安徽太和中学高三数学一轮复习第5讲向量与圆锥曲线教案(1)

第五讲 向量与圆锥曲线一、考情分析向量的引入，给高中数学教学带来了生机，也为今后学习高等数学奠定了必要的基础向量作为沟通“数”和“形”的重要工具，是现代数学中的基本概念之一.向量具有“几何形式”与“代数形式”的双重身份，既有明确的几何意义，又有像数那样的运算，是代数与几何的一个交汇点，是联系中学数学多项内容的媒介向量方法具有像几何、代数学中所具有的综合法特点，又具有解析法特点，为学生提供一种重要的、有价值的数学工具，同时又创设了能促使学生从一种新角度来进行数学思维的情境，把几何从“思辩数学”化成“算法数学”，将“技巧性解题”化成“算法解题”，从而能更完整、更合理地构建学生数学基本知识、基本技能，是一种具有广阔应用性的通法本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平二、精典例析例1：过抛物线的对称轴上的任意一点作直线与抛物线交于两点（点在右半平面），点是点关于原点的对称点（1）设点分向量所成的比为，证明：；（2）设直线的方程是，过两点的圆与抛物线在点处有公共的切线，求圆的方程；解析：（1）由条件设直线的方程为，则：，点分向量所成的比为，点是点关于原点的对称点， 故（2），抛物线在点处的切线斜率为：，设圆系方程为，则：，故圆的方程是例2：（05年福建卷）已知方向向量为的直线l过点和椭圆的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上（1）求椭圆C的方程； （2）是否存在过点的直线交椭圆C于点，满足（O为原点）？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由解析：（1）法一：直线，过原点垂直的直线方程为，椭圆中心关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，；直线过椭圆焦点，该焦点坐标为，故椭圆C的方程为 法二：直线，设原点关于直线对称点为，则：椭圆中心关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，；直线过椭圆焦点，该焦点坐标为，故椭圆C的方程为 （2）法一：设，则：当直线m不垂直轴时，直线，则：，恒成立，且，点O到直线MN的距离， ，即：， 当直线m垂直x轴时，也满足经检验上述直线均满足，故直线m的方程为或或法二：设，则：当直线m不垂直轴时，直线，则：，恒成立，且，恰是椭圆C的左焦点，（以下与解法一相同）法三：设直线，则：， 恒成立，且， ，或经检验上述直线均满足，故直线m的方程为或或例3：（05年湖南卷）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，直线与轴、轴分别交于点是直线l与椭圆C的一个公共点，是点关于直线l的对称点，设 （）证明：； （）若，的周长为6，写出椭圆C的方程； （）确定的值，使得是等腰三角形解析：（）法一：， ， 法二：，设，则：， ，（）当时， ，则：的周长为6，故椭圆方程为（）法一：，为钝角，要使为等腰三角形，必有； 设点到l的距离为，则：， ，故当时，是等腰三角形法二：，为钝角，要使为等腰三角形，必有；设点，则：，故当时，是等腰三角形例4：（05年辽宁卷）已知椭圆的左、右焦点分别是，Q是椭圆外的动点，满足，点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足 （）设为点的横坐标，证明：； （）求点的轨迹的方程； （）试问：在点的轨迹上，是否存在点，使的面积？若存在，求的正切值；若不存在，请说明理由解析：（）法一：设点的坐标为，则：， ； 法二：设点的坐标为，记，则：，法三：设点的坐标为，椭圆的左准线方程为：，由椭圆第二定义，则：（）法一：设点的坐标为，则：当时，点和点在轨迹上；当|时，又，为线段的中点在中，综上，点的轨迹的方程是法二：设点的坐标为，则：当时，点和点在轨迹上；当|时，又，为线段的中点设点的坐标为，则：；， 综上，点的轨迹的方程是（）法一：若轨迹上存在点，则：， 令，故当时，这样的点不存在；当时，这样的点存在（下同法2）法二：轨迹上存在点，使成立的充要条件是： ，当时，不存在满足条件的点；当时，存在点，使，此时，法三：轨迹上存在点，使成立的充要条件是： ，当时，不存在满足条件的点；当时，存在点，使，此时，记，例5：(05年全国卷II) 四点都在椭圆上， 为椭圆在轴正半轴上的焦点，已知与共线，与共线，且，求四边形的面积的最小值和最大值 QPNMFO解析：如图，由条件知和是椭圆的两条弦，相交于焦点，且，直线和中至少有一条存在斜率，不妨设的斜率为，的方程为：，则：，；（1）当时，的斜率为，同理，得：；故四边形面积令，则：，当时，是以为自变量的增函数，（2）当时，为椭圆长轴，综上，四边形的面积的最小值，最大值为2例6：(05年全国卷)已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，与共线 （1）求椭圆的离心率； （2）设为椭圆上任意一点，且，证明为定值解析：设椭圆方程为，则：，与共线，又，故离心率为（II）证明：，椭圆，设，在椭圆上，故 ，即为定值，且定值为1例7：（05年天津卷）抛物线的方程为，过抛物线上一点作斜率为的两条直线分别交抛物线于两点(三点互不相同)，且满足（）求抛物线的焦点坐标和准线方程；（）设直线上一点，满足，证明：线段的中点在轴上；（）当时，若点，求为钝角时，点的纵坐标的取值范围解析：（）由抛物线的方程得：，焦点坐标为，准线方程为（）证明：设直线的方程为，直线的方程为点和点的坐标是方程组