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文档简介

函数单调性的充要条件及应用郑定华 1. 有关结论 新教材第三册中给出了函数的单调性的充分条件： 一般地，设函数在某个区间有导数，如果在这个区间内，那么f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y0，那么f(x)为这个区间内的减函数。 利用这一结论求复杂函数的单调区间十分方便，但要解决单调性的逆向问题，利用单调性的充要条件更加方便。 函数单调性的充要条件： （1）对于可导函数，如果方程在某个区间上至多有孤立解，那么在这个区间上，f(x)为增函数的充要条件是；f(x)为减函数的充要条件是。 （2）连续函数在闭区间a，b与开区间（a，b）上具有相同的单调性。 2. 应用 例1. 若函数在区间（1，4）内为减函数，且在区间（6，）内为增函数，求实数a的取值范围。 解：，其图象开口向上，对称轴为直线 由在区间（1，4）内为减函数知对恒成立 即 解得 由在区间（6，）内为增函数知对恒成立 或 解得 综上，得 例2. 已知函数在区间上单调递增，在区间-2，2上单调递减，且 （1）求的表达式； （2）设，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围。 解：（1），其图象开口向上 因为f(x)在区间上单调递增，在区间-2，2上单调递减 所以当时，取得极值 故，得 所以 因为f(x)在区间-2，2上单调递减 所以对恒成立 即 解得 又，所以b0 于是 所以 （2）对任意的，不等式恒成立，等价于在区间上，。 由，得 所以f(x)的减区间为-2，2 由，得 所以f(x)在区间上单调递减
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