方程12注以上含习题与复习课六、教学内容及学时分配（一）理论教学内容 120学时第一章 函数、极限、连续 （16学 时）1、目的要求：理解函数的概念。了解函数奇偶性、单调性 、周期性和有界性。理解复合函数的概念、了解反函数的概念。掌握基本初等函数的图形及其性质。会建立简单实际问题的函数关系式。了解极限的概念（对于给出求或不作过高要求）。掌握极限四则运算法则。了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。理解函数在一点连续的概念。了解间断点的概念，并会判别间断点的类型和名称。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）。2、 要点与讲授内容第一节 映射与函数1集合2映射3函数第二节 数列的极限1 数列极限的定义2 收敛数列的性质第三节 函数的极限1 函数极限的定义 2函数极限的性质第四节 无穷小与无穷大1无穷小2无穷大第五节 极限的运算法则 第六节 极限的存在准则 两个重要极限第七节 无穷小的比较第八节 函数连续性与间断点1函数的连续性2函数的间断点第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性1连续函数的和、差、积、商的连续性2反函数与复合函数的连续性3初等函数的连续性第十节 闭区间上连续函数的性质。1有界性与最大值最小值定理2零点定理与介值定理第二章 导数与微分 （12学时）1、目的要求：理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描绘一些物理量，会用导数求平面曲线的切线和法线方程。掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。了解高阶导数的概念。掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。2、要点与讲授内容第一节 导数概念1引例2导数的定义3导数的几何意义4函数的可导性与连续性之间的关系第二节 函数的求导法则1函数的和、差、积、商的求导法则2反函数的导数的求导法则3复合函数的求导法则4基本求导法则与求导公式第三节 高阶导数第四节 隐函数及由参数式所确定的函数的导数 相关变化率1隐函数的导数2由参数式所确定的函数的导数第五节 函数的微分1微分的定义2微分的几何意义3基本初等函数的微分公式与微分运算法则第三章 中值定理与导数应用（14学时）1、目的要求：理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理。了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。理解函数的极值概念，并掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线），会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。会用罗必塔（L，Hospital）法则求不定式的极限。了解曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径。2、要点与讲授内容 第一节 中值定理1罗尔定理 2拉格朗日中值定理 3柯西中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 泰勒公式第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性1 函数的单调性的判定法2 曲线的凹凸性与拐点第五节 函数的极值与最大值最小值1 函数的极值及其求法2 最大值最小值问题第六节 函数图形的描绘第七节 曲率1弧微分2曲率及其计算公式3、曲率圆与曲率半径第四章、不定积分 （12学时）1、目的要求：理解原函数与不定积分的概念与性质。掌握不定积分的换元法与分部积分法。会求简单的有理函数的积分（对待定系数不作过高要求）。2、要点与讲授内容第一节 不定积分的概念与性质1原函数与不定积分的概念2基本积分表3不定积分的性质第二节 换元积分法1第一类换元法2第二类换元法第三节 分部积分法第四节 有理函数的积分1有理函数的积分2可化为有理函数的积分举例第五章 定积分（8学时）1、目的要求：理解定积分的概念及性质。掌握定积分的基本公式，定积分的换元法与分部积分法。理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式。了解广义积分的概念。2、要点与教学内容第一节 定积分的概念与性质1定积分问题举例2定积分定义3定积分的近似计算4定积分的性质第二节 微积分基本公式1变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系2积分上限的函数及其导数3牛顿莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式第三节 定积分的换元法和分部积分法1 定积分的换元法2 定积分的分部积分法第四节 反常积分1无穷限的反常积分2无界函数的反常积分第六章 定积分的应用（6学时）1、目的要求：掌握定积分微元法的思想，能用定积分表达一些几何量（如面积、体积等）的方法。2、要点与讲授内容 第一节 定积分的元素法 第二节 定积分在几何学上的应用 1平面图形的面积 2体积 3平面曲线的弧长第七章 微分方程（12学时）1、目的要求：了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利（Bernoulli）方程。会用降阶法解方程。理解二阶线性微分方程解的结构。会求自由项形如：，的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。 2、要点与讲授内容第一节 微分方程的基本概念第二节 可分离变量的微分方程第三节 齐次方程1 齐次方程第四节 一阶线性微分方程1线性方程2伯努利方程第五节 可降阶的高阶微分方程1型的微分方程2型的微分方程3型的微分方程第六节 高阶线性微分方程1、 二阶线性微分方程举例2、 线性微分方程的解的结构第七节 常系数齐次线性微分方程第八节 常系数非齐次线性微分方程 第八章 向量代数与空间解析几何（10学时）1、目的要求：理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。掌握向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），了解两个向量垂直、平行的条件。掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。掌握平面方程及其求法。理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。2、要点与讲授内容 第一节 向量及其线性运算 1向量概念 2向量的线性运算3空间直角坐标系 4利用坐标作向量的线性运算 5向量的模、方向角、投影 第二节 数量积、向量积 1两向量的数量积 2两向量的向量积 第三节 曲面及其方程 1曲面方程的概念 2旋转曲面 3柱面 4二次曲面第五节 平面及其方程 1平面的点法式方程 2平面的一般式方程 3两平面的夹角 4直线与平面的夹角 第九章 多元函数微分法及其应用（12学时）1、目的要求：理解多元函数的概念。了解二元函数的极限与连续的概念，理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要和充分条件。掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数。理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。2、要点与讲授内容 第一节 多元函数的基本概念 1平面点集 2多元函数的概念 3多元函数的极限 4多元函数的连续性 第二节 偏导数 1偏导数的定义及其计算法 2高阶偏导数 第三节 全微分 1全微分的定义 第四节 多元复合函数求导法则第五节 隐函数的求导公式 第八节 多元函数的极值及其求法 1多元函数的极值及最大值、最小值 2条件极值 拉格朗日乘数法 第十章 重积分 （8学时） 1、目的要求：理解二重积分、了解二重积分的性质。掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解二重积分的应用（如体积、面积、质量）。 2、要点与讲授内容 第一节 二重积分的概念与性质 1二重积分的概念 2二重积分的性质 第二节 二重积分的计算法 1利用直角坐标计算二重积分 2利用极坐标计算二重积分第十二章 无穷级数（10学时）1、目的要求：理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。掌握几何级数和P级数的收敛性。了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。了解交错级数的莱布尼兹定理。了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。掌握比较简单的幂级数收敛区间的