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指数函数 引例1 某种细胞分裂时 由1个分裂成2个 2个分裂成4个 1个这样的细胞分裂x次后 得到的细胞个数y与x的函数关系是什么 分裂次数 1 2 3 4 x细胞个数 2 4 8 16 y 由上面的对应关系可知 函数关系是 引例2 某种商品的价格从今年起每年降低15 设原来的价格为1 x年后的价格为y 则y与x的函数关系式为 在 中指数x是自变量 底数是一个大于0且不等于1的常量 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数 指数函数的定义 函数 叫做指数函数 其中x是自变量 函数定义域是r 探究1 为什么要规定a 0 且a 1呢 若a 0 则当x 0时 0 0时 无意义 当x 若a 0 则对于x的某些数值 可使 无意义 如 这时对于x x 等等 在实数范围内函数值不存在 若a 1 则对于任何x r 1 是一个常量 没有研究的必要性 为了避免上述各种情况 所以规定a 0且a 1 在规定以后 对于任何x r 都有意义 且 0 因此指数函数的定义域是r 值域是 0 探究2 函数 是指数函数吗 指数函数的解析式y 中 的系数是1 有些函数貌似指数函数 实际上却不是 如 a 0且a 1 k z 有些函数看起来不像指数函数 实际上却是 如 因为它可以化为 指数函数的图象和性质 在同一坐标系中分别作出如下函数的图像 列表如下 想看一般情况的图象 想了解变化规律吗 可以点击我 的图象和性质 讲解范例 例1某种放射性物质不断变化为其他物质 每经过1年剩留的这种物质是原来的84 画出这种物质的剩留量随时间变化的图象 并从图象上求出经过多少年 剩量留是原来的一半 结果保留1个有效数字 分析 通过恰当假设 将剩留量y表示成经过年数x的函数 并可列表 描点 作图 进而求得所求 解 设这种物质量初的质量是1 经过x年 剩留量是y 经过1年 剩留量 经过2年 剩留量 一般地 经过x年 剩留量 根据这个函数 可以列表如下 用描点法画出指数函数 的图象 从图上看出y 0 5只需x 4 答 约经过4年 剩留量是原来的一半 例2比较下列各题中两个值的大小 解 利用函数单调性 与 的底数是1 7 它们可以看成函数y 因为1 7 1 所以函数y 在r上是增函数 而2 5 3 所以 当x 2 5和3时的函数值 解 利用函数单调性 与 的底数是0 8 它们可以看成函数y 当x 0 1和 0 2时的函数值 因为0 0 8 1 所以函数y 在r是减函数 而 0 1 0 2 所以 解 根据指数函数的性质 得 且 从而有 小结 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性 必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值 对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较 练习 比较大小 解 因为 利用函数单调性 练习 已知下列不等式 试比较m n的大小 比较下列各数的大小 小结 函数
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