2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末归纳整合课件 新人教A版选修2-1

章末归纳整合 知识构建 专题一向量法用向量法来处理立体几何问题 体现了 数 与 形 的结合 淡化了传统立体几何教材中的 形 到 形 的推理方法 从而降低了思维难度 使问题变得简单化 这是用向量法解立体几何题的独到之处 思想方法专题 用向量法解决的问题有 1 利用两个向量共线的条件和共面向量定理 可以证明有关平行 共面的问题 2 利用两个向量垂直的充要条件可以证明和计算与垂直有关的问题 3 利用两个非零向量的夹角公式可以求解有关空间角的问题 4 利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关空间距离的问题 专题二参数法在解决立体几何问题时 判断线面 面面的位置关系 求线面角 二面角及空间距离时经常需要求平面的法向量 当平面的法向量不明显时 需要设出平面的法向量n x y z 然后利用向量n与平面的垂直关系列出方程组求出向量n 方法点评 本题若用纯立体几何的方法求解 则会遇到繁琐的几何证明以及作图 故创造建系的环境转化成空间向量 以坐标计算来代替几何证明和作图 要用向量法求点a到平面vbc的距离 须要先用设参数的方法求出平面vbc的一个法向量 同样 要求二面角avbc余弦值的大小 也须先用参数法求出平面vab的一个法向量 注意一个平面的法向量有无数个 我们只要取其中的一个即可 变式训练2如图 在多面体a1b1d1dcba中 四边形aa1b1b add1a1 abcd均为正方形 e为b1d1的中点 过a1 d e的平面交cd1于f 1 求证 ef b1c 2 求二面角ea1db1的余弦值 1 证明 a1b1 cd且a1b1 cd 四边形a1b1cd为平行四边形 b1c a1d 又b1c 平面a1efd b1c 平面a1efd 平面a1efd 平面b1cd1 ef ef b1c 专题三求二面角的大小用向量法求二面角也有两种方法 一种方法是利用平面角的定义 在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量 然后求出这两个方向向量的夹角 由此可求出二面角的大小 另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角 它与二面角的大小相等或互补 例3 如图 在三棱锥pabc中 ac bc 2 acb 90 ap bp ab pc ac 1 求证 pc ab 2 求二面角bapc的正弦值 1 证明 ac bc ap bp cp cp apc bpc 又pc ac pc bc ac bc c pc 平面abc ab 平面abc pc ab 方法点评 求二面角的大小 可以作出垂直于棱的两个向量 转化为这两个向量的夹角 但应注意 两向量的始点应在二面角的棱上 专题四用空间向量证明平行与垂直问题 1 证明线面平行问题可以有以下三种方法 利用线 线 线 面 向量p与两个不共线的向量a b共面的充要条件是存在实数对x y 使p xa yb 利用共面向量定理可以证明线面平行问题 设n为平面 的法向量 a为直线l的方向向量 若l 要证明l 只须证明a n 0 2 证明线面垂直的常用方法有 设a为直线l的方向向量 n为平面 的法向量 则a n 为非零实数 a与n共线 l l是直线a b所在平面 外的直线 a b相交 l a b分别为直线l a b的方向向量 则有l a 0且l b 0 l a且l b l 例4 如图 四棱锥pabcd的底面abcd是直角梯形 pa 平面abcd ad bc ad dc adc和 abc均为等腰直角三角形 pa ad dc a 点e为侧棱pb上一点且be 2ep 求证 1 平面pcd 平面pad 2 直线pd 平面eac 方法点评 在建立空间直角坐标系求点的坐标时 要让尽可能多的点落在坐标轴上 尽可能多的线段平行于坐标轴 有直角的 把直角边放在坐标轴上 空间向量与立体几何是高考考查的重要知识点之一 每年都有一道解答题 可以借助空间向量判断空间中的位置关系 求空间角和空间距离等 解读高考 答案 c 2 2018年新课标 如图 四边形abcd为正方形 e f分别为ad bc的中点 以df为折痕把 dfc折起 使点c到达点p的位置 且pf bf 1 求证 平面pef 平面abfd 2 求dp与平面abfd所成角的正弦值 3 2018年北京 如图 在三棱柱abca1b1c1中 cc1 平面abc d e f g分别为aa1 ac a1c1 bb1的中点 ab bc ac aa1 2 1 求证 ac 平面bef 2 求二面角bcdc1的余弦值 3 求证 直线fg与平面bcd相交 1 证明 cc1 平面abc ac 平面abc cc1 ac 在平行四边形a