数学第三单元第一讲 不定积分.doc

第一讲 不定积分一、 原函数的概念我们已经研究了一元函数的微分学，但在很多的科学技术与实际问题中，常常需要研究与它相反的问题，这就是由已知某函数的导数，求这个函数。例如 在一个电容为的纯电容电路中，如图所示，已知电容器两端电压为，求通过电容器的电流。由电工学可知 。 现在提出一个与上面相反的问题，即已知通过电容的电流为，求电容器两端电压。也就是说，要求一个函数，使得。上述问题从数学的角度讲，就是已知函数的导数，求原来的函数。由此，我们给出如下定义：定义 设是定义在某一区间内的已知函数，如果存在函数，使得在该区间内的任意一点，都有则称为函数的一个原函数。例如 因为，所以是的一个原函数。又因为，其中为任意常数，所以，等都是的原函数，可见的原函数有无限个，且其中任意两个原函数之间相差一个常数。结论：如果是的一个原函数，那么（为任意常数）就是的全部原函数（称为原函数簇），并且其中任意两个原函数的差都是常数。例1 求下列函数的原函数簇：（1）； （2）。解 （1）因为，所以是的一个原函数，而是的原函数簇。（2）因为，所以是的一个原函数，而是的原函数簇。二、不定积分的定义和性质 1定义 如果是函数的一个原函数，则的全部原函数称为的不定积分，记为，即。其中： 积分号；被积函数；积分变量；被积表达式。方法：求函数的不定积分，只需求出的一个原函数，然后加上任意常数即可。在不混淆的情况下，不定积分也简称积分。求已知函数的不定积分的运算称为对这个函数进行积分运算，所采用的方法称为积分法。例2 求下列不定积分：（1）；（2）；（3）。解 （1）当时，无意义；当时，所以；当时，所以；综合得，。（2）因为，所以。于是 。（3）因为，所以，于是 。例3 验证下列各不定积分的正确性：（1）；（2）。解（1）因为，而且（1）式右端含有任意常数，所以原等式成立。即。（2）因为，而且（2）式右端含有任意常数，所以原等式成立。即 。练习：1、 2、 3、2不定积分的两个性质设：性质1 或 。性质2 或 。 例4 用不定积分的性质填空：（1）； （2）；（3）； （4）。解（1）由性质1得；（2）由性质1得；（3）由性质2得；（4）由性质2得。三、不定积分的几何意义由已知曲线方程求它切线的斜率是导数运算；反之，由已知曲线的切线的斜率来求曲线方程则是不定积分运算。我们先看下面的例子：例5 设曲线通过点，且曲线上任一点处的切线斜率是，求此曲线的方程。解 设所求的曲线方程是，由导数的几何意义有，所以 。即 。由于所求的曲线过点，将代入中，解得，于是所求的曲线方程为。我们从几何上看，抛物线簇，可由其中一条抛物线沿着轴平行移动而得到，而且在横坐标相同的点处，它们的切线互相平行。通常称函数的图形是函数的一条积分曲线，称函数簇的图形是函数的积分曲线簇，如图所示。本课小结：1原函数及原函数簇的概念；2不定积分的定义与性质，以及微分与积分的区别；3不定积分的几何意义：通过一条积分曲线沿轴方向作平移所得到的全体曲线组成的积分曲线簇便得到不定积分的图像，这些曲线的特点就是在同一处的切线相互平行。 本课作业：1根据不定积分的定义，验证下列等式：(1) ；（2）；（3）。2已知一曲线经过点，且曲线上任一点处的切线斜率与该点的横坐标的平方成正比，比例系数为，求此曲线的方程。 结论：一般地，函数的一个原函数，在几何上表示为一条积分曲线。而的不定积分则表示将一条积分曲线沿轴方向作平移所得到的全体曲线组成的积分曲线簇，这些曲线在同一处的切线相互平行，如图所示。第二讲 不定积分的基本公式和运算法则、直接积分法一、基本积分公式由定义我们知道，积分就是微分的逆运算，因此可以由导数公式得到相应的积分基本公式。123（为常数）（为常数）4567891011121314例1 求下列不定积分：（1）； （2）； （3）。解 （1）；（2）；（3）。从例子我们知道：如果被积函数是分式或根式，应该先把它转化为的形式，然后再应用幂函数的积分公式来进行计算。二、不定积分的运算法则对于复杂函数的不定积分，我们可以把它分解成基本的不定积分来求。因此我们给出不定积分的运算法则：法则1 上述法则可以推广到有限多个函数代数和的情形，即。法则2 （为常数且）以上两个法则，用不定积分的定义很容易证明（证明略）。例2 求。解 。三、直接积分法在求积分的问题中，如果能直接利用不定积分的基本公式和运算法则就能求出结果，或者对被积函数进行适当的变形，再利用基本公式和运算法则就能求出结果，这种求不定积分的方法称为直接积分法。例3 求下列不定积分：（1）；（2）；（3）； （4） 。解 （1）；（2） ；（3）；（4）。例4 求。解 。例5 求。解 。例6 求。解 。例7 求。解 。例8 已知物体以速度作直线运动。当时，物体经过的路程为，求物体的运动规律。解 设所求的物体运动规律为，于是有，所以。 已知时，代入上式解得。于是所求的物体的运动规律为。本课小结：1不定积分的基本公式，要求熟记。2直接积分法是求不定积分的基本方法，它是其它积分法的基础。一般来讲，任何一个函数的积分，最终要归结为用直接积分法求出结果。直接积分的实质，就是直接利用基本运算法则把被表达式化成基本积分公式表中已有的形式，然后按照基本公式直接写出结果。在具体运算中，常常要对被积函数经过代数或三角恒等变换才能实现。本课作业：求下列不定积分：1； 2； ；。第三讲 第一类换元积分法一、问题引入求积分。错误做法：=。验证：。可见，此积分不能直接套用公式，因为与公式中的被积函数不一样。解 作变量代换：令，则，从而。所以，。 此积分的特点：引入新变量，从而把原积分化为变量的积分，再求之。这是把复合函数的微分法则反过来得出的积分方法。二、换元积分法换元积分法（简称换元法）：把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。换元法分为两类：第一类换元积分法和第二类换元积分法。第一类换元积分法（凑微分法）：定理 设，且可导，则例1 求。例2求。例3 求。凑微分法运用比较熟练后，可省略“换元”和“回代”这两个步骤，只需将新变量默记在心，直接“凑成”公式形式，求出积分结果。例4 求。解 。例5 求。解 。例6 求。解 。例7 求。解 在凑微分时，常要用到下列微分式子，熟记它们有助于计算不定积分。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（9）；（10）；（11）等。以上各上面各式中、均为常数，且。一般情况下有：，其中、均为常数，且。例8 求。 解 因为，所以。有时需要通过代数式或三角函数式的恒等变形，对被积函数进行适当变形，再用凑微分法求积分。例9 求。解 。类似地，可得。例10 求。解 。例11 求。解 由三角恒等式，所以 。我们可以求得 。例12 求。解法1 。解法2 。解法3 。结论：三种解法的结果都是正确的，由此可见，求同一函数的不定积分时，由于采用的方法不同，其积分结果在形式上可能是不同的，实际上各种不同结果之间仅相差一个常数。练习：求下列积分1.； 2.； 3.；4.； 5.； 6.； 7.。本课小结：由直接积分法所能计算的积分是非常有限的，换元积分法是一种用途更为广泛的积分法，换元积分法分为第一类换元积分法和第二类换元积分法。第一类换元积分法的关键是凑微分，因此，第一类换元积分法又称为凑微分法。在用凑微分法计算不定积分时，有时需要先对被积函数进行三角或代数等变换。对于某些不定积分，由于采用的方法不同，其积分结果在形式上可能是不同的，不同结果之间仅相差一个常数。本课作业：求下列不定积分：1； 2； ；。第四讲 第二类换元积分法第一类换元积分法是将积分中用一个新的变量替换，化为积分，从而使不定积分容易计算，而求有些函数的不定积分用第一类换元法比较困难，如，这就是需要做相反方式的换元。即设来进行求解，这就是第二类换元积分法。定理2 设是单调可导函数，且。如果有原函数，即。则 。 其中是的反函数。第二类换元积分法主要解决无理函数的不定积分，即被积函数中含有关于的根式的积分。解决问题的关键是消去根式，消去根式的方式有代数代换和三角代换。一、代数代换例1 求。解 为了去掉根式，令，则，于是。例2 求。解 令，则，于是 。二、三角代换例3 求。解 为了去掉根式，利用三角恒等式设，则，于是 。在变量还原时，由所设，得，由如图所示的辅助三角形知，因此。例4 求。解 为去掉根式，利用三角恒等式。设，则，于是。在变量还原时，为了简便起见，由所设，即作出直角三角形如图所示，由此可知，于是有。例5 求。解 设，则，于是在变量还原时，由所设作出直角三角形如图所示，由此可知，于是有。例6 求。解 这类积分可以用三角代换去掉根号，但用代换（倒代换）更加简便，即。上面例3到例5所用的方法称为三角函数代换法，一般地，（1）被积函数含有，可设或；（2）被积函数含有，可设或；（3）被积函数含有，可设或。在本节的例题中，有一些不定积分的结果，可作为补充的积分公式，列在下面以便引用。1；2；3；4；5；6；7；8；9。例7 求。解 。例8 求解 。可见，利用常用的不定积分的结果来积分，可以简化很多步骤。练习：求下列不定积分 1； 23 4。本课小结：第二类换元积分法主要解决无理函数的不定积分，即被积函数中含有关于的根式的积分。解决问题的关键是消去根式，消去根式的方式有代数代换和三角代换。本课作业：求下列不定积分：（1）； （2）； （5）； 第五讲 一、分部积分法 二、积分表的使用一、分部积分法前面我们将复合函数的微分法用于求积分，得到换元积分法，拓展了求积分的领域。为了解决形如，的积分问题，下面我们利用两个函数乘积的微分法则，推出另一种求积分的基本方法分部积分法。分部积分公式：设函数，具有连续导数，由函数乘积的微分公式有 ，移项得 ，对上式两边积分得 （1）公式（1）叫做分部积分公式。例1 求。解 设，则，于是 。如果设，则，于是 。很显然，右端的积分比原来的积分更难于计算。由此可见，使用分部积分法时，恰当地选取和是关键，如果选得不当，可能使积分变得更加复杂。一般地说，选取和的原则如下：（1）要容易求得；（2）要比容易积出。例2 求。解 取，则，于是。例3 求。解 。例4 求。解 。例5 求。解法1 。于是有 ，所以 ，。解法2 于是 ，所以 。例6 求。解 先用换元法，设，则，于是。再用分部积分法 。例7 求和.解 .由此得到 解此方程组，求得；。结论：当n是正整数时，如，这种类型的积分，都可用分部积分法解决，这时，设，分别为，；同样，这种类型的积分，也可用分部积分法解决，这时，设，分别为， ，（，为常数）这种类型的积分如例7那样，也可以用分部积分法来解决。练习：1；2；3；4。二、积分表的使用为了实用方便及避免烦琐的积分计算,人们已将常用函数的不定积分汇编成表,这种表叫做积分表.本书附录所列的积分表是按被积函数的类型加以编排的,以便查阅.下面举例说明积分表的使用方法。例1 求。解 被积函数含有三角函数，在积分表中查得关于的公式,但公式有两个，要根据或来决定采用哪一个。这里,所以用公式,于是。例2 求。解 在积分表中查得递推公式，这里，两次运用公式得 。 需要指出的是，对初等函数来说，在其定义区间内，