广西2019高考数学二轮复习专题对点练6导数与函数的单调性、极值、最值

1 专题对点练专题对点练 6 6 导数与函数的单调性 极值 最值导数与函数的单调性 极值 最值 1 1 已知函数f x ln x a r r ax x 1 1 若函数f x 在区间 0 4 上单调递增 求a的取值范围 2 若函数y f x 的图象与直线y 2x相切 求a的值 2 2 已知函数f x ln x ax2 x m m z z 1 2 1 若f x 是增函数 求a的取值范围 2 若a 0 且f x 0 时 求函数f x 的极值 2 若不等式f x 0 在区间 0 e2 内有解 求实数a的取值范围 4 4 已知函数f x x3 ax2 a r r 1 3 1 2 1 当a 2 时 求曲线y f x 在点 3 f 3 处的切线方程 2 设函数g x f x x a cos x sin x 讨论 g x 的单调性并判断有无极值 有极值时求出极值 2 专题对点练 6 6 答案 1 1 解 1 f x 1 x a x 1 ax x 1 2 x 1 2 ax x x 1 2 函数f x 在区间 0 4 上单调递增 f x 0 在 0 4 上恒成立 x 1 2 ax 0 即a 2 在 0 4 上恒成立 x2 2x 1 x x 1 x x 2 取等号条件为当且仅当x 1 a 4 1 x 2 设切点为 x0 y0 则y0 2x0 f x0 2 y0 ln x0 ax0 x0 1 2 1 x0 a x0 1 2 且 2x0 ln x0 ax0 x0 1 由 得a 代入 得 2x0 ln x0 2x0 1 x0 1 即 ln x0 2 x0 1 0 2 1 x0 x0 1 2 x2 0 令f x ln x 2x2 x 1 则f x 4x 1 1 x 4x2 x 1 x 4x2 x 1 0 的 150 恒成立 f x 在 0 上恒为正值 f x 在 0 上单调递增 f 1 0 x0 1 代入 式得a 4 2 2 解 1 f x ax 1 1 x 依题设可得a 1 x 1 x2 max 而 当x 2 时 等号成立 1 x 1 x2 1 x 1 2 2 1 4 1 4 所以a的取值范围是 1 4 2 由 1 可知f x ax 1 设g x ax2 x 1 则g 0 1 0 g 1 a 0 1 x ax2 x 1 x g x a 1 在 0 内单调递减 x 1 2a 2 1 4a 因此g x 0 在 0 1 内有唯一的解x0 使得a x0 1 x2 0 而且当 0 x0 当x x0时 f x 0 1 2 1 2 1 x 1 2 2 x 2x 所以r x 在 0 1 内单调递增 所以r x 0 ax e x2 当a 0 时 由f x 0 解得x 由f x 0 解得 0 x e a e a 故函数f x 在递减 在递增 故函数f x 只有极小值f aln a 无极大值 0 e a e a e a e a 2 f x 0 在区间 0 e2 内有解 即f x 在区间 0 e2 的最小值小于 0 当a 0 时 f x 0 则函数f x 在区间 0 e2 内为减函数 故f x 的最小值是f e2 2a 0 即a0 时 函数f x 在区间内为减函数 在区间内为增函数 0 e a e a 若 e2 即 0 a 函数f x 在区间 0 e2 内为减函数 e a 1 e 3 由 知 f x 的最小值f e2 0 时 a 与 0 即a 则函数f x 的最小值是f aln a e a 1 e e a e a 令f aln ae2 e a e a 综上 实数a的范围是 e2 1 2e 4 4 解 1 由题意f x x2 ax 所以当a 2 时 f 3 0 f x x2 2x 所以f 3 3 因此曲线y f x 在点 3 f 3 处的切线方程是y 3 x 3 即 3x y 9 0 2 因为g x f x x a cos x sin x 所以g x f x cos x x a sin x cos x x x a x a sin x x a x sin x 令h x x sin x 则h x 1 cos x 0 所以h x 在 r r 上单调递增 因为h 0 0 所以当x 0 时 h x 0 当x 0 时 h x 0 当a 0 时 g x x a x sin x 当x a 时 x a0 g x 单调递增 当x a 0 时 x a 0 g x 0 g x 0 g x 单调递增 所以当x a时g x 取到极大值 极大值是g a a3 sin a 1 6 当x 0 时g x 取到极小值 极小值是g 0 a 当a 0 时 g x x x sin x 当x 时 g x 0 g x 单调递增 所以g x 在 上单调递增 g x 无极大值也无极小值 当a 0 时 g x x a x sin x 当x 0 时 x a0 g x 单调递增 当x 0 a 时 x a 0 g x 0 g x 0 g x 单调递增 所以当x 0 时g x 取到极大值 极大值是g 0 a 当x a时g x 取到极小值