【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编：E单元　不等式

1 32 E E 单元单元 不等式不等式 目录 E 单元 不等式 1 E1 不等式的概念与性质 1 E2 绝对值不等式的解法 1 E3 一元二次不等式的解法 1 E4 简单的一元高次不等式的解法 1 E5 简单的线性规划问题 1 E6 基本不等式 1 2 ab ab E7 不等式的证明方法 1 E8 不等式的综合应用 1 E9 单元综合 1 E1 不等式的概念与性质不等式的概念与性质 数学理卷 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 201407 E15 若 则下列不等式成立的是 01 0 ba A 2 ababa B aabab 2 C 2 abbab D aabab 2 知识点 不等式的性质 答案解析 D 解析 因为 ab 0 a 所以 A 错误 因为 ab 0 所以 B 错误 当 2 ab a b 时 所以 C 错误 则选 D 1 2 2 11 82 abb 思路点拨 再利用不等式的性质判断大小关系时 可直接利用性质判断 也可利用反例 排除判断 数学文卷 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 201407 E14 若 01 0 ba则下列不等式成立的是 A 2 ababa B aabab 2 C 2 abbab D aabab 2 知识点 不等式的性质 答案解析 D 解析 因为 ab 0 a 所以 A 错误 因为 ab 0 2 ab 所以 B 错误 当 2 32 a b 1 2 时 2 11 82 abb 所以 C 错误 则选 D 思路点拨 再利用不等式的性质判断大小关系时 可直接利用性质判断 也可利用反例 排除判断 数学文卷 2016 届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试 201407 E12 已知 a 0 1 bab ab2 B ab2 ab a C ab a ab2 D ab ab2 a 知识点 不等式的性质 答案解析 D解析 解 把a 2 b 代入各选项 可判定D正确 1 2 思路点拨 采用特殊值法确定正确选项 数学文卷 2015 届广东省湛江第一中学高二下学期期末考试 201407 A2E15 下面四 个条件中 使 a b 成立的充分而不必要的条件是 A a3 b3 B a b 1 C a2 b2 D a b 1 知识点 充要条件 不等式的性质 答案解析 D 解析 因为 a b a3 b3 所以排除 A 由 B C 不能推出 a b 排除 B C 所以选 D 思路点拨 判断充要条件时 可先分清条件与结论 若由条件能推出结论 则充分性满 足 若由结论能推出条件 则必要性满足 数学文卷 2015 届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试 201407 E18 若 ab R 且 则下列不等式中恒成立的是 0 ab A B C D abba2 22 abba2 ab ba 211 2 b a a b 知识点 不等式成立的条件 答案解析 D 解析 解 对于A 易知abba2 22 成立的条件是 故A错误 ab 对于B 由基本不等式可知 若abba2 成立 则必须满足 故B错误 0 0ab 对于C 如果时 不等式不成立 故C错误 0 0ab 对于D a b R 且0 ab 即同号 则有 故D正确 a b22 bab a aba b 思路点拨 利用不等式成立的条件对四个选项依次判断即可 3 32 数学卷 2016 届广东省惠州市第一中学 惠州市 高一下学期期末考试 201407 E17 已 知 a b cR 下列命题中正确的是 A 22 bcacba B babcac 22 C ba ba 11 33 D 22 baba 知识点 不等式的性质 排除法 赋值法 答案解析 B 解析 解 特殊值法 当0c 可排除 A 当0a 可排除 C 当 1 0ab 可排除 D 故选 B 思路点拨 本题主要考查不等式的性质 对于此类问题在客观题中最好的方法是赋予特 殊值依次进行排除 E2 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 数学 文 卷 2015 届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试 201408 E211 不 等式的解集为 521 xx 知识点 绝对值的意义 绝对值不等式的解法 答案解析 解析 解 表示数轴上的x对应点到1和 32 12xx 2对应点的距离之和 而数轴上满足的点的坐标为 3和2 故不等式125xx 的解集为 故答案为 521 xx 32 32 思路点拨 利用绝对值的意义 表示数轴上的x对应点到1和 2对应点的距12xx 离之和 而数轴上满足的点的坐标为 3和2 从而得出结论 125xx 数学理卷 2015 届黑龙江省哈三中高二下学期期末考试 201407 E26 若不等式 的解集为 则实数等于62 ax 2 1 a 俯视图 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 1 11 俯 俯 俯 俯 俯 俯 俯 俯 俯 3 3 2 2 4 32 A B C D 824 8 知识点 绝对值不等式的解法 答案解析 C 解析 解 不等式的解集为 62 ax 2 1 解得 故选 C 2 6 22 6 a a 4a 思路点拨 利用不等式的解集与方程解的关系 建立方程组 即可求实数a的 值 数学理卷 2015 届河北省唐山一中高二下学期期末考试 201407 E215 已知不等式 对满足的一切实数都成立 则 1 22axyz 222 1xyz xyz 实数的取值范围为 a 知识点 柯西不等式的应用 含绝对值不等式的解法 答案解析 解析 解 由柯西不等式可得 24 2222222 9 122xyz1 x2 y2 z 3 3 对一切实数都成立 即 解22xyz xyz max 1 223axyz 得或 故答案为4a 2a 24 思路点拨 由柯西不等式可得出 x 2y 2z的取值范围 再结合不等式恒成立的条件 即可 数学理卷 2015 届广东省湛江第一中学高二下学期期末考试 201407 E212 不等式 x 1 x 2 5 的解集是 知识点 绝对值不等式的解法 答案解析 x x 3 或 x 2 解析 因为在数轴上到两点距离之和为 5 的点为 3 2 所以在数轴上到两点距离之和大于等于 5 的实数 x 的范围是 x x 3 或 x 2 思路点拨 在解绝对值不等式时 若两个绝对值中 x 的系数相等可利用绝对值的几何意 义直接求解 若两个绝对值中 x 的系数不相等可用零点分段讨论去绝对值解不等式 数学文卷 2015 届黑龙江省哈三中高二下学期期末考试 201407 E2 19 已知函数 axxxf 1 I 若解不等式 3 a6 xf 5 32 II 若不等式对任意的实数恒成立 求实数的取值范围 6 xfxa 知识点 含绝对值的不等式的解法 不等式恒成立求参数范围问题 答案解析 1 42 2 57 解析 解 1 当a 3时不等式为136xx 在数轴上到两点 1 3距离和是 6的点是 2和4 所以不等式的解集为 42 2 若不等式对任意的实数恒成立 则6小于或等于的最小值 6 xfx f x 而的最小值为 所以 f x 11aa 16a 解得 所以实数的取值范围是7 5aa a 57 思路点拨 1 利用两数差的绝对值的几何意义求解 2 由不等式恒成立的意义得 若不等式对任意的实数恒成立 则6小于或等于的最小值 6 xfx f x 而的最小值为 所以 由此求得a范围 f x 11aa 16a 数学文卷 2015 届黑龙江省哈三中高二下学期期末考试 201407 E25 若不等式 的解集为 则实数等于6 ax 11 1 a A 1 B 7 C 7 D 5 知识点 简单的含绝对值的不等式的解法 答案解析 D解析 解 由已知不等式得 6 a x 6 a所以急 解得a 5 61 611 a a 思路点拨 求得不等式的解集的解集 它与集合相等求得a值 6 ax 11 1 数学文卷 2015 届甘肃省兰州一中高二下学期期末考试 201407 E217 10 分 已 知函数 3f xx 1 若不等式的解集为空集 求的范围 1 f xf xa a 2 若 且 求证 1 1 ba0 a a b faabf 知识点 绝对值三角不等式 用分析法证明绝对值不等式 答案解析 1 2 见解析1a 6 32 解析 解 1 由题意可得 不等式的解 1 43431f xf xxxxx 1 f xf xa 集为空集 5 分1a 2 要证 只需证 只需证 a b faabf 1 abab 22 1 abab 而 0 1 1 1 1 22222222 bababaabab 从而原不等式成立 10 分 思路点拨 1 由条件利用绝对值三角不等式可得 再根据 1 1f xf x 不等式的解集为空集 可得的范围 2 寻找使 1 f xf xa a 成立的充分条件为 而由条件可得 a b faabf 22 1 abab 显然成立 从而原不等式成立 22 1 abab 数学文卷 2015 届甘肃省兰州一中高二下学期期末考试 201407 E216 10 分 设函数 21 3 f xxx 1 解不等式 0f x 2 已知关于 x 的不等式恒成立 求实数的取值范围 3 af x a 知识点 带绝对值的函数 分类讨论思想 构造函数的思想 恒成立问题 答案解析 1 2 2 4 3 13 2 a 解析 解 1 1 4 2 1 21 3 32 3 2 4 3 xx f xxxxx xx 0 f x 当时 1 2 x 40 x 4x 当时 1 3 2 x 320 x 2 3 3 x 7 32 当时 3x 40 x 3x 综上所述 不等式的解集为 5 分 0f x 2 4 3 2 由 1 知 1 4 2 1 32 3 2 4 3 xx f xxx xx 当时 当时 1 2 x 7 4 2 x 1 3 2 x 7 327 2 x 当时 3x 47x 综上所述 7 2 f x 关于 x 的不等式恒成立 3 af x 恒成立 令 则 10 分 3af x 3g xf x 13 2 g x 13 2 a 思路点拨 1 通过分类讨论 去掉绝对值函数中的绝对值符号 转化为分段函 数 即可求得不等式的解集 2 构造函数 关于 x 的 0f x 3g xf x 不等式恒成立 即恒成立 可得 即可 3 af x 3af x min ag x 数学文卷 2015 届甘肃省兰州一中高二下学期期末考试 201407 E27 函数 的最小值为46yxx A 2 B C 4 D 62 知识点 绝对值的和表示的几何意义 答案解析 A解析 解 函数表示的是数轴上的点到4 6两点的距46yxx x 离和 求函数的最小值即数轴上的点到4 6两点的距离和的最小值 故最小值是4 6两点的x 距离2 故选A 思路点拨 利用绝对值的和表示的几何意义判断出最小值即可 数学文卷 2015 届甘肃省兰州一中高二下学期期末考试 201407 E21 不等式 的解集是 22xx 8 32 A B C D 2 2 2 2 知识点 绝对值的意义 绝对值不等式的解法 答案解析 A解析 解 若原不等式成立 则满足 即 22xx 20 x 2x 故选A 思路点拨 由绝对值的意义可知 需满足成立解之即可 20 x 是的充分不必要条件 求的取值范围 pqa 知识点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 一元二次不等式的解法 绝对值 不等式的解法 答案解析 03a 解析 解 46 10 2 10 2pxxxAx xx 或或 22 2101 1 1 1q xxaxaxaBx xaxa 或记或 而 即 pqA B 12 110 03 0 a aa a 思路点拨 先解不等式分别求出 p和q 再由非 p是q的充分不必要条件 求 a的 取值范围 数学文卷 2015 届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试 201407 E2N424 本小 题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设函数 412 xxxf 1 解不等式 2 xf 2 求函数 xf的最小值 知识点 绝对值不等式的解法 函数单调性的性质 答案解析 1 3 5 7 2 2 9 解析 解 因为即 1 5 2 1 334 2 54 xx f xxx xx 2 xf 9 32 1 由 解得 52 1 2 x x 7x 5 4 3 x 4x 综上可知不等式的解集为 5 7 3 x xx 或 2 如图可知 min 9 2 f x 思路点拨 根据绝对值的代数意义 去掉函数中的绝对值符号 412 xxxf 求解不等式 画出函数函数的图象 根据图象求得函数的最小值 2 xf f x f x 数学 理 卷 2015 届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试 201408 E211 不等 式的解集为 521 xx 知识点 绝对值的意义 绝对值不等式的解法 答案解析 解析 解 表示数轴上的x对应点到1和 32 12xx 2对应点的距离之和 而数轴上满足的点的坐标为 3和2 故不等式125xx 的解集为 故答案为 521 xx 32 32 10 32 思路点拨 利用绝对值的意义 表示数轴上的x对应点到1和 2对应点的距12xx 离之和 而数轴上满足的点的坐标为 3和2 从而得出结论 125xx E3 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 数学文卷 2015 届河北省邯郸市馆陶县一中高三 7 月调研考试 201407 A2E3E218 本小题满分 12 分 已知命题若非 22 46 210 0 pxq xxaa 是的充分不必要条件 求的取值范围 pqa 知识点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 一元二次不等式的解法 绝对值 不等式的解法 答案解析 03a 于的不等式 x 2 2140axax 12121212 224 baba abab 当且仅当时 的最 34112121 2525 247 77 ba abab 1ab 34 ab 小值为 7 故答案为 7 思路点拨 作出题中不等式组表示的平面区域 得到如图的 ABC 及其内部 利 用直线平移法求出当x 3 且 y 4 时 取得最大值为 7 zaxby 即 再利用整体代换法 根据基本不等式加以计算 可得当347ab 时的最小值为 7 1ab 数学 文 卷 2015 届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试 201408 E55 若 满足 若目标函数的最小值为 2 则实数的值为 x y 10 210 y xy xym zxy m A 0 B 2 C 8 D 1 知识点 简单线性规划 答案解析 C 解析 解 画出 x y 满足的可行域如下图 13 32 可得直线与直线的交点使目标函数取得最小值 21yx xym zxy 故 21yx xym 解得 121 33 mm xy 代入得 2xy 121 2 33 mm 8m 故选 C 思路点拨 由目标函数的最小值为 2 我们可以画出满足条件的可行域 zxy 根据目标函数的解析式形式 分析取得最优解的点的坐标 然后根据分析列出一个 含参数 m 的方程组 消参后即可得到m 的取值 典型总结 如果约束条件中含有参数 我们可以先画出不含参数的几个不等式对 应的平面区域 分析取得最优解是哪两条直线的交点 然后得到一个含有参数的方 程 组 代入另一条直线方程 消去x y后 即可求出参数的值 数学 文 卷 2015 届浙江省重点中学协作体高考摸底测试 201408 E516 若实数 满足 且的最大值等于 34 则正实数的值等于 yx 220 3 0 xy y axya 22 yx a 知识点 简单线性规划 答案解析 解析 解 作出可行域 3 5 14 32 表示点与距离的平方 22 xy x y 0 0 由图知 可行域中的点B与最远 3 3 a a 0 0 故最大值为 负值舍去 22 xy 22 33 334 4 a a a 故答案为 3 4 思路点拨 作出可行域 给目标函数赋予几何意义 到距离的平方 据图 0 0 分析可得到点 B与距离最大 0 0 数学理卷 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 201407 E513 若实数 满足不等式组 0 07 0 x yx xy 则yx 2的最大值为 yx 知识点 简单的线性规划 答案解析 解析 不等式组表示的平面区域如图为三角形 AOB 对应的区域 平行 21 2 移动直线 2x y 0 显然当直线经过点 B 时 2x y 最大 而 B 点坐标为 所以 7 7 2 2 所求的最大值为 7721 2 222 思路点拨 由二元一次不等式组求最值问题 一般先作出不等式组表示的平面区域 再 结合所求式子的几何意义数形结合求最值 15 32 数学理卷 2015 届河北省唐山一中高二下学期期末考试 201407 E58 若实数 x 满y 足不等式组 则 z x 2的最大值是 y 5 2x y 3 0 x y 1 0 y A 10 B 11 C 13 D 14 知识点 简单线性规划 答案解析 D 解析 解 满足约束条件的平面区域如图所示 y 5 2x y 3 0 x y 1 0 z x 2y 表示一条折线 图中虚线 由 5 10 y xy 得A 4 5 代入 z x 2y得z 4 2 5 14 当x 4 y 5时 x 2y有最大值 14 故选 D 思路点拨 根据题意先画出满足约束条件的平面区域 然后分析平面区域里各个角 点 令 z x 2y 进一步求出目标函数z x 2y 的最大值 数学文卷 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 201407 E513 若 实数 yx 满足不等式组 0 07 0 x yx xy 则yx 2的最大值为 知识点 简单的线性规划 答案解析 21 2 解析 不等式组表示的平面区域如图为三角形 AOB 对应的区域 平行 移动直线 2x y 0 显然当直线经过点 B 时 2x y 最大 而 B 点坐标为 7 7 2 2 所以 16 32 所求的最大值为 7721 2 222 思路点拨 由二元一次不等式组求最值问题 一般先作出不等式组表示的平面区域 再 结合所求式子的几何意义数形结合求最值 数学文卷 2015 届河北省唐山一中高二下学期期末考试 201407 E513 已知变量 x y 满足 则 z 2x y 的最大值为 知识点 简单线性规划 答案解析 4解析 解 根据题意 作出不等式组表示的平面区域OAB B A O 已知当目标函数 z 2x y对应的直线平移过 A 1 2 点时 Z有最大值 4 思路点拨 作出题中不等式组表示的平面区域 得到如图的四边形ABCD及其 内部 再将目标函数 z 2x y对应的直线进行平移 观察直线在y轴上的截距变化 可得当 x 1且y 2时z取得最大值 4 数学文卷 2014 届西藏自治区高三最后一次模拟统一考试 201405 E54 已知变量 17 32 满足条件 则目标函数的最大值是 xy 12 1 0 yx yx yx yxz 5 A 2 B 3 C 4 D 5 知识点 简单线性规划的应用 答案解析 D 解析 解 满足约束条件的可行域如图 12 1 0 yx yx yx 由图象可知 目标函数过点 A 1 0 时 z 取得最大值 zmax 5 故选 D yxz 5 思路点拨 先画出约束条件表示的可行域 再求出可行域中各角点的坐标 将各点坐标 代入目标函数的解析式 分析后易得目标函数的最小值 数学卷 2016 届黑龙江省哈三中高一下学期期末考试 201407 E518 本大题 12 分 已知实数x y满足 3 012 012 x yx yx 求yx 的最大值与最小值 求 2 x y 的最大值与最小值 知识点 线性约束条件下的截距最值和斜率最值问题 答案解析 1 的最大值为 最小值为 yx 5 2 1 2 的最大值为 最小值为 2 x y 5 2 5 1 解析 解 1 画出可行域 设 z x y则y x z 通过直线 y x平移可得 使 x y 取得最大值的最优解为 3 2 使x y取得最小值的最优解为 0 所以 1 2 的最大值为 最小值为 yx 5 2 1 18 32 2 设k 则由斜率的意义可得 使k取得最大值的最优解为 3 2 使k 2 x y 取得最小值的最优解为 3 1 所以的最大值为 最小值为 2 x y 5 2 5 1 思路点拨 由已知条件画出可行域 再根据目标函数的几何意义求最值 数学卷 2016 届黑龙江省哈三中高一下学期期末考试 201407 E510 若实数yx 满足 01 032 033 myx yx yx 且yx 的最大值等于9 则实数等于m A B C D 2 1 12 知识点 线性规划问题 答案解析 C解析 解 画出可行域 其中x my 1 0时过定点 0 1 的直线 有 图分析知 x y取得最大值的最优解为直线 2x y 3 0与x my 1 0的交点 531 21 21 m mm 代入x y 9得m 1 所以选C 思路点拨 画出可行域后利用所考查的几何意义找出取最大值时的交点 代入即可 数学卷 2016 届广东省惠州市第一中学 惠州市 高一下学期期末考试 201407 E5E518 本题满分 本题满分 14 分 分 已知变量xy 满足 1 25 1 xy xy x 1 画出不等式组表示的平面区域 2 设3zxy 求z的最大值及相应点的坐标 知识点 简单线性规划 答案解析 1 见解析 2 最大值是 7 点 P 2 1 解析 解 1 不等式组表示平面区域如阴影部分所示 P 19 32 6 分 2 3zxy 即3yxz z为直线的纵截距 8 分 如图作直线3yx 平移该直线 当平移到经过该阴影部分的 P 点时 纵截距z最大 10 分 1 25 xy xy 解得点 P 2 1 12 分 此时 z 3x y 取得最大值是 7 14 分 思路点拨 1 由不等式的意义可得不等式组表示平面区域 2 变形目标 函数 平移直线 由截距的意义可得 3yxz 3yx 数学卷 2016 届四川省成都七中高一下学期期末考试 201407 F2E510 如图 在直角 梯形中 点在阴影区域 含边界 中运动 则有ABCD1 2DAABBC P 的取值范围是 PA BD A A B C D 1 1 2 1 1 2 1 1 1 0 知识点 向量的坐标表示 简单的线性规划 答案解析 C解析 解 以BC所在的直线为轴 以BA所在的直线为轴建立坐标xy 系 如下图 20 32 可得 设 所以 令 0 0B 2 0C 0 1A 1 1D P x y1PA BDxy A 由几何意义可知z表示y轴上的负截距 可知过时有最大值1 与1zxy 0 0B DC重合时有最小值 故答案为 1 1 1 思路点拨 建立坐标系后用坐标表示出后再借助于线性规划求得最值 PA BD A 数学卷 2016 届四川省成都七中高一下学期期末考试 201407 E55 设变量满足 x y 约束条件 则目标函数的最小值是 0 1 21 xy xy xy 2zxy A B 1 C D 2 3 2 1 2 知识点 简单的线性规划 答案解析 B 解析 解 先根据约束条件画出可行域 当直线过点时 最小 值是 故选 B 2zxy 1 1 3 3 A z1 思路点拨 先根据约束条件画出可行域 再利用几何意义求最值 表2zxy 21 32 示直线在 y轴上的截距 只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可 数学卷 2014 届江苏省南京市金陵中学高三第四次模拟考试 201405 E58 已知点 P x y 满足条件y 的最大值为 8 则 3 02 0 xzk kyx xy x 若为常数 k 知识点 简单线性规划 答案解析 6 解析 解 画出可行域 将变形为 3zxy 1 33 z yx 画出直线平移至点时 纵截距最大 最大 1 33 z yx Az 联立方程得 20 yx xyk 3 3 k x k y 代入 3 8 3 k 3 k 6k 故答案为 6 思路点拨 画出可行域 将目标函数变形 画出相应的直线 将其平移 数学结合 当直线移至点时 纵截距最大 最大 Az 数学 理 卷 2015 届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试 201408 E56 若满 x y 足且的最小值为 2 则的值为 20 20 0 xy kxy y zyx k A 1 B 1 C 2 D 2 知识点 简单线性规划 22 32 答案解析 B 解析 解 由约束条件作出可行域如图 20 20 0 xy kxy y 由 得 B 由得 20kxy 2 x k 2 0 k zyx yxz 由图可知 当直线过 B时直线在 y 轴上的 截距 最小 即 z 最yxz 2 0 k 小 此时 zmin 0 2 解得 k 1 故选 B 2 k 思路点拨 由此结合约束条件作出可行域 化目标函数为直线方程的斜截式 由图 得到最优解 联立方程组求出最优解的坐标 代入目标函数得答案 E6 基本不等式基本不等式 2 ab ab 数学 理 卷 2015 届浙江省重点中学协作体高考摸底测试 201408 D3B7E619 本小题满分 14 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 22 nn Sa 1 求数列 n a的通项公式 2 设 2 log nn ba n c 1 1 nn b b 记数列 n c的前n项和 n T 若对nN 4 n Tk n 恒成立 求实数k的取值范围 知识点 等比数列的通项公式 对数的运算性质 裂项求和 恒成立问题的等价转 化 基本不等式的性质 23 32 答案解析 1 2 2n n a 1 9 解析 解 1 当时 当时 1 n2 1 a2 n 22 22 11 nnnnn aaSSa 即 数列为以 2 为公比的等比数列 2 1 n n a a n a n n a2 2 由 bn log2an得 bn log22n n 则 cn 1 1 nn b b 1 1n n 1 n 1 1n Tn 1 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 1n 1 1n 1 n n k n 4 k 1 n n 2 1454 nn nnnn 1 4 5n n n 5 2 5 9 当且仅当 n 即 n 2 时等号成立 4 n 4 n n 4 n 因此 k 故实数 k 的取值范围为 1 4 5n n 1 9 1 9 1 9 思路点拨 1 当时 解得 当时 再利用等比1 n2 1 a2 n 1nnn aSS 数列的通项公式即可得出 2 利用对数的运算性质可得 利用 裂项求和 即可得出 数列 n c的前 n b 项和 由于对nN 4 n Tk n 恒成立 可得 k n 4 化为 k n n T 1 n n 1 4 5n n 利用基本不等式的性质即可得出 数学 理 卷 2015 届浙江省重点中学协作体高考摸底测试 201408 E6E513 已知 x y满足约束条件 22 1 1 yx yx yx 若目标函数 0 0 zaxby ab 的最大值为 7 则 ba 43 的最小值为 知识点 基本不等式在最值问题中的应用 简单线性规划 24 32 答案解析 7 解析 解 作出不等式组 22 1 1 yx yx yx 表示的平面区域 得到如图的 ABC 及其内部 其中A 1 0 B 3 4 C 0 1 设 0 0 zaxby ab 将直线 进行平移 并观察直线在 xlzaxby l 轴上的截距变化 可得当经过点 B 时 目标函数 z 达到最大值 l 即 347ab 因此 3413411212 3425 77 ba ab ababab 可得 0 0ab 12121212 224 baba abab 当且仅当时 的最 34112121 2525 247 77 ba abab 1ab 34 ab 小值为 7 故答案为 7 思路点拨 作出题中不等式组表示的平面区域 得到如图的 ABC 及其内部 利 用直线平移法求出当x 3 且 y 4 时 取得最大值为 7 zaxby 即 再利用整体代换法 根据基本不等式加以计算 可得当347ab 时的最小值为 7 1ab 数学 文 卷 2015 届浙江省重点中学协作体高考摸底测试 201408 D3B7E619 本小题满分 14 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 22 nn Sa 1 求数列 n a的通项公式 2 设 2 log nn ba n c 1 1 nn b b 记数列 n c的前n项和 n T 若对nN 4 n Tk n 恒成立 求实数k的取值范围 25 32 知识点 等比数列的通项公式 对数的运算性质 裂项求和 恒成立问题的等价转 化 基本不等式的性质 答案解析 1 2 2n n a 1 9 解析 解 1 当时 当时 1 n2 1 a2 n 22 22 11 nnnnn aaSSa 即 数列为以 2 为公比的等比数列 2 1 n n a a n a n n a2 2 由 bn log2an得 bn log22n n 则 cn 1 1 nn b b 1 1n n 1 n 1 1n Tn 1 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 1n 1 1n 1 n n k n 4 k 1 n n 2 1454 nn nnnn 1 4 5n n n 5 2 5 9 当且仅当 n 即 n 2 时等号成立 4 n 4 n n 4 n 因此 k 故实数 k 的取值范围为 1 4 5n n 1 9 1 9 1 9 思路点拨 1 当时 解得 当时 再利用等比1 n2 1 a2 n 1nnn aSS 数列的通项公式即可得出 2 利用对数的运算性质可得 利用 裂项求和 即可得出 数列 n c的前 n b 项和 由于对nN 4 n Tk n 恒成立 可得 k n 4 化为 k n n T 1 n n 1 4 5n n 利用基本不等式的性质即可得出 数学理卷 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 201407 E614 已知 直线01 kykx恒过定点A 若点A在直线 0 01 nmnymx上 则 nm 11 的最小值为 知识点 基本不等式 答案解析 4 解析 由直线方程得 k x 1 y 1 0 所以定点 A 的坐01 kykx 26 32 标为 1 1 代入直线方程得 m n 1 所以 0 01 nmnymx 1111 2224 nmnm mn mnmnmnmn 当且仅当 m n 时等号成 立 所以的最小值为 4 nm 11 思路点拨 若已知两个变量的和为定值 求其倒数和的最小值 可利用 1 的代换转化为 基本不等式特征求最值 数学理卷 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 201407 C2E612 在 ABC 中 设为边上的高 且 分别表示角所对的边长 则ADBCBCAD cb CB 的取值范围是 b c c b A 5 2 B C D 6 2 5 3 6 3 知识点 三角形面积公式 余弦定理 基本不等式 答案解析 A 解析 因为BC 边上的高 AD BC a 所以 2 11 sin 22 ABC SabcA A 所以 sinA 2 a bc 又因为 2222 1 cos 22 bcabca A bccbbc 所以 2cosA sinA b c c b 5sin A 其中 tanA 2 由基本不等式得 2 所以的范围是 b c c b b c c b 选 A 5 2 思路点拨 借助于三角形面积建立边角关系 再有余弦定理把边转化成三角函数的最大 值 利用基本不等式求其最小值 即可得其范围 数学理卷 2016 届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试 201407 E617 本小题 满分 10 分 已知正常数 a b 和正变数 x y 满足 a b 10 1 x y 的最小值为 18 求 a b a x b y 的值 知识点 基本不等式 一元二次方程的根 答案解析 2882abab 或 解析 解 2 12 abaybx xyxyxyabababab xyxy 等号在即时成立 的最小值为 5 分 aybx xy yb xa xy 2 18ab 27 32 又 10ab 是方程的两根 16ab a b 2 10160 xx 10 分2882abab 或 思路点拨 先把x y进行转化 再利用基本不等式求出其最小值可得 2 18ab 再结合可得最后结果 10ab 数学理卷 2015 届广东省湛江第一中学高二下学期期末考试 201407 E66 下列各式 中 最小值是 2 的是 A B C D 2 3x x x 1 4 5 2 2 x x 1 2 2 2 x x x 4 知识点 基本不等式 答案解析 C 解析 因为 A B 选项中的 式子的值可以取负值 故排除 又 而 不成立 所以等号不成立 2 2 22 51 42 44 x x xx 2 2 1 4 4 x x 不能得到最小值为 2 故排除 所以选 C 思路点拨 在应用基本不等式求最值时 必须注意满足三个要素 一正 二定 三相等 本题通过三个要素用排除法即可确定选项 数学文卷 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 201407 E614 已知 21 0 0 4xy xy 且 则yx2 最小值是 知识点 基本不等式 答案解析 2 解析 因为 21 0 0 4xy xy 且 所以 121 1 4xy 则 yx2 121141 24442 444 xy xy xyyx 当且仅当 x 2y 1 时等号成立 所以最小值为 2 思路点拨 若已知两个变量的和为定值 求其倒数和的最小值 可利用 1 的代换转化为 基本不等式特征求最值 数学文卷 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 201407 E612 已知 822 0 0 xyyxyx则yx2 的最小值是 28 32 A 3 B 4 C 2 9 D 2 11 知识点 基本不等式 答案解析 B 解析 因为 2 2 8222 2 xy xyxyxy 解得 x 2y 4 所以 的最小值是 4 选 B yx2 思路点拨 观察所给的等式 可对乘积用基本不等式进行转化 得到关于的一元yx2 二次不等式 解不等式求范围即可解答 数学文卷 2015 届甘肃省兰州一中高二下学期期末考试 201407 E613 若为rqp 正实数 且 则的最小值是 111 1 pqr pqr 知识点 基本不等式的应用 答案解析 9 解析 解 若为正实数 且 rqp 111 1 pqr 则 111 33 69 qpprrq pqrpqr pqrpqrpqr 当且仅当时 等号成立 故的最小值是 9 3pqr pqr 故答案为 9 思路点拨 由题意得 利用基本不等式求得 111 3 qpprrq pqrpqr pqrpqrpqr 它的最小值 数学文卷 2015 届甘肃省兰州一中高二下学期期末考试 201407 E68 下列四个不等式 1 2 0 xx x 0 cc abc ab 0 ama a b m bmb 恒成立的是 22 2 22 abab A 3 B 2 C 1 D 0 知识点 基本不等式成立的条件 不等式的性质 29 32 答案解析 B解析 解 对于 当时 很明显不成立 0 x cc ab 0a b m ab 等号 故答案为 22 思路点拨 直接利用基本不等式即可 数学卷 2016 届四川省成都七中高一下学期期末考试 2