九年级数学下册 第29章几何的回顾29.2 反证法 课题学习：中点四边形课件 华东师大版

29 2反证法课题学习 中点四边形 1 通过实例 体会反证法的含义 培养用反证法简单推理的技能 进一步培养观察能力 分析能力 逻辑思维能力及解决问题的能力 2 了解反证法证题的基本步骤 会用反证法证明简单的命题 3 在观察 操作 推理等探索过程中 体验数学活动的探索性和创造性 渗透事物之间都是相互对立 相互矛盾 相互转化的辩证唯物主义思想 问题情境小华睡觉前 地上是干的 早晨起来 看见地上全湿了 小华对婷婷说 昨天晚上下雨了 你能对小华的判断说出理由吗 小华的理由 假设昨天晚上没有下雨 那么地上应是干的 这与早晨地上全湿了相矛盾 所以说昨晚下雨是正确的 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上 解析 由 c 90 可知 abc是直角三角形 根据勾股定理可知a2 b2 c2 探究 假设a2 b2 c2 由勾股定理可知三角形abc是直角三角形 且 c 90 这与已知条件 c 90 矛盾 假设不成立 从而说明原结论a2 b2 c2成立 若将上面的条件改为 在 abc中 ab c bc a ac b c 90 请问结论a2 b2 c2成立吗 请说明理由 问题 探究 这种证明方法与前面的证明方法不同 首先它是假设结论的反面成立 然后经过正确的逻辑推理得出与已知条件 定理 公理矛盾的结论 从而得到原结论正确 像这样的证明方法叫做反证法 例1 在 abc中 ab ac 求证 b c 证明 假设 则 这与矛盾 假设不成立 b c ab ac 等角对等边 已知ab ac b c 规律方法 反证法的步骤 假设结论的反面成立 逻辑推理得出矛盾 肯定原结论正确 例题 例2 求证 两条直线相交只有一个交点 已知 两条相交直线l1 l2 求证 l1与l2只有一个交点 证明 假设l1与l2不止一个交点 不妨假设l1与l2有两个交点a和b 因为两点确定一条直线 即经过点a和b的直线有且只有一条 与已知两条直线矛盾 所以两条直线相交只有一个交点 证明 如图假设a与b不平行 则可设它们相交于点a 那么过点a就有两条直线a b与直线c平行 这与 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 矛盾 所以假设不成立 a b 小结 根据假设推出的结论除了可以与已知条件矛盾以外 还可以与我们学过的定理 公理矛盾 例3 已知 有a b c三条直线 且a c b c 求证 a b a b c 例4 求证 在一个三角形中 至少有一个内角小于或等于60 已知 abc 求证 abc中至少有一个内角小于或等于60 证明 假设 abc中没有一个内角小于或等于60 即 a 60 b 60 c 60 与三角形的三个内角和等于180 矛盾 所以 abc中至少有一个内角小于或等于60 于是 a b c 60 60 60 180 点拨 至少的反面是没有 例5 求证 在同一平面内 如果一条直线和两条平行线中的一条相交 那么和另一条也相交 已知 直线l1 l2 l3在同一平面内 且l1 l2 l3与l1相交于点p 求证 l3与l2相交 证明 假设l3与l2不相交 那么l3 l2 因为已知l1 l2 这与 经过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行 矛盾 所以假设不成立 即求证的命题正确 所以过直线l2外一点p 有两条直线和l2平行 1 试说出下列命题的反面 1 a是实数 2 a大于2 3 a小于2 4 两条直线平行 5 最多有一个 2 用反证法证明 若a2 b2 则a b 的第一步是 3 用反证法证明 如果一个三角形没有两个相等的角 那么这个三角形不是等腰三角形 的第一步是 a不是实数 a小于或等于 a大于或等于 至少有两个 两条直线相交 假设a b 假设这个三角形是等腰三角形 跟踪训练 4 已知 如图 abc中 d e两点分别在ab和ac上 求证 cd be不能互相平分 平行四边形对边平行 证明 假设cd be互相平分 连结de 故四边形bced是平行四边形 bd ce 这与bd ce交于点a矛盾 假设错误 cd be不能互相平分 已知 在梯形abcd中 ab cd c d 求证 梯形abcd不是等腰梯形 证明 假设梯形abcd是等腰梯形 c d 等腰梯形同一底上的两内角相等 这与已知条件 c d矛盾 假设不成立 梯形abcd不是等腰梯形 5 求证 如果一个梯形同一底上的两个内角不相等 那么这个梯形不是等腰梯形 6 已知 如图 在 abc中 ab ac apb apc 求证 pb pc 证明 假设pb pc 在 abp与 acp中ab ac 已知 ap ap 公共边 pb pc 已知 abp acp s s s apb apc 全等三角形对应角相等 这与已知条件 apb apc矛盾 假设不成立 pb pc 1 以否定性判断作为结论的命题 2 以 至多 至少 或 不多于 等形式陈述的命题 3 关于 唯一性 结论的命题 4 一些不等量命题的证明 5 有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等 如平行线的传递性的证明 1 通过本节内容的学习 可以用反证法的题型 规律方法 2 注意 用反证法证题时 应注意的事项 1 周密考察原命题结论的否定事项 防止否定不当或有所遗漏 2 推理过程必须完整 否则不能说明命题的真伪性 3 在推理过