九年级数学 图形的相似2.ppt

图形的相似 相似图形 定义 性质 相似三角形 定义 判定 性质 应用 画法 坐标 生活中我们会碰到许多这样形状相同的 大小不一定相同的图形 在数学上 我们把具有相同形状的图形称为 相似形 相似多边形的特征 对应边成比例 对应角相等 1 比例基本性质 思考 如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值 试一试身手 1 若a 3 b 7 则 a 3b 2b 2 若a 2 b 6 c 4 且a b c d成比例 则d 34若x 4 y 5 z 6 且3x 2y z 56 则x为 a8b10c12d16 相似三角形的判定 1 如果两个三角形的三组对应边的比相等 那么这两个三角形相似 2 如果两个三角形的两组对应边的比相等 并且相应的夹角相等 那么这两个三角形相似 3 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 那么这两个三角形相似 相似三角形的性质 1 对应边成比例 对应角相等 2 相似三角形的周长比等于相似比 3 相似三角形的面积比等于相似比的平方 4 相似三角形的对应边上的高 中线 角平分线的比等于相似比 一 填空 选择题 1 如图 de bc ad db 2 3 则 aed和 abc的相似比为 2 5 5 2cm 2 已知三角形甲各边的比为3 4 6 和它相似的三角形乙的最大边为10cm 则三角形乙的最短边为 cm 3 等腰三角形abc的腰长为18cm 底边长为6cm 在腰ac上取点d 使 abc bdc 则dc 4 如图 ade acb 则de bc 5 如图 d是 abc一边bc上一点 连接ad 使 abc dba的条件是 a ac bc ad bdb ac bc ab adc ab2 cd bcd ab2 bd bc6 d e分别为 abc的ab ac上的点 且de bc dcb a 把每两个相似的三角形称为一组 那么图中共有相似三角形 组 1 3 d 4 a b e d c 7 下列命题正确的是 d a 有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似 b abc的三边长为3 4 5 a b c 的三边为a 3 a 4 a 5 则 abc a b c c 若两个三角形相似 且有一对边相等 则它们的相似比为1 d 都有一内角为100 的两个等腰三角形相似 二 证明题 1 d为 abc中ab边上一点 acd abc 求证 ac2 ad ab 2 abc中 bac是直角 过斜边中点m而垂直于斜边bc的直线交ca的延长线于e 交ab于d 连am 求证 mad mea am2 md me e 定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 重心 三角形三条边上的中线交于一点 这个点就是三角形的重心 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的三分之一 梯形的中位线 梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线 求梯形的比例问题时 可以利用化归思想 把梯形化归到三角形问题去解决 2 已知 abc三边长分别为a b c 它的三条中位线组成 def def的三条中位线又组成 hpn 则 hpn的周长等于 为 abc周长的 面积为 abc面积的 1 已知 三角形的各边分别为6cm 8cm 10cm 则连结各边中点所成三角形的周长为 cm 面积为 cm2 为原三角形面积的 b hpn 填 或 相似三角形的应用 利用三角形相似 可证明角相等 线段成比例 或等积式 利用三角形相似 求线段的长等 利用三角形相似 可以解决一些不能直接测量的物体的长度 如求河的宽度 求建筑物的高度等 3 如图 王华在晚上由路灯a走向路灯b 当他走到点p时 发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯a的底部 当他向前再行12m到达点q时 发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯b的底部 已知王华的身高是1 6m 两个路灯的高度都是9 6m 且ap qb xm 1 求两个路灯之间的距离 2 当王华走到路灯b时 他在路灯a下的影长是多少 解 x x 12 1 6 9 6 1 由题得 x 2x 12 1 6 9 6 解得 x 3m 两个路灯之间的距离是18m 2 当王华走到路灯b时 他在路灯a下的影长是多少 解 1 6 9 6 18 x 设他的影子长为xm 则由题得 x 18 x 1 6 9 6 解得x 3 6m 他的影子长为3 6m a b 用实战来证明自己 2 教学楼旁边有一颗树 学习了相似三角形后 数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高 课外活动时在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0 9m 但当他们马上测量树高时 发现树的影子不全落在地面上 有一部分落在教学楼的墙壁上 如图 经过一番争论 小组同学认为继续测量也可以求出树高 他们测得落在地面的影长2 7m 落在墙壁上的影长1 2m 请你和他们一起算一下 树高为多少 d b a c e h f g 解 首先在图上标上字母 过点c作ce ab 垂足为e 根据题意 可得 aec fgh 2 7m 2 7m 1 2m 1 2m 1m 0 9 ae fg ce hg ae 1 2 7 0 9 ae 3m 树高ab 3 1 2 4 2m 例3 如图 已知 ab db于点b cd db于点d ab 6 cd 4 bd 14 问 在db上是否存在p点 使以c d p为顶点的三角形与以p b a为顶点的三角形相似 如果存在 计算出点p的位置 如果不存在 请说明理由 解 1 假设存在这样的点p 使 abp cdp 设pd x 则pb 14 x 6 4 14 x x 则有ab cd pb pd x 5 6 p 2 假设存在这样的点p 使 abp pdc 则 则有ab pd pb cd 设pd x 则pb 14 x 6 x 14 x 4 x 2或x 12 x 2或x 12或x 5 6时 以c d p为顶点的三角形与以p b a为顶点的三角形相似 4 6 x 14 x d b c a p 巩固提高 在 abc中 ab 8cm bc 16cm 点p从点a开始沿ab边向b点以2cm 秒的速度移动 点q从点b开始沿bc向点c以4cm 秒的速度移动 如果p q分别从a b同时出发 经几秒钟 bpq与 bac相似 分析 由于 pbq与 abc有公共角 b 所以若 pbq与 abc相似 则有两种可能一种情况为 即pq ac 另一种情况为 如果两个图形不仅是相似图形 而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比 性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 二 位似图形 两图形中对应边有何关系 对应角呢 这两个多边形相似吗 相似比是多少 1 任取一点o 2 以点o为端点作射线oa ob oc 3 分别在射线oa ob oc 上取点a b c 使 oa oa ob ob oc oc 1 5 4 连接a b b c 得到所要画的多边形a b c d e 要画四边形abcd的位似图形 还可以任取一点o 如图18 4 2 作直线oa ob oc od 在点o的另一侧取点a b c d 使oa oa ob ob oc oc od od 2 也可以得到放大到2倍的四边形a b c d 观察 观察下面三组图形 看看哪两个图形是位似图形 并指出位似图形的位似中心 例2已知 如图 三角形abc中 d是ac的中点 ae bc ed交ab于点f ed的延长线与bc的延长线相交于点g e a b c g f d 如图 在三角形abc中 ba bc 20c