九年级数学下册 第28章圆28.2与圆有关的位置关系 3切线第2课时习题课件 华东师大版

3 切线第2课时 1 了解切线长的概念和切线长定理 会运用切线长定理解决简单的计算和证明问题 重点 难点 2 了解三角形的内切圆的画法 了解三角形的内切圆和三角形内心的概念 重点 一 切线长定理如图 点p是 o外一点 pa pb分别切 o于点a和点b 思考 1 过圆外一点可作圆的几条切线 提示 两条 2 线段pa和pb相等吗 为什么 提示 相等 pa pb是 o的切线 ob pb oa pa 又 oa ob op op opb opa pa pb 3 opb与 opa相等吗 提示 相等 总结 1 圆的切线长 圆的切线上某一点与 之间的线段的长 2 切线长定理 从圆 一点可以引圆的 切线 它们的 相等 这一点和圆心的连线 这两条切线的 切点 两条 切线长 平分 外 夹角 二 三角形内切圆如图 在 abc中有一个 i与ab ac bc都相切 思考 1 如何确定圆心i 提示 作 abc任意两内角的平分线 交点即为圆心i 2 圆心i到 abc三边的距离相等吗 提示 相等 总结 三角形的内切圆 与三角形三边都 的圆 圆心叫做三角形的 三角形叫做圆的 三角形 的内心是三角形三条 的交点 三角形的内心到三角形三边的距离都 相切 内心 外切 三角形 内角平分线 相等 打 或 1 过一点可以作圆的两条切线 2 切线长就是圆的切线的长 3 任意三角形都有且只有一个内切圆 4 三角形的内心到三角形三个顶点的距离都相等 5 三角形的内心都在三角形的内部 知识点1切线长定理及其应用 例1 如图 ab是 o的直径 am和bn是它的两条切线 de切 o于点e 交am于点d 交bn于点c 1 求证 od be 2 如果od 6cm oc 8cm 求cd的长 思路点拨 1 首先连结oe 方法一 由am和de是它的两条切线 及切线长定理 易得 ado edo dao deo 90 可得 aod abe 根据同位角相等 两直线平行 即可证得od be 方法二 由切线长定理和线段垂直平分线的判定与性质 可得ae od 又由直径所对的圆周角为直角可得 aeb 90 进而推出od be 2 由bc和ce是 o的两条切线得ce cb 根据ob oe 得出oc在线段be的垂直平分线上 得出oc be 又由od be 得出oc od 在rt ocd中 由勾股定理求出cd的长 自主解答 1 方法一 连结oe ad和de是 o的两条切线 dao deo 90 又由切线长定理得 ado edo 弧ae所对的圆心角是 aoe 弧ae所对的圆周角是 abe od be 方法二 连结oe 连结ae交od于点f ab是 o的直径 aeb 90 ad和de是 o的两条切线 ad ed 点d是线段ae垂直平分线上的一点 又 oa oe 点o是线段ae垂直平分线上的一点 线段od在线段ae的垂直平分线上 afo 90 aeb afo od be 2 bc和ce是 o的两条切线 ce cb 点c是线段be垂直平分线上的一点 又 ob oe 点o是线段be垂直平分线上的一点 线段oc在线段be的垂直平分线上 oc be od be oc od 在rt ocd中 od 6cm oc 8cm 根据勾股定理 得 总结提升 有圆的两切线时引辅助线的三种方法1 连结圆心和两条切线的公共点 利用角平分线的性质解决问题 2 连结两个切点 利用等腰三角形的性质解决问题 3 连过切点的半径 利用直角三角形的性质及边角关系解决问题 知识点2三角形的内切圆 例2 如图 rt abc中 c 90 bc 5 o内切rt abc的三边ab bc ca于d e f 半径r 2 求 abc的周长 解题探究 1 图中相等的线段有几对 分别写出 提示 图中相等的线段有3对 分别是bd和be ce和cf ad和af 2 线段相等的依据是什么 提示 线段相等的依据是切线长定理 3 连结oe of 试判断四边形oecf的形状 并说出理由 提示 四边形oecf是正方形 理由如下 e f是切点 则oe bc of ac 又 c 90 四边形oecf是矩形 又 oe of 四边形oecf是正方形 4 求ac和ab的长 提示 ce cf r 2 又bc 5 be bd 3 设af ad x 根据勾股定理 得 x 2 2 25 x 3 2 解得x 10 则ac 12 ab 13 5 结论 abc的周长是 5 12 13 30 总结提升 三角形的内心与外心 题组一 切线长定理及其应用1 如图 从圆o外一点p引圆o的两条切线pa pb 切点分别为a b 如果 apb 60 pa 8 那么弦ab的长是 解析 选b pa pb都是 o的切线 pa pb p 60 pab是等边三角形 即ab pa 8 2 如图 pa pb分别是 o的切线 a b为切点 ac是 o的直径 已知 bac 35 p的度数为 a 35 b 45 c 60 d 70 解析 选d 根据切线的性质定理得 pac 90 pab 90 bac 90 35 55 根据切线长定理得pa pb pba pab 55 p 70 3 如图 小明同学测量一个光盘的直径 他只有一把直尺和一块三角板 他将直尺 光盘和三角板如图放置于桌面上 并量出ab 3cm 则此光盘的直径是 cm 解析 如图 cad 60 cab 120 ab和ac与 o相切 oab oac ab 3cm oa 6cm 由勾股定理得 光盘的直径为答案 4 如图 o的半径为3cm 点p到圆心的距离为6cm 经过点p引 o的两条切线 这两条切线的夹角为 解析 连结ao 则 apo是直角三角形 根据oa 3cm op 6cm 可得 apo 30 apb 60 答案 60 5 如图 ab是 o的直径 ac和bd是它的两条切线 co平分 acd 1 求证 cd是 o的切线 2 若ac 2 bd 3 求ab的长 解析 1 过o点作oe cd 垂足为e ac是切线 oa ac co平分 acd oe cd oe oa cd是 o的切线 2 过c点作cf bd 垂足为f ac cd bd都是切线 ac ce 2 bd de 3 cd ce de 5 cab abd cfb 90 四边形abfc是矩形 bf ac 2 df bd bf 1 在rt cdf中 cf2 cd2 df2 52 12 24 6 如图 已知ab为 o的直径 pa pc是 o的切线 a c为切点 bac 30 1 求 p的大小 2 若ab 2 求pa的长 结果保留根号 解析 1 pa是 o的切线 ab为 o的直径 pa ab bap 90 bac 30 cap 90 bac 60 又 pa pc切 o于点a c pa pc pac为等边三角形 p 60 2 如图 连结bc 则 acb 90 在rt acb中 ab 2 bac 30 ac ab cos bac 2cos30 pac为等边三角形 pa ac 题组二 三角形的内切圆1 如图 点o是 abc的内心 若 acb 70 则 aob a 140 b 135 c 125 d 110 解析 选c 点o是 abc的内心 又 acb 70 bac abc 110 oab oba 55 aob 125 2 如图 已知 o是边长为2的等边 abc的内切圆 则 o的面积为 解析 如图 设bc与 o相切于点d 连结ob od 点o是等边 abc的内心 bc 2 obd 30 bd 1 答案 变式训练 如图 abc的周长为20 其内切圆半径为3 则 abc的面积 解析 abc的内切圆半径为3 abc的周长为20 abc的面积答案 30 3 如图 在 abc中 点p是 abc的内心 则 pbc pca pab 解析 点p是 abc的内心 又 abc bca bac 180 pbc pca pab 90 答案 90 4 如图 abc的三边分别切 o于d e f 若 a 40 则 def 解析 如图 连结od of abc的三边分别切 o于点d e f od ab of ac dof 180 a 180 40 140 答案 70 5 如图 直线a b c表示三条互相交叉的公路 现要建一个货物中转站 要求它到三条公路的距离相等 则可供选择的地址有 处 解析 三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等 三角形内角平分线的交点满足条件 如图 点p是 abc两条外角平分线的交点 过点p作pe ab pd bc pf ac pe pf pf pd pe pf pd 点p到 abc的三边的距离相等 abc两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等 满足这一条件的点有3个 综上 到三条公路的距离相等的点有4个 可供选择的地址有4处 答案 4 6 如图 rt abc中 c 90 ac 6 bc 8 求 abc的内切圆半径 解析 如图 在rt abc中 c 90 ac 6 bc 8 根据勾股定理 得 ab 10 在四边形oecf中 oe of oec ofc c 90 四边形oe